La desigualdad martingala de Doob

En matemáticas , la desigualdad martingala de Doob , también conocida como desigualdad submartingala de Kolmogorov, es un resultado del estudio de procesos estocásticos . Da un límite a la probabilidad de que una submartingala exceda cualquier valor dado durante un intervalo de tiempo determinado. Como su nombre indica, el resultado se suele dar en el caso de que el proceso sea una martingala , pero el resultado también es válido para submartingalas.

La desigualdad se debe al matemático estadounidense Joseph L. Doob .

Declaración de la desigualdad

El escenario de la desigualdad de Doob es una submartingala relativa a una filtración del espacio de probabilidad subyacente. La medida de probabilidad en el espacio muestral de la martingala se denotará por P. El valor esperado correspondiente de una variable aleatoria X , según lo definido por la integración de Lebesgue , se denotará por E[ X ] .

Informalmente, la desigualdad de Doob establece que el valor esperado del proceso en algún momento final controla la probabilidad de que una ruta de muestra supere cualquier valor particular de antemano. Como la prueba utiliza un razonamiento muy directo, no requiere ninguna suposición restrictiva sobre la filtración subyacente o sobre el proceso en sí, a diferencia de muchos otros teoremas sobre procesos estocásticos. En el entorno de tiempo continuo, se requiere continuidad por la derecha (o continuidad por la izquierda) de las rutas de muestra, pero solo para saber que el valor suprema de una ruta de muestra es igual al supremo en un subconjunto denso y contable arbitrario de tiempos.

Tiempo discreto

Sea X ₁ , ..., X _n una submartingala de tiempo discreto relativa a una filtración del espacio de probabilidad subyacente, es decir: ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1},\ldots ,{\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle X_{i}\leq \operatorname {E} [X_{i+1}\mid {\mathcal {F}}_{i}].}$

La desigualdad submartingala ^{[ se necesita aclaración ]} dice que

${\displaystyle P\left[\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_{n},0)]}{C}}}$

para cualquier número positivo C . La prueba se basa en el hecho de la teoría de conjuntos de que el evento definido por max( X _i ) > C puede descomponerse como la unión disjunta de los eventos E _i definidos por (X _i > C y (X _j ≤ C para todo j < i )) . Entonces

${\displaystyle CP(E_{i})=\int _{E_{i}}C\,dP\leq \int _{E_{i}}X_{i}\,dP\leq \int _{E_{i}}{\text{E}}[X_{n}\mid {\mathcal {F}}_{i}]\,dP=\int _{E_{i}}X_{n}\,dP,}$

habiendo hecho uso de la propiedad de la submartingala para la última desigualdad y el hecho de que para la última igualdad. Sumar este resultado cuando i varía de 1 a n da como resultado la conclusión ${\displaystyle E_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}}$

${\displaystyle CP(E)\leq \int _{E}X_{n}\,dP,}$

que es más nítido que el resultado indicado. Al utilizar el hecho elemental de que X _n ≤ max( X _n , 0) , se sigue la desigualdad submartingala dada.

En esta prueba, la propiedad de la submartingala se usa una vez, junto con la definición de expectativa condicional . ^[1] La prueba también puede expresarse en el lenguaje de los procesos estocásticos para convertirse en un corolario del poderoso teorema de que una submartingala detenida es en sí misma una submartingala. ^[2] En esta configuración, el índice mínimo i que aparece en la prueba anterior se interpreta como un tiempo de parada .

Tiempo continuo

Ahora sea X _t una submartingala indexada por un intervalo [0, T ] de números reales, relativo a una filtración F _t del espacio de probabilidad subyacente, es decir:

${\displaystyle X_{s}\leq \operatorname {E} [X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}].}$

para todo s < t . La desigualdad de la submartingala ^{[ se necesita aclaración ]} dice que si los caminos muestrales de la martingala son casi con seguridad continuos por la derecha, entonces

${\displaystyle P\left[\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_{T},0)]}{C}}}$

para cualquier número positivo C . Este es un corolario del resultado en tiempo discreto anterior, obtenido escribiendo

${\displaystyle \sup _{0\leq t\leq T}X_{t}=\sup\{X_{t}:t\in [0,T]\cap \mathbb {Q} \}=\lim _{i\to \infty }\sup\{X_{t}:t\in [0,T]\cap Q_{i}\}}$

en la que Q ₁ ⊂ Q ₂ ⊂ ⋅⋅⋅ es cualquier secuencia de conjuntos finitos cuya unión es el conjunto de todos los números racionales. La primera igualdad es una consecuencia del supuesto de continuidad correcta, mientras que la segunda igualdad es puramente teórica de conjuntos. La desigualdad en tiempo discreto se aplica para decir que

${\displaystyle P\left[\sup _{t\in [0,T]\cap Q_{i}}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_{T},0)]}{C}}}$

para cada i , y esto pasa al límite para producir la desigualdad submartingala. ^[3] Este paso del tiempo discreto al tiempo continuo es muy flexible, ya que solo requería tener un subconjunto denso contable de [0,T] , que luego puede construirse automáticamente a partir de una secuencia creciente de conjuntos finitos. Como tal, la desigualdad submartingala es válida incluso para conjuntos de índices más generales, que no necesitan ser intervalos o números naturales . ^[4]

Más desigualdades

Hay más desigualdades submartingala también debido a Doob. Ahora sea X _t una martingala o una submartingala positiva; Si el conjunto de índices es incontable, entonces (como se indicó anteriormente) suponga que las rutas de muestra son continuas hacia la derecha. En estos escenarios, la desigualdad de Jensen implica que | X _t | ^p es una submartingala para cualquier número p ≥ 1 , siempre que todas estas nuevas variables aleatorias tengan una integral finita. La desigualdad submartingala es entonces aplicable para decir que ^[5]

${\displaystyle {\text{P}}[\sup _{t}|X_{t}|\geq C]\leq {\frac {{\text{E}}[|X_{T}|^{p}]}{C^{p}}}.}$

para cualquier número positivo C . Aquí T es el tiempo final , es decir, el valor más grande del conjunto de índices. Además uno tiene

${\displaystyle {\text{E}}[|X_{T}|^{p}]\leq {\text{E}}\left[\sup _{0\leq s\leq T}|X_{s}|^{p}\right]\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}{\text{E}}[|X_{T}|^{p}]}$

si p es mayor que uno. Esto, a veces conocido como desigualdad máxima de Doob , es un resultado directo de combinar la representación de la torta de capas con la desigualdad submartingala y la desigualdad de Hölder . ^[6]

Además de la desigualdad anterior, se cumple ^[7]

${\displaystyle {\text{E}}\left|\sup _{0\leq s\leq T}X_{s}\right|\leq {\frac {e}{e-1}}\left(1+{\text{E}}[\max\{|X_{T}|\log |X_{T}|,0\}]\right)}$

Desigualdades relacionadas

La desigualdad de Doob para martingalas en tiempo discreto implica la desigualdad de Kolmogorov : si X ₁ , X _{2 , ... es una secuencia de} variables aleatorias independientes de valor real , cada una con media cero, está claro que

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{1}+\cdots +X_{n}+X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]&=X_{1}+\cdots +X_{n}+\operatorname {E} \left[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]\\&=X_{1}+\cdots +X_{n},\end{aligned}}}$

entonces S _n  =  X ₁  + ... +  X _n es una martingala. Tenga en cuenta que la desigualdad de Jensen implica que |S _n | es una submartingala no negativa si S _n es una martingala. Por lo tanto, tomando p  = 2 en la desigualdad martingala de Doob,

${\displaystyle P\left[\max _{1\leq i\leq n}\left|S_{i}\right|\geq \lambda \right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[S_{n}^{2}\right]}{\lambda ^{2}}},}$

que es precisamente el enunciado de la desigualdad de Kolmogorov. ^[8]

Aplicación: movimiento browniano

Sea B el movimiento browniano unidimensional canónico . Entonces ^[9]

${\displaystyle P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T}}\right).}$

La prueba es la siguiente: dado que la función exponencial aumenta monótonamente, para cualquier λ no negativo,

${\displaystyle \left\{\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right\}.}$

Por la desigualdad de Doob, y dado que el exponencial del movimiento browniano es una submartingala positiva,

${\displaystyle {\begin{aligned}P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]&=P\left[\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\[8pt]&\leq {\frac {\operatorname {E} [\exp(\lambda B_{T})]}{\exp(\lambda C)}}\\[8pt]&=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}T-\lambda C\right)&&\operatorname {E} \left[\exp(\lambda B_{t})\right]=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}t\right)\end{aligned}}}$

Dado que el lado izquierdo no depende de λ , elija λ para minimizar el lado derecho: λ  =  C / T da la desigualdad deseada.

Referencias

1. Billingsley 1995, teorema 31.3; Doob 1953, Teorema VII.3.2; Hall y Heyde 1980, Teorema 2.1; Shiryaev 2019, Teorema 7.3.1.
2. Doob 1953, Teorema VII.3.2; Durrett 2019, Teorema 5.4.2; Kallenberg 2021, Teorema 9.16; Revuz & Yor 1999, Proposición II.1.5.
3. Karatzas y Shreve 1991, Teorema 1.3.8.
4. Doob 1953, pag. 353; Loève 1978, artículo 39.
5. Revuz y Yor 1999, Corolario II.1.6 y Teorema II.1.7.
6. Hall y Heyde 1980, teorema 2.2; Karatzas y Shreve 1991, Teorema 1.3.8; Revuz & Yor 1999, Corolario II.1.6 y Teorema II.1.7.
7. Durrett 2019, pag. 55, Teorema 5.4.4; Revuz y Yor 1999; Shiryaev 2019, Teorema 7.3.2.
8. Durrett 2019, ejemplo 5.4.1.
9. Revuz y Yor 1999, Proposición II.1.8.

Fuentes

• Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y medida . Serie Wiley en probabilidad y estadística matemática (Tercera edición de la edición original de 1979). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2. SEÑOR  1324786.
• Doob, JL (1953). Procesos estocásticos . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. SEÑOR  0058896.
• Durrett, Rick (2019). Probabilidad: teoría y ejemplos . Serie Cambridge en Matemáticas Estadística y Probabilística. vol. 49 (Quinta edición de la edición original de 1991). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . doi :10.1017/9781108591034. ISBN 978-1-108-47368-2. SEÑOR  3930614. S2CID  242105330.
• Salón, P .; Heyde, CC (1980). Teoría del límite de la martingala y su aplicación . Probabilidad y Estadística Matemática. San Diego, CA: Prensa académica . doi :10.1016/C2013-0-10818-5. ISBN 0-12-319350-8.
• Kallenberg, Olav (2021). Fundamentos de la probabilidad moderna . Teoría de la probabilidad y modelización estocástica. vol. 99 (Tercera edición de la edición original de 1997). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-030-61871-1. ISBN 978-3-030-61871-1. SEÑOR  4226142.
• Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991). Movimiento browniano y cálculo estocástico . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 113 (Segunda edición de la edición original de 1988). Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-0949-2. ISBN 0-387-97655-8. SEÑOR  1121940.
• Loève, Michel (1978). Teoría de probabilidad. II . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 46 (Cuarta edición de la edición original de 1955). Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90262-7. SEÑOR  0651018.
• Revuz, Daniel ; Yor, Marc (1999). Martingalas continuas y movimiento browniano . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 293 (Tercera edición de la edición original de 1991). Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-662-06400-9. ISBN 3-540-64325-7. SEÑOR  1725357.
• Shiryaev, Albert N. (2019). Probabilidad—2 . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 95. Traducido por Boas, RP; Chibisov, DM (Tercera edición de la edición original de 1980). Nueva York: Springer . doi :10.1007/978-0-387-72208-5. ISBN 978-0-387-72207-8. SEÑOR  3930599.

enlaces externos

• Shiryaev, Albert N. (2001) [1994], "Martingala", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press