Integración por sustitución

Technique in integral evaluation

En cálculo , la integración por sustitución , también conocida como u -sustitución , regla de la cadena inversa o cambio de variables , ^[1] es un método para evaluar integrales y antiderivadas . Es la contraparte de la regla de la cadena para la diferenciación y, en términos generales, se puede considerar que utiliza la regla de la cadena "al revés".

Sustitución por una sola variable

Introducción (integrales indefinidas)

Antes de expresar el resultado de manera rigurosa , considere un caso simple que utiliza integrales indefinidas .

Calcular ^[2] ${\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}$

Establecer esto significa o como forma diferencial , ahora: ${\displaystyle u=2x^{3}+1.}$ ${\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},}$ ${\textstyle du=6x^{2}\,dx.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}}$$

donde es una constante arbitraria de integración . ${\displaystyle C}$

Este procedimiento se utiliza con frecuencia, pero no todas las integrales tienen una forma que permita su uso. En cualquier caso, el resultado debe verificarse diferenciando y comparando con el integrando original.

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}$$

Para integrales definidas, también se deben ajustar los límites de integración, pero el procedimiento es prácticamente el mismo.

Declaración para integrales definidas

Sea una función diferenciable con derivada continua , donde es un intervalo . Supongamos que es una función continua . Entonces: ^[3] ${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow I}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.}$$

En notación de Leibniz, la sustitución produce: ${\displaystyle u=g(x)}$

$${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=g'(x).}$$

infinitesimales

$${\displaystyle du=g'(x)\,dx,}$$

formas diferencialesnotación de Leibniz

La fórmula se utiliza para transformar una integral en otra integral que sea más fácil de calcular. Por tanto, la fórmula se puede leer de izquierda a derecha o de derecha a izquierda para simplificar una integral dada. Cuando se usa de la manera anterior, a veces se la conoce como sustitución u o sustitución w , en la que se define una nueva variable como una función de la variable original que se encuentra dentro de la función compuesta multiplicada por la derivada de la función interna. Esta última manera se usa comúnmente en sustitución trigonométrica , reemplazando la variable original con una función trigonométrica de una nueva variable y el diferencial original con el diferencial de la función trigonométrica.

Prueba

La integración por sustitución se puede derivar del teorema fundamental del cálculo de la siguiente manera. Sean y dos funciones que satisfacen la hipótesis anterior y que son continuas e integrables en el intervalo cerrado . Entonces la función también es integrable en . De ahí las integrales ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(g(x))\cdot g'(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx}$$

y

$${\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}$$

De hecho existen, y queda por demostrar que son iguales.

Como es continua, tiene una primitiva . Luego se define la función compuesta . Dado que es diferenciable, al combinar la regla de la cadena y la definición de antiderivada se obtiene: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\circ g}$ ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle (F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).}$$

Aplicando el teorema fundamental del cálculo dos veces se obtiene:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du,\end{aligned}}}$$

que es la regla de sustitución.

Ejemplos: integrales definidas

Ejemplo 1

Considere la integral:

$${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\ dx.}$$

Realice la sustitución para obtener significado Por lo tanto: ${\textstyle u=x^{2}+1}$ ${\displaystyle du=2x\ dx,}$ ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\ du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}}$$

Dado que el límite inferior fue reemplazado por y el límite superior por una transformación nuevamente en términos de era innecesaria. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle u=1,}$ ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle 2^{2}+1=5,}$ ${\displaystyle x}$

Alternativamente, primero se puede evaluar completamente la integral indefinida (ver más abajo) y luego aplicar las condiciones de contorno. Esto resulta especialmente útil cuando se utilizan múltiples sustituciones.

Ejemplo 2

para la integral

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,}$$

${\displaystyle x=\sin u}$ ${\displaystyle dx=\cos u\,du}$ ${\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos(u).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos(u)\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}$$

La integral resultante se puede calcular usando la integración por partes o una fórmula de doble ángulo , seguida de una sustitución más. También se puede observar que la función que se integra es el cuarto superior derecho de un círculo con un radio de uno y, por lo tanto, integrar el cuarto superior derecho de cero a uno es el equivalente geométrico al área de un cuarto del círculo unitario, o ${\textstyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u),}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}.}$

Ejemplos: antiderivadas

La sustitución se puede utilizar para determinar antiderivadas . Uno elige una relación entre y determina la relación correspondiente entre y diferenciando, y realiza las sustituciones. Es de esperar que se pueda determinar una primitiva para la función sustituida; la sustitución original entre y luego se deshace. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$

De manera similar al ejemplo 1 anterior, se puede obtener la siguiente antiderivada con este método:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}}$$

donde es una constante arbitraria de integración . ${\displaystyle C}$

No había fronteras integrales que transformar, pero en el último paso era necesario revertir la sustitución original. Al evaluar integrales definidas por sustitución, primero se puede calcular la primitiva completamente y luego aplicar las condiciones de contorno. En ese caso, no hay necesidad de transformar los términos de frontera. ${\displaystyle u=x^{2}+1}$

Funciones trigonométricas

La función tangente se puede integrar mediante sustitución expresándola en términos de seno y coseno: . ${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}$

Usando la sustitución se obtiene y ${\displaystyle u=\cos x}$ ${\displaystyle du=-\sin x\,dx}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln |u|+C\\&=-\ln |\cos x|+C\\&=\ln |\cos x|^{-1}+C\\&=\ln |\sec x|+C.\end{aligned}}}$$

La función cotangente se puede integrar de manera similar expresándola como y usando la sustitución : ${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}}$ ${\displaystyle u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \cot x\,dx&=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx\\&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln |u|+C\\&=\ln |\sin x|+C.\end{aligned}}}$$

Sustitución de múltiples variables

También se puede utilizar la sustitución al integrar funciones de varias variables .

Aquí, la función de sustitución ( v ₁ ,..., v _n ) = φ ( u ₁ , ..., u _n ) debe ser inyectiva y continuamente diferenciable, y los diferenciales se transforman como:

$${\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},}$$

donde det( Dφ )( u ₁ , ..., u _n ) denota el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales de φ en el punto ( u ₁ , ..., u _n ) . Esta fórmula expresa el hecho de que el valor absoluto del determinante de una matriz es igual al volumen del paralelotopo abarcado por sus columnas o filas.

Más precisamente, la fórmula del cambio de variables se establece en el siguiente teorema:

Teorema . Sea U un conjunto abierto en R ⁿ y φ  : U → R ⁿ una función inyectiva diferenciable con derivadas parciales continuas, cuyo jacobiano es distinto de cero para cada x en U . Entonces, para cualquier función continua f , de valor real y con soporte compacto , con soporte contenido en φ ( U ) :

$${\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .}$$

Las condiciones del teorema pueden debilitarse de varias maneras. Primero, el requisito de que φ sea continuamente diferenciable puede reemplazarse por el supuesto más débil de que φ sea meramente diferenciable y tenga una inversa continua. ^[4] Se garantiza que esto se cumple si φ es continuamente diferenciable por el teorema de la función inversa . Alternativamente, el requisito de que det( Dφ ) ≠ 0 puede eliminarse aplicando el teorema de Sard . ^[5]

Para funciones medibles de Lebesgue, el teorema se puede expresar de la siguiente forma: ^[6]

Teorema . Sea U un subconjunto medible de R ⁿ y φ  : U → R ⁿ una función inyectiva , y supongamos que para cada x en U existe φ ′( x ) en R ^{n , n} tal que φ ( y ) = φ ( x ) + φ′ ( x )( y − x ) + o (|| y − x ||) como y → x (aquí o es notación o pequeña ). Entonces φ ( U ) es medible, y para cualquier función de valor real f definida en φ ( U ) :

$${\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du}$$

Otra versión muy general en teoría de la medida es la siguiente: ^[7]

Teorema . Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto equipado con una medida de radón finita μ , y sea Y un espacio de Hausdorff σ-compacto con una medida de radón σ-finita ρ . Sea φ  : X → Y una función absolutamente continua (donde esta última significa que ρ ( φ ( E )) = 0 siempre que μ ( E ) = 0 ). Entonces existe una función medible de Borel de valor real w en X tal que para cada función integrable de Lebesgue f  : Y → R , la función ( f ∘ φ ) ⋅ w es integrable de Lebesgue en X , y

$${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).}$$

$${\displaystyle w(x)=(g\circ \varphi )(x)}$$

gY

En la teoría de la medida geométrica , la integración por sustitución se utiliza con funciones de Lipschitz . Una función bi-Lipschitz es una función de Lipschitz φ  : U → R ⁿ que es inyectiva y cuya función inversa φ ⁻¹  : φ ( U ) → U también es Lipschitz. Según el teorema de Rademacher , una aplicación de Bi-Lipschitz es diferenciable en casi todas partes . En particular, el determinante jacobiano de un mapeo bi-Lipschitz det Dφ está bien definido en casi todas partes. Entonces se cumple el siguiente resultado:

Teorema. Sea U un subconjunto abierto de R ⁿ y φ  : U → R ⁿ una aplicación bi-Lipschitz. Sea f  : φ ( U ) → R mensurable. Entonces

$${\displaystyle \int _{U}(f\circ \varphi )(x)|\det D\varphi (x)|\,dx=\int _{\varphi (U)}f(x)\,dx}$$

El teorema anterior fue propuesto por primera vez por Euler cuando desarrolló la noción de integrales dobles en 1769. Aunque Lagrange lo generalizó a integrales triples en 1773, lo utilizaron Legendre , Laplace y Gauss , y lo generalizó por primera vez a n variables por Mikhail Ostrogradsky en 1836. , resistió una prueba formal totalmente rigurosa durante un tiempo sorprendentemente largo, y fue resuelto satisfactoriamente por primera vez 125 años después, por Élie Cartan en una serie de artículos que comenzaron a mediados de la década de 1890. ^{[8] [9]}

Aplicación en probabilidad

La sustitución se puede utilizar para responder la siguiente pregunta importante en probabilidad: dada una variable aleatoria X con densidad de probabilidad p _X y otra variable aleatoria Y tal que Y = ϕ ( X ) para ϕ inyectiva (uno a uno) , ¿ cuál es la densidad de probabilidad para Y ?

Es más fácil responder a esta pregunta respondiendo primero una pregunta ligeramente diferente: ¿cuál es la probabilidad de que Y tome un valor en algún subconjunto particular S ? Denota esta probabilidad por P ( Y ∈ S ). Por supuesto, si Y tiene densidad de probabilidad p _Y , entonces la respuesta es:

$${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,}$$

pero esto no es realmente útil porque no sabemos p _Y ; es lo que estamos tratando de encontrar. Podemos avanzar considerando el problema en la variable X. Y toma un valor en S siempre que X toma un valor así: ${\textstyle \phi ^{-1}(S),}$

$${\displaystyle P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}$$

Al cambiar de la variable x a y se obtiene:

$${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.}$$

Combinando esto con nuestra primera ecuación se obtiene:

$${\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,}$$

entonces:

$${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.}$$

En el caso en que X e Y dependan de varias variables no correlacionadas (es decir, y ), se pueden encontrar mediante sustitución en varias variables discutidas anteriormente. El resultado es: ${\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle y=\phi (x)}$ ${\displaystyle p_{Y}}$

$${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.}$$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Función de densidad de probabilidad
• Sustitución de variables
• sustitución trigonométrica
• Sustitución de Weierstrass
• sustitución de Euler
• Teorema maestro de Glasser
• Medida de avance

Notas

1. Swokowski 1983, pag. 257
2. Swokowski 1983, pag. 258
3. Briggs y Cochran 2011, pág.361
4. Rudin 1987, Teorema 7.26
5. Spivak 1965, pág. 72
6. Fremlin 2010, Teorema 263D
7. Hewitt y Stromberg 1965, teorema 20.3
8. Katz 1982
9. Ferzola 1994

Referencias

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2011), Cálculo / Trascendentales tempranos (edición de variable única), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
• Ferzola, Anthony P. (1994), "Euler y los diferenciales", The College Mathematics Journal , 25 (2): 102–111, doi :10.2307/2687130, JSTOR  2687130
• Fremlin, DH (2010), Teoría de la medida, Volumen 2 , Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4.
• Hewitt, Edwin ; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
• Katz, V. (1982), "Cambio de variables en integrales múltiples: Euler a Cartan", Revista de Matemáticas , 55 (1): 3–11, doi :10.2307/2689856, JSTOR  2689856
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
• Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (edición alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Spivak, Michael (1965), Cálculo de colectores , Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.

enlaces externos

• Integración por sustitución en la Enciclopedia de Matemáticas
• Fórmula de área en la Enciclopedia de Matemáticas