Medición del radón

En matemáticas (específicamente en teoría de la medida ), una medida de Radon , llamada así por Johann Radon , es una medida en el $σ$ -álgebra de conjuntos de Borel de un espacio topológico de Hausdorff $X$ que es finito en todos los conjuntos compactos , regular externo en todos los conjuntos de Borel y regular interno en conjuntos abiertos . ^[1] Estas condiciones garantizan que la medida sea "compatible" con la topología del espacio, y la mayoría de las medidas utilizadas en el análisis matemático y en la teoría de números son de hecho medidas de Radon.

Motivación

Un problema común es encontrar una buena noción de una medida en un espacio topológico que sea compatible con la topología en algún sentido. Una forma de hacer esto es definir una medida en los conjuntos de Borel del espacio topológico. En general, esto presenta varios problemas: por ejemplo, es posible que dicha medida no tenga un soporte bien definido . Otro enfoque de la teoría de la medida es restringirla a espacios de Hausdorff localmente compactos y solo considerar las medidas que corresponden a funcionales lineales positivos en el espacio de funciones continuas con soporte compacto (algunos autores usan esto como la definición de una medida de Radon). Esto produce una buena teoría sin problemas patológicos, pero no se aplica a espacios que no son localmente compactos. Si no hay restricción a medidas no negativas y se permiten medidas complejas, entonces las medidas de Radon se pueden definir como el espacio dual continuo en el espacio de funciones continuas con soporte compacto. Si dicha medida de Radon es real, entonces se puede descomponer en la diferencia de dos medidas positivas. Además, una medida arbitraria de Radon se puede descomponer en cuatro medidas positivas de Radon, donde las partes reales e imaginarias de la función son cada una las diferencias de dos medidas positivas de Radon.

La teoría de las medidas de Radon posee la mayoría de las buenas propiedades de la teoría habitual para espacios localmente compactos, pero se aplica a todos los espacios topológicos de Hausdorff. La idea de la definición de una medida de Radon es encontrar algunas propiedades que caractericen las medidas en espacios localmente compactos correspondientes a funcionales positivos, y utilizar estas propiedades como la definición de una medida de Radon en un espacio de Hausdorff arbitrario.

Definiciones

Sea $m$ una medida del $σ$ -álgebra de conjuntos de Borel de un espacio topológico de Hausdorff $X.$

La medida $m$ se llama regular interna o estrecha si, para cada conjunto abierto $U$ , $m (U)$ es igual al supremo de $m (K)$ sobre todos los subconjuntos compactos $K$ de $U$ .
La medida $m$ se llama regular externa si, para cada conjunto de Borel $B$ , $m (B)$ es igual al ínfimo de $m (U)$ sobre todos los conjuntos abiertos $U$ que contienen $a B$ .
La medida $m$ se llama localmente finita si cada punto de $X$ tiene un entorno $U$ para el cual $m (U)$ es finito.

Si $m$ es localmente finito, entonces se sigue que $m$ es finito en conjuntos compactos, y para espacios de Hausdorff localmente compactos, también se cumple la recíproca. Por lo tanto, en este caso, la finitud local puede reemplazarse de manera equivalente por la finitud en subconjuntos compactos.

La medida $m$ se denomina medida de Radon si es regular internamente y localmente finita. En muchas situaciones, como en el caso de las medidas finitas en espacios localmente compactos, esto también implica regularidad externa (véase también espacios de Radon).

(Es posible extender la teoría de las medidas de Radon a espacios no Hausdorff, esencialmente reemplazando la palabra "compacto" por "compacto cerrado" en todas partes. Sin embargo, parece no haber casi aplicaciones de esta extensión.)

Medidas de radón en espacios localmente compactos

Cuando el espacio de medida subyacente es un espacio topológico localmente compacto , la definición de una medida de Radon puede expresarse en términos de funcionales lineales continuos en el espacio de funciones continuas con soporte compacto . Esto hace posible desarrollar la medida y la integración en términos de análisis funcional , un enfoque adoptado por Bourbaki y varios otros autores. ^[2]

Medidas

En lo que sigue, $X$ denota un espacio topológico localmente compacto. Las funciones continuas de valor real con soporte compacto en $X$ forman un espacio vectorial $K (X) = C c (X)$ , al que se le puede dar una topología localmente convexa natural. En efecto, $K (X)$ es la unión de los espacios $K (X, K)$ de funciones continuas con soporte contenido en conjuntos compactos $K$ . Cada uno de los espacios $K (X, K)$ lleva naturalmente la topología de convergencia uniforme , lo que lo convierte en un espacio de Banach . Pero como una unión de espacios topológicos es un caso especial de un límite directo de espacios topológicos, el espacio $K (X)$ puede ser equipado con la topología localmente convexa de límite directo inducida por los espacios $K (X, K)$ ; esta topología es más fina que la topología de convergencia uniforme.

Si $m$ es una medida de radón, entonces el mapeo ${\estilo de visualización X,}$ $I:f\mapsto \int f(x)\,m(dx)$

es una función lineal positiva continua de $K (X)$ a $R$ . Positividad significa que $I (f) \geq 0$ siempre que $f$ sea una función no negativa. La continuidad con respecto a la topología límite directa definida anteriormente es equivalente a la siguiente condición: para cada subconjunto compacto $K$ de $X$ existe una constante $M K$ tal que, para cada función continua de valor real $f$ en $X$ con soporte contenido en $K$ , $|I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|.$

Por el contrario, según el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani , cada forma lineal positiva en $K (X)$ surge como integración con respecto a una medida de Borel regular única.

Una medida de Radon de valor real se define como cualquier forma lineal continua en $K (X)$ ; son precisamente las diferencias de dos medidas de Radon. Esto proporciona una identificación de las medidas de Radon de valor real con el espacio dual del espacio localmente convexo $K (X)$ . Estas medidas de Radon de valor real no necesitan ser medidas con signo . Por ejemplo, $sin(x) dx$ es una medida de Radon de valor real, pero ni siquiera es una medida con signo extendida ya que no se puede escribir como la diferencia de dos medidas, al menos una de las cuales es finita.

Algunos autores utilizan el enfoque anterior para definir las medidas de radón (positivas) como las formas lineales positivas en $K (X)$ . ^[3] En esta configuración, es común utilizar una terminología en la que las medidas de radón en el sentido anterior se denominan medidas positivas y las medidas de radón de valor real como las anteriores se denominan medidas (reales).

Integración

Para completar la construcción de la teoría de la medida para espacios localmente compactos desde el punto de vista analítico-funcional, es necesario extender la medida (integral) a partir de funciones continuas con soporte compacto. Esto se puede hacer para funciones reales o complejas en varios pasos, como se indica a continuación:

Definición de la integral superior $μ *(g)$ de una función positiva (de valor real) semicontinua inferior $g$ como el supremo (posiblemente infinito) de los números positivos $μ (h)$ para funciones continuas con soporte compacto $h \leq g$ ;
Definición de la integral superior $μ *(f)$ para una función arbitraria positiva (de valor real) $f$ como el ínfimo de las integrales superiores $μ *(g)$ para funciones semicontinuas inferiores $g \geq f$ ;
Definición del espacio vectorial $F = F (X, μ)$ como el espacio de todas las funciones $f$ en $X$ para las cuales la integral superior $μ *(| f |)$ del valor absoluto es finita; la integral superior del valor absoluto define una seminorma en $F$ , y $F$ es un espacio completo con respecto a la topología definida por la seminorma;
Definición del espacio $L 1 (X, μ)$ de funciones integrables como la clausura dentro de $F$ del espacio de funciones continuas compactamente soportadas.
Definición de la integral para funciones en $L 1 (X, μ)$ como extensión por continuidad (después de verificar que $μ$ es continua con respecto a la topología de $L 1 (X, μ)$ );
Definición de la medida de un conjunto como la integral (cuando existe) de la función indicadora del conjunto.

Es posible verificar que estos pasos producen una teoría idéntica a la que parte de una medida de Radon definida como una función que asigna un número a cada conjunto de Borel de $X.$

La medida de Lebesgue sobre $R$ puede introducirse de varias maneras en esta configuración analítico-funcional. En primer lugar, es posible basarse en una integral "elemental" como la integral de Daniell o la integral de Riemann para integrales de funciones continuas con soporte compacto, ya que estas son integrables para todas las definiciones elementales de integrales. La medida (en el sentido definido anteriormente) definida por la integración elemental es precisamente la medida de Lebesgue. En segundo lugar, si se desea evitar la dependencia de la integral de Riemann o de Daniell u otras teorías similares, es posible desarrollar primero la teoría general de las medidas de Haar y definir la medida de Lebesgue como la medida de Haar $λ$ sobre $R$ que satisface la condición de normalización $λ ([0, 1]) = 1$ .

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de medidas de radón:

Medida de Lebesgue en el espacio euclidiano (restringida a los subconjuntos de Borel);
Medida de Haar en cualquier grupo topológico localmente compacto ;
Medida de Dirac en cualquier espacio topológico;
Medida gaussiana en el espacio euclidiano $ℝ n$ con su álgebra sigma de Borel;
Medidas de probabilidad sobre el $σ$ -álgebra de los conjuntos de Borel de cualquier espacio polaco . Este ejemplo no sólo generaliza el ejemplo anterior, sino que incluye muchas medidas sobre espacios no localmente compactos, como la medida de Wiener sobre el espacio de funciones continuas de valor real en el intervalo $[0, 1]$ .
Una medida en $ℝ$ es una medida de Radon si y solo si es una medida de Borel localmente finita .

Los siguientes no son ejemplos de medidas de radón:

La medida de conteo en el espacio euclidiano es un ejemplo de una medida que no es una medida de Radon, ya que no es localmente finita.
El espacio de ordinales como máximo iguales a $Ω$ , el primer ordinal incontable con la topología de orden es un espacio topológico compacto. La medida que es igual a $1$ en cualquier conjunto de Borel que contenga un subconjunto cerrado incontable de $[1, Ω)$ , y $0$ en caso contrario, es Borel pero no Radon, ya que el conjunto de un punto ${Ω}$ tiene medida cero pero cualquier entorno abierto de él tiene medida $1$ . ^[4]
Sea $X$ el intervalo $[0, 1)$ dotado de la topología generada por la colección de intervalos semiabiertos ${[a, b) : 0 \leq a < b \leq 1}$ . Esta topología se denomina a veces línea de Sorgenfrey . En este espacio topológico, la medida estándar de Lebesgue no es Radon puesto que no es regular internamente, puesto que los conjuntos compactos son, como máximo, numerables.
Sea $Z$ un conjunto de Bernstein en $[0, 1]$ (o cualquier espacio polaco). Entonces ninguna medida que se anule en puntos de $Z$ es una medida de Radon, ya que cualquier conjunto compacto en $Z$ es numerable.
La medida del producto estándar en $(0, 1) κ$ para un número incontable $de κ$ no es una medida de Radon, ya que cualquier conjunto compacto está contenido dentro de un producto de un número incontable de intervalos cerrados, cada uno de los cuales es más corto que 1.

Observamos que, intuitivamente, la medida de Radon es útil en finanzas matemáticas, particularmente para trabajar con procesos de Lévy porque tiene las propiedades de las medidas de Lebesgue y de Dirac , ya que a diferencia de Lebesgue, una medida de Radon en un solo punto no es necesariamente de medida $0.$ ^[5 ]

Propiedades básicas

Medidas moderadas de radón

Dada una medida de Radon $m$ en un espacio $X$ , podemos definir otra medida $M$ (en los conjuntos de Borel) poniendo

$M(B)=\inf\{m(V)\mid V{\text{ es un conjunto abierto con }}B\subseteq V\subseteq X\}.$

La medida $M$ es regular externamente y localmente finita, y regular internamente para conjuntos abiertos. Coincide con $m$ en conjuntos compactos y abiertos, y $m$ puede reconstruirse a partir de $M$ como la única medida regular interna que es la misma que $M$ en conjuntos compactos. La medida $m$ se llama moderada si $M$ es $σ$ -finita; en este caso las medidas $m$ y $M$ son las mismas. (Si $m$ es $σ$ -finita esto no implica que $M$ sea $σ$ -finita, por lo que ser moderada es más fuerte que ser $σ$ -finita.)

En un espacio de Lindelöf hereditario cada medida de Radon es moderada.

Un ejemplo de una medida $m$ que es $σ$ -finita pero no moderada es el siguiente. ^[6] El espacio topológico $X$ tiene como conjunto subyacente el subconjunto del plano real dado por el eje $y$ de los puntos $(0, y)$ junto con los puntos $(1/ n, m / n 2)$ con $m$ , $n$ enteros positivos. La topología se da como sigue. Los puntos individuales $(1/ n, m / n 2)$ son todos conjuntos abiertos. Una base de vecindades del punto $(0, y)$ está dada por cuñas que consisten en todos los puntos en $X$ de la forma $(u, v)$ con $| v - y | \leq | u | \leq 1/ n$ para un entero positivo $n$ . Este espacio $X$ es localmente compacto. La medida $m$ se da al dejar que el $eje$ y tenga medida $0$ y dejar que el punto $(1/ n, m / n 2)$ tenga medida $1/ n 3$ . Esta medida es regular internamente y localmente finita, pero no es regular externamente, ya que cualquier conjunto abierto que contenga el $eje$ y tiene medida infinita. En particular, el $eje y$ tiene $m$ medida $0$ pero $M$ medida infinita.

Espacios de radón

Un espacio topológico se denomina espacio de Radon si toda medida finita de Borel es una medida de Radon, y fuertemente de Radon si toda medida localmente finita de Borel es una medida de Radon. Cualquier espacio de Suslin es fuertemente de Radon, y además toda medida de Radon es moderada.

Dualidad

En un espacio de Hausdorff localmente compacto, las medidas de Radon corresponden a funcionales lineales positivos en el espacio de funciones continuas con soporte compacto. Esto no es sorprendente ya que esta propiedad es la principal motivación para la definición de la medida de Radon.

Estructura del espacio métrico

Al cono puntiagudo $M + (X)$ de todas las medidas (positivas) de Radon en $X$ se le puede dar la estructura de un espacio métrico completo definiendo la distancia de Radon entre dos medidas $m$ $1$ $,$ $m$ $2$ $\in$ $M$ $+$ $($ $X$ $)$ como $\rho (m_{1},m_{2})=\sup \left\{\left.\int _{X}f(x)(m_{1}-m_{2})(dx)\ \right|\mathrm {continua\,} f:X\to [-1,1]\subset \mathbb {R} \right\}.$

Esta métrica tiene algunas limitaciones. Por ejemplo, el espacio de medidas de probabilidad de Radon en $X$ , no es secuencialmente compacto con respecto a la métrica de Radon: es decir, no se garantiza que cualquier secuencia de medidas de probabilidad tenga una subsecuencia que sea convergente con respecto a la métrica de Radon, lo que presenta dificultades en ciertas aplicaciones. Por otro lado, si $X$ es un espacio métrico compacto, entonces la métrica de Wasserstein convierte $a P$ $($ $X$ $)$ en un espacio métrico compacto. ${\mathcal {P}}(X)=\{m\in {\mathcal {M}}_{+}(X)\mid m(X)=1\},$

La convergencia en la métrica de Radon implica una convergencia débil de las medidas , pero la implicación inversa es falsa en general. La convergencia de las medidas en la métrica de Radon a veces se conoce como convergencia fuerte , en contraste con la convergencia débil. $\rho (m_{n},m)\to 0\Rightarrow m_{n}\rightharpoonup m,$

Véase también

Referencias

^ Folland 1999, pág. 212
^ Bourbaki 2004a
^ Bourbaki 2004b; Hewitt y Stromberg 1965; Dieudonné 1970.
^ Schwartz 1974, pág. 45
^ Cont, Rama y Peter Tankov. Modelado financiero con procesos de salto. Chapman & Hall, 2004.
^ Bourbaki 2004a, Ejercicio 5 de la sección 1

Bibliografía

Bourbaki, Nicolas (2004a), Integración I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1. Desarrollo analítico-funcional de la teoría de la medida e integral de Radon en espacios localmente compactos.
Bourbaki, Nicolas (2004b), Integración II , Springer Verlag , ISBN 3-540-20585-3. Medida de Haar; Medidas de Radon en espacios generales de Hausdorff y equivalencia entre las definiciones en términos de funcionales lineales y medidas regulares internas localmente finitas en el álgebra sigma de Borel.
Dieudonné, Jean (1970), Tratado de análisis , vol. 2, prensa académica. Contiene una versión simplificada del enfoque de Bourbaki, especializada en medidas definidas en espacios metrizables separables.
Folland, Gerald (1999), Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones , Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., pág. 212, ISBN 0-471-31716-0
Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag
König, Heinz (1997), Medición e integración: un curso avanzado en procedimientos básicos y aplicaciones , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-61858-9
Schwartz, Laurent (1974), Medidas de radón en espacios topológicos arbitrarios y medidas cilíndricas , Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

Enlaces externos

RA Minlos (2001) [1994], "Medida del radón", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press