Soporte (teoría de la medida)

Concepto en matemáticas

En matemáticas , el soporte (a veces soporte topológico o espectro ) de una medida en un espacio topológico medible es una noción precisa de dónde "vive" la medida en el espacio. Se define como el subconjunto más grande ( cerrado ) de para el cual cada entorno abierto de cada punto del conjunto tiene medida positiva. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\operatorname {Borel} (X))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Motivación

Una medida (no negativa) en un espacio medible es realmente una función Por lo tanto, en términos de la definición habitual de soporte , el soporte de es un subconjunto del σ-álgebra donde la barra superior denota el cierre del conjunto . Sin embargo, esta definición es algo insatisfactoria: usamos la noción de cierre, pero ni siquiera tenemos una topología en Lo que realmente queremos saber es dónde en el espacio la medida es distinta de cero. Consideremos dos ejemplos: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,+\infty ].}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma :}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):={\overline {\{A\in \Sigma \,\vert \,\mu (A)\neq 0\}}},}$$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$

1. Medida de Lebesgue sobre la recta real Parece claro que "vive" en toda la recta real. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \lambda }$
2. Una medida de Dirac en algún punto Una vez más, la intuición sugiere que la medida "vive en" el punto y en ningún otro lugar. ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p,}$

A la luz de estos dos ejemplos, podemos rechazar las siguientes definiciones candidatas en favor de la de la siguiente sección:

1. Podríamos eliminar los puntos donde es cero y tomar el soporte como el resto. Esto podría funcionar para la medida de Dirac , pero definitivamente no funcionaría porque, dado que la medida de Lebesgue de cualquier singleton es cero, esta definición daría un soporte vacío. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\setminus \{x\in X\mid \mu (\{x\})=0\}.}$ ${\displaystyle \delta _{p},}$ ${\displaystyle \lambda :}$ ${\displaystyle \lambda }$
2. En comparación con la noción de positividad estricta de las medidas, podríamos tomar el soporte como el conjunto de todos los puntos con un vecindario de medida positiva: (o el cierre de este). También es demasiado simplista: al tomar esto para todos los puntos, haría que el soporte de cada medida excepto la medida cero sea el conjunto de $${\displaystyle \{x\in X\mid \exists N_{x}{\text{ open}}{\text{ such that }}(x\in N_{x}{\text{ and }}\mu (N_{x})>0)\}}$$ ${\displaystyle N_{x}=X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle X.}$

Sin embargo, la idea de “positividad local estricta” no está muy lejos de ser una definición viable.

Definición

Sea un espacio topológico ; sea la σ-álgebra de Borel en , es decir, el álgebra sigma más pequeña en que contiene todos los conjuntos abiertos Sea una medida en Entonces el soporte (o espectro ) de se define como el conjunto de todos los puntos en para los cuales cada vecindad abierta de tiene medida positiva : ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle B(T)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\in T.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,B(T))}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\{x\in X\mid \forall N_{x}\in T\colon (x\in N_{x}\Rightarrow \mu (N_{x})>0)\}.}$$

Algunos autores prefieren tomar la clausura del conjunto anterior. Sin embargo, esto no es necesario: consulte "Propiedades" a continuación.

Una definición equivalente de soporte es como el más grande (con respecto a la inclusión) tal que cada conjunto abierto que tiene intersección no vacía con tiene medida positiva, es decir, el más grande tal que: ${\displaystyle C\in B(T)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle (\forall U\in T)(U\cap C\neq \varnothing \implies \mu (U\cap C)>0).}$$

Medidas firmadas y complejas

Esta definición se puede extender a medidas con signo y complejas. Supongamos que es una medida con signo . Utilice el teorema de descomposición de Hahn para escribir donde son ambas medidas no negativas. Entonces el soporte de se define como ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [-\infty ,+\infty ]}$ $${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-},}$$ ${\displaystyle \mu ^{\pm }}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\operatorname {supp} (\mu ^{+})\cup \operatorname {supp} (\mu ^{-}).}$$

De manera similar, si es una medida compleja , el soporte de se define como la unión de los soportes de sus partes reales e imaginarias. ${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$

Propiedades

${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu _{1}+\mu _{2})=\operatorname {supp} (\mu _{1})\cup \operatorname {supp} (\mu _{2})}$sostiene.

Una medida en es estrictamente positiva si y solo si tiene soporte Si es estrictamente positiva y es arbitraria, entonces cualquier entorno abierto de ya que es un conjunto abierto , tiene medida positiva; por lo tanto, entonces Inversamente, si entonces todo conjunto abierto no vacío (al ser un entorno abierto de algún punto en su interior, que es también un punto del soporte) tiene medida positiva; por lo tanto, es estrictamente positivo. El soporte de una medida es cerrado en ya que su complemento es la unión de los conjuntos abiertos de medida ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\mu ),}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X.}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0.}$

En general, el soporte de una medida distinta de cero puede estar vacío: vea los ejemplos a continuación. Sin embargo, si es un espacio topológico de Hausdorff y es una medida de Radon , un conjunto de Borel fuera del soporte tiene medida cero : La inversa es verdadera si es abierta, pero no es verdadera en general: falla si existe un punto tal que (por ejemplo, la medida de Lebesgue). Por lo tanto, no es necesario "integrar fuera del soporte": para cualquier función medible o ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A\subseteq X\setminus \operatorname {supp} (\mu )\implies \mu (A)=0.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\mu )}$ ${\displaystyle \mu (\{x\})=0}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ $${\displaystyle \int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{\operatorname {supp} (\mu )}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

El concepto de soporte de una medida y el de espectro de un operador lineal autoadjunto en un espacio de Hilbert están estrechamente relacionados. En efecto, si es una medida de Borel regular en la recta entonces el operador de multiplicación es autoadjunto en su dominio natural y su espectro coincide con el rango esencial de la función identidad que es precisamente el soporte de ^[1] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (Af)(x)=xf(x)}$ $${\displaystyle D(A)=\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\mid xf(x)\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\}}$$ ${\displaystyle x\mapsto x,}$ ${\displaystyle \mu .}$

Ejemplos

Medida de Lebesgue

En el caso de la medida de Lebesgue en la línea real, considere un punto arbitrario. Entonces, cualquier vecindad abierta de debe contener algún intervalo abierto para algún. Este intervalo tiene medida de Lebesgue, por lo que, como era arbitrario, ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x-\epsilon ,x+\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon >0.}$ ${\displaystyle 2\epsilon >0,}$ ${\displaystyle \lambda (N_{x})\geq 2\epsilon >0.}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\lambda )=\mathbb {R} .}$

Medida de Dirac

En el caso de la medida de Dirac consideremos dos casos: ${\displaystyle \delta _{p},}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

1. Si entonces cada vecindario abierto de contiene así ${\displaystyle x=p,}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \delta _{p}(N_{x})=1>0.}$
2. Por otra parte, si entonces existe una bola abierta suficientemente pequeña alrededor que no contenga tanto ${\displaystyle x\neq p,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \delta _{p}(B)=0.}$

Concluimos que es el cierre del conjunto singleton el que es él mismo. ${\displaystyle \operatorname {supp} (\delta _{p})}$ ${\displaystyle \{p\},}$ ${\displaystyle \{p\}}$

De hecho, una medida en la línea real es una medida de Dirac para algún punto si y solo si el soporte de es el conjunto singleton. En consecuencia, la medida de Dirac en la línea real es la única medida con varianza cero (siempre que la medida tenga varianza). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{p\}.}$

Una distribución uniforme

Consideremos la medida en la línea real definida por, es decir, una medida uniforme en el intervalo abierto. Un argumento similar al ejemplo de la medida de Dirac muestra que Nótese que los puntos límite 0 y 1 se encuentran en el soporte: cualquier conjunto abierto que contenga 0 (o 1) contiene un intervalo abierto alrededor de 0 (o 1), que debe intersecar y, por lo tanto, debe tener una medida positiva. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mu (A):=\lambda (A\cap (0,1))}$$ ${\displaystyle (0,1).}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=[0,1].}$ ${\displaystyle (0,1),}$ ${\displaystyle \mu }$

Una medida no trivial cuyo apoyo está vacío

El espacio de todos los ordinales numerables con la topología generada por "intervalos abiertos" es un espacio de Hausdorff localmente compacto . La medida ("medida de Dieudonné") que asigna la medida 1 a los conjuntos de Borel que contienen un subconjunto cerrado no acotado y asigna 0 a otros conjuntos de Borel es una medida de probabilidad de Borel cuyo soporte está vacío.

Una medida no trivial cuyo apoyo tiene medida cero

En un espacio de Hausdorff compacto el soporte de una medida distinta de cero siempre es no vacío, pero puede tener medida. Un ejemplo de esto se da añadiendo el primer ordinal incontable al ejemplo anterior: el soporte de la medida es el único punto que tiene medida. ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle 0.}$

Referencias

1. Métodos matemáticos en mecánica cuántica con aplicaciones a los operadores de Schrödinger

• Ambrosio, L., Gigli, N. y Savaré, G. (2005). Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilea. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidad en espacios métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. pág. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR 2169627 (Véase capítulo 2, sección 2.)
• Teschl, Gerald (2009). Métodos matemáticos en mecánica cuántica con aplicaciones a los operadores de Schrödinger. AMS.(Véase el capítulo 3, apartado 2)