Gama esencial

En matemáticas , particularmente en teoría de la medida , el rango esencial , o el conjunto de valores esenciales , de una función es intuitivamente el rango "no despreciable" de la función: no cambia entre dos funciones que son iguales casi en todas partes . Una forma de pensar en el rango esencial de una función es el conjunto en el que se "concentra" el rango de la función.

Definición formal

Sea un espacio de medida y sea un espacio topológico . Para cualquier función medible , decimos que el rango esencial de significa el conjunto ${\displaystyle (X,{\cal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle ({\cal {A}},\sigma ({\cal {T}}))}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\left\{y\in Y\mid 0<\mu (f^{-1}(U)){\text{ for all }}U\in {\cal {T}}{\text{ with }}y\in U\right\}.}$^{[1] : Ejemplo 0.A.5  [2] [3]}

De manera equivalente, , donde es la medida de empuje hacia adelante sobre de debajo y denota el soporte de ^[4] ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {supp} (f_{*}\mu )}$ ${\displaystyle f_{*}\mu }$ ${\displaystyle \sigma ({\cal {T}})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f_{*}\mu )}$ ${\displaystyle f_{*}\mu .}$

Valores esenciales

La frase " valor esencial de " se utiliza a veces para significar un elemento del rango esencial de ^{[5] : Ejercicio 4.1.6  [6] : Ejemplo 7.1.11} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$

Casos especiales de interés común

Y=do

Digamos que está equipado con su topología habitual. Entonces, el rango esencial de f está dado por ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\left\{z\in \mathbb {C} \mid {\text{for all}}\ \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}:0<\mu \{x\in X:|f(x)-z|<\varepsilon \}\right\}.}$^{[7] : Definición 4.36  [8] [9] : cf. Ejercicio 6.11}

En otras palabras: el rango esencial de una función de valor complejo es el conjunto de todos los números complejos z tales que la imagen inversa de cada vecindad ε de z bajo f tiene medida positiva.

(Y,yo) es discreto

Digamos que es discreto , es decir, es el conjunto potencia de , es decir, la topología discreta en Entonces el rango esencial de f es el conjunto de valores y en Y con medida estrictamente positiva : ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle {\cal {T}}={\cal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f_{*}\mu }$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\{y\in Y:0<\mu (f^{\text{pre}}\{y\})\}=\{y\in Y:0<(f_{*}\mu )\{y\}\}.}$^{[10] : Ejemplo 1.1.29  [11] [12]}

Propiedades

• El rango esencial de una función medible, al ser el soporte de una medida , siempre está cerrado.
• El rango esencial ess.im(f) de una función medible es siempre un subconjunto de . ${\displaystyle {\overline {\operatorname {im} (f)}}}$
• La imagen esencial no puede utilizarse para distinguir funciones que son casi iguales en todas partes: si se cumple - casi en todas partes , entonces . ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {ess.im} (g)}$
• Estos dos hechos caracterizan la imagen esencial: es el conjunto más grande contenido en las clausuras de para todos los g que son ae iguales a f: ${\displaystyle \operatorname {im} (g)}$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\bigcap _{f=g\,{\text{a.e.}}}{\overline {\operatorname {im} (g)}}}$.

• La gama esencial satisface . ${\displaystyle \forall A\subseteq X:f(A)\cap \operatorname {ess.im} (f)=\emptyset \implies \mu (A)=0}$
• Este hecho caracteriza la imagen esencial: es el subconjunto cerrado más pequeño de con esta propiedad. ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• El supremo esencial de una función valorada real es igual al supremo de su imagen esencial y el ínfimo esencial es igual al ínfimo de su rango esencial. En consecuencia, una función es esencialmente acotada si y sólo si su rango esencial es acotado.
• El rango esencial de una función esencialmente acotada f es igual al espectro donde f se considera como un elemento del C*-álgebra . ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$

Ejemplos

• Si es la medida cero, entonces la imagen esencial de todas las funciones mensurables está vacía. ${\displaystyle \mu }$
• Esto también ilustra que, aunque el rango esencial de una función es un subconjunto del cierre del rango de esa función, la igualdad de los dos conjuntos no necesariamente se cumple.
• Si es abierto, continuo y la medida de Lebesgue , entonces se cumple. Esto se cumple de manera más general para todas las medidas de Borel que asignan una medida distinta de cero a cada conjunto abierto no vacío. ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)={\overline {\operatorname {im} (f)}}}$

Extensión

La noción de rango esencial puede extenderse al caso de , donde es un espacio métrico separable . Si y son variedades diferenciables de la misma dimensión, si VMO y si , entonces . ^[13] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in }$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)\neq Y}$ ${\displaystyle \deg f=0}$

Véase también

• Esencial supremo y esencial ínfimo
• medida
• Espacio L ^p

Referencias

1. Zimmer, Robert J. (1990). Resultados esenciales del análisis funcional . University of Chicago Press. pág. 2. ISBN 0-226-98337-4.
2. Kuksin, Sergei ; Shirikyan, Armen (2012). Matemáticas de la turbulencia bidimensional . Cambridge University Press. p. 292. ISBN 978-1-107-02282-9.
3. Kon, Mark A. (1985). Distribuciones de probabilidad en mecánica estadística cuántica . Springer. pp. 74, 84. ISBN. 3-540-15690-9.
4. Driver, Bruce (7 de mayo de 2012). Herramientas de análisis con ejemplos (PDF) . pág. 327.Cf. Ejercicio 30.5.1.
5. Segal, Irving E. ; Kunze, Ray A. (1978). Integrales y operadores (2.ª edición revisada y ampliada). Springer. pág. 106. ISBN 0-387-08323-5.
6. Bogachev, Vladimir I.; Smolyanov, Oleg G. (2020). Análisis real y funcional . Conferencias de Moscú. Springer. pág. 283. ISBN 978-3-030-38219-3. ISSN  2522-0314.
7. Weaver, Nik (2013). Teoría de la medida y análisis funcional . World Scientific. pág. 142. ISBN 978-981-4508-56-8.
8. Bhatia, Rajendra (2009). Notas sobre análisis funcional . Hindustan Book Agency. pág. 149. ISBN 978-81-85931-89-0.
9. Folland, Gerald B. (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones . Wiley. pág. 187. ISBN 0-471-31716-0.
10. Cf. Tao, Terence (2012). Temas de teoría de matrices aleatorias . American Mathematical Society. pág. 29. ISBN. 978-0-8218-7430-1.
11. Cf. Freedman, David (1971). Cadenas de Markov . Holden-Day. pág. 1.
12. Cf. Chung, Kai Lai (1967). Cadenas de Markov con probabilidades de transición estacionarias . Springer. pág. 135.
13. Brezis, Haïm; Nirenberg, Louis (septiembre de 1995). "Teoría de grados y BMO. Parte I: Variedades compactas sin límites". Selecta Mathematica . 1 (2): 197–263. doi :10.1007/BF01671566.

• Walter Rudin (1974). Análisis real y complejo (2.ª ed.). McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054234-1.