Soporte (teoría de la medida)

En matemáticas , el soporte (a veces soporte topológico o espectro ) de una medida en un espacio topológico mensurable es una noción precisa de en qué parte del espacio "vive" la medida. Se define como el subconjunto más grande ( cerrado ) del cual cada vecindad abierta de cada punto del conjunto tiene medida positiva. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\operatorname {Borel} (X))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Motivación

Una medida (no negativa) en un espacio medible es en realidad una función. Por lo tanto, en términos de la definición habitual de soporte , el soporte de es un subconjunto del álgebra σ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,+\infty ].}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma :}$

$${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):={\overline {\{A\in \Sigma \,\vert \,\mu (A)\neq 0\}}},}$$

el cierre del conjunto ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$

1. Medida de Lebesgue sobre la línea real Parece claro que "vive sobre" el conjunto de la línea real. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \lambda }$
2. Una medida de Dirac en algún punto Una vez más, la intuición sugiere que la medida "vive en" el punto y en ningún otro lugar. ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p,}$

A la luz de estos dos ejemplos, podemos rechazar las siguientes definiciones candidatas a favor de la de la siguiente sección:

1. Podríamos eliminar los puntos donde es cero y tomar el soporte como el resto. Esto podría funcionar para la medida de Dirac, pero definitivamente no funcionaría, ya que la medida de Lebesgue de cualquier singleton es cero, esta definición daría un soporte vacío. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\setminus \{x\in X\mid \mu (\{x\})=0\}.}$ ${\displaystyle \delta _{p},}$ ${\displaystyle \lambda :}$ ${\displaystyle \lambda }$
2. En comparación con la noción de positividad estricta de las medidas, podríamos considerar que el soporte es el conjunto de todos los puntos con una vecindad de medidas positivas:
   $${\displaystyle \{x\in X\mid \exists N_{x}{\text{ open}}{\text{ such that }}(x\in N_{x}{\text{ and }}\mu (N_{x})>0)\}}$$
   (o el cierre de este). También es demasiado simplista: al tomar en cuenta todos los puntos, el apoyo a todas las medidas excepto la medida cero haría que el apoyo a todas las medidas, excepto la medida cero, fuera total. ${\displaystyle N_{x}=X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle X.}$

Sin embargo, la idea de "positividad estricta local" no está muy lejos de ser una definición viable.

Definición

Sea un espacio topológico ; denotemos el álgebra σ de Borel , es decir , el álgebra sigma más pequeña que contiene todos los conjuntos abiertos. Sea una medida de Entonces, el soporte (o espectro ) de se define como el conjunto de todos los puntos para los cuales cada vecindad abierta de tiene medida positiva . : ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle B(T)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\in T.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,B(T))}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\{x\in X\mid \forall N_{x}\in T\colon (x\in N_{x}\Rightarrow \mu (N_{x})>0)\}.}$$

Algunos autores prefieren tomar el cierre del conjunto anterior. Sin embargo, esto no es necesario: consulte "Propiedades" a continuación.

Una definición equivalente de soporte es la más grande (con respecto a la inclusión) tal que cada conjunto abierto que tiene una intersección no vacía con tiene una medida positiva, es decir, la más grande tal que: ${\displaystyle C\in B(T)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle (\forall U\in T)(U\cap C\neq \varnothing \implies \mu (U\cap C)>0).}$$

Medidas firmadas y complejas

Esta definición puede ampliarse a medidas firmadas y complejas. Supongamos que es una medida firmada . Utilice el teorema de descomposición de Hahn para escribir ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [-\infty ,+\infty ]}$

$${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-},}$$

soporte ${\displaystyle \mu ^{\pm }}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\operatorname {supp} (\mu ^{+})\cup \operatorname {supp} (\mu ^{-}).}$$

De manera similar, si es una medida compleja , el apoyo de se define como la unión de los apoyos de sus partes real e imaginaria. ${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$

Propiedades

${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu _{1}+\mu _{2})=\operatorname {supp} (\mu _{1})\cup \operatorname {supp} (\mu _{2})}$sostiene.

Una medida de on es estrictamente positiva si y sólo si tiene soporte. Si es estrictamente positiva y es arbitraria, entonces cualquier vecindad abierta de, dado que es un conjunto abierto , tiene medida positiva; por lo tanto, a la inversa, si entonces todo conjunto abierto no vacío (siendo una vecindad abierta de algún punto en su interior, que también es un punto del soporte) tiene medida positiva; por tanto, es estrictamente positivo. El apoyo de una medida es cerrado ya que su complemento es la unión de los conjuntos abiertos de medida. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\mu ),}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X.}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0.}$

En general, el soporte de una medida distinta de cero puede estar vacío: consulte los ejemplos a continuación. Sin embargo, si es un espacio topológico de Hausdorff y es una medida de radón , un conjunto de Borel fuera del soporte tiene medida cero : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A\subseteq X\setminus \operatorname {supp} (\mu )\implies \mu (A)=0.}$$

función medible ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\mu )}$ ${\displaystyle \mu (\{x\})=0}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

$${\displaystyle \int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{\operatorname {supp} (\mu )}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

El concepto de soporte de una medida y el de espectro de un operador lineal autoadjunto en un espacio de Hilbert están estrechamente relacionados. De hecho, si hay una medida de Borel regular en la recta , entonces el operador de multiplicación es autoadjunto en su dominio natural. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (Af)(x)=xf(x)}$

$${\displaystyle D(A)=\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\mid xf(x)\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\}}$$

rango esencial^[1] ${\displaystyle x\mapsto x,}$ ${\displaystyle \mu .}$

Ejemplos

medida de lebesgue

En el caso de la medida de Lebesgue en la recta real, considere un punto arbitrario. Entonces cualquier vecindad abierta de debe contener algún intervalo abierto para algunos. Este intervalo tiene medida de Lebesgue, por lo que como era arbitrario, ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x-\epsilon ,x+\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon >0.}$ ${\displaystyle 2\epsilon >0,}$ ${\displaystyle \lambda (N_{x})\geq 2\epsilon >0.}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\lambda )=\mathbb {R} .}$

medida de dirac

En el caso de la medida Dirac consideremos dos casos: ${\displaystyle \delta _{p},}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

1. si entonces cada vecindad abierta de contiene así ${\displaystyle x=p,}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \delta _{p}(N_{x})=1>0.}$
2. por otro lado, si entonces existe una bola abierta lo suficientemente pequeña alrededor que no contenga tanta ${\displaystyle x\neq p,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \delta _{p}(B)=0.}$

Concluimos que es el cierre del conjunto singleton que es en sí mismo. ${\displaystyle \operatorname {supp} (\delta _{p})}$ ${\displaystyle \{p\},}$ ${\displaystyle \{p\}}$

De hecho, una medida en la recta real es una medida de Dirac para algún punto si y sólo si el soporte de es el conjunto singleton. En consecuencia, la medida de Dirac en la recta real es la única medida con varianza cero (siempre que la medida tenga varianza en todo). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{p\}.}$

Una distribución uniforme

Considere la medida sobre la recta real definida por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mu (A):=\lambda (A\cap (0,1))}$$

medida uniforme ${\displaystyle (0,1).}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=[0,1].}$ ${\displaystyle (0,1),}$ ${\displaystyle \mu }$

Una medida no trivial cuyo apoyo está vacío

El espacio de todos los ordinales contables con la topología generada por "intervalos abiertos" es un espacio de Hausdorff localmente compacto . La medida ("medida Dieudonné") que asigna la medida 1 a los conjuntos de Borel que contienen un subconjunto cerrado ilimitado y asigna 0 a otros conjuntos de Borel es una medida de probabilidad de Borel cuyo soporte está vacío.

Una medida no trivial cuyo apoyo tiene la medida cero

En un espacio compacto de Hausdorff, el soporte de una medida distinta de cero siempre no está vacío, pero puede tener medida. Un ejemplo de esto se da agregando el primer ordinal incontable al ejemplo anterior: el soporte de la medida es el único punto que tiene medida ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle 0.}$

Referencias

1. Métodos matemáticos en mecánica cuántica con aplicaciones a operadores de Schrödinger

• Ambrosio, L., Gigli, N. y Savaré, G. (2005). Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilea. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidad en espacios métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. pag. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR 2169627 (Ver capítulo 2, sección 2.)
• Teschl, Gerald (2009). Métodos matemáticos en Mecánica Cuántica con aplicaciones a Operadores de Schrödinger. AMS.(Ver capítulo 3, sección 2)