conjunto de Borel

Clase de conjuntos matemáticos.

En matemáticas , un conjunto de Borel es cualquier conjunto en un espacio topológico que puede formarse a partir de conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, de conjuntos cerrados ) mediante las operaciones de unión contable , intersección contable y complemento relativo . Los conjuntos de Borel llevan el nombre de Émile Borel .

Para un espacio topológico X , la colección de todos los conjuntos de Borel en X forma una σ-álgebra , conocida como álgebra de Borel o σ-álgebra de Borel . El álgebra de Borel en X es la σ-álgebra más pequeña que contiene todos los conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, todos los conjuntos cerrados).

Los conjuntos de Borel son importantes en la teoría de la medida , ya que cualquier medida definida en los conjuntos abiertos de un espacio, o en los conjuntos cerrados de un espacio, también debe definirse en todos los conjuntos de Borel de ese espacio. Cualquier medida definida en los conjuntos de Borel se denomina medida de Borel . Los conjuntos de Borel y la jerarquía de Borel asociada también desempeñan un papel fundamental en la teoría descriptiva de conjuntos .

En algunos contextos, los conjuntos de Borel se definen como generados por los conjuntos compactos del espacio topológico, en lugar de los conjuntos abiertos. Las dos definiciones son equivalentes para muchos espacios de buen comportamiento , incluidos todos los espacios σ-compactos de Hausdorff , pero pueden ser diferentes en espacios más patológicos .

Generando el álgebra de Borel

En el caso de que X sea un espacio métrico , el álgebra de Borel en el primer sentido puede describirse generativamente de la siguiente manera.

Para una colección T de subconjuntos de X (es decir, para cualquier subconjunto del conjunto de potencias P( X ) de X ), sea

• ${\displaystyle T_{\sigma }}$ser todas las uniones contables de elementos de T
• ${\displaystyle T_{\delta }}$ser todas las intersecciones contables de elementos de T
• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.}$

Ahora defina por inducción transfinita una secuencia G ^m , donde m es un número ordinal , de la siguiente manera:

• Para el caso base de la definición, sea la colección de subconjuntos abiertos de X. ${\displaystyle G^{0}}$
• Si i no es un ordinal límite , entonces i tiene un ordinal inmediatamente anterior i − 1. Sea
  $${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.}$$
• Si i es un ordinal límite, establezca
  $${\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.}$$

La afirmación es que el álgebra de Borel es G ^{ω ₁} , donde ω ₁ es el primer número ordinal incontable . Es decir, el álgebra de Borel se puede generar a partir de la clase de conjuntos abiertos iterando la operación

$${\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }.}$$

Para probar esta afirmación, cualquier conjunto abierto en un espacio métrico es la unión de una secuencia creciente de conjuntos cerrados. En particular, la complementación de conjuntos mapea G ^m dentro de sí mismo para cualquier límite ordinal m ; además, si m es un ordinal límite incontable, G ^m está cerrado bajo uniones contables.

Para cada conjunto de Borel B , hay algún ordinal contable α _B tal que B se puede obtener iterando la operación sobre α _B. Sin embargo, como B varía en todos los conjuntos de Borel, α _B variará en todos los ordinales contables y, por tanto, el primer ordinal en el que se obtienen todos los conjuntos de Borel es ω ₁ , el primer ordinal incontable.

La secuencia resultante de conjuntos se denomina jerarquía de Borel .

Ejemplo

Un ejemplo importante, especialmente en la teoría de la probabilidad , es el álgebra de Borel sobre el conjunto de los números reales . Es el álgebra sobre la que se define la medida de Borel . Dada una variable aleatoria real definida en un espacio de probabilidad , su distribución de probabilidad es, por definición, también una medida del álgebra de Borel.

El álgebra de Borel en los reales es la σ-álgebra más pequeña en R que contiene todos los intervalos .

En la construcción por inducción transfinita se puede demostrar que, en cada paso, el número de conjuntos es, como máximo, la cardinalidad del continuo . Entonces, el número total de conjuntos de Borel es menor o igual a

$${\displaystyle \aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}.}$$

De hecho, la cardinalidad de la colección de conjuntos de Borel es igual a la del continuo (compárese con el número de conjuntos medibles de Lebesgue que existen, que es estrictamente mayor e igual a ). ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$

Espacios de Borel estándar y teoremas de Kuratowski

Sea X un espacio topológico. El espacio de Borel asociado a X es el par ( X , B ), donde B es el σ-álgebra de conjuntos de Borel de X .

George Mackey definió un espacio de Borel de manera algo diferente, escribiendo que es "un conjunto junto con un distinguido campo σ de subconjuntos llamados conjuntos de Borel". ^[1] Sin embargo, el uso moderno es llamar a la subálgebra distinguida los conjuntos mensurables y dichos espacios espacios mensurables . La razón de esta distinción es que los conjuntos de Borel son el σ-álgebra generado por conjuntos abiertos (de un espacio topológico), mientras que la definición de Mackey se refiere a un conjunto equipado con un σ-álgebra arbitrario . Existen espacios mensurables que no son espacios de Borel, para cualquier elección de topología en el espacio subyacente. ^[2]

Los espacios medibles forman una categoría en la que los morfismos son funciones medibles entre espacios medibles. Una función es mensurable si extrae conjuntos mensurables, es decir , para todos los conjuntos mensurables B en Y , el conjunto es mensurable en X. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(B)}$

Teorema . Sea X un espacio polaco , es decir, un espacio topológico tal que existe una métrica d en X que define la topología de X y que hace de X un espacio métrico separable completo . Entonces X como espacio de Borel es isomorfo a uno de

1. r ,
2. Z ,
3. un espacio finito.

(Este resultado recuerda al teorema de Maharam ).

Considerados como espacios de Borel, la recta real R , la unión de R con un conjunto contable y R ⁿ son isomórficos.

Un espacio Borel estándar es el espacio Borel asociado a un espacio polaco . Un espacio de Borel estándar se caracteriza hasta el isomorfismo por su cardinalidad, ^[3] y cualquier espacio de Borel estándar incontable tiene la cardinalidad del continuo.

Para subconjuntos de espacios polacos, los conjuntos de Borel se pueden caracterizar como aquellos conjuntos que son los rangos de mapas inyectivos continuos definidos en espacios polacos. Sin embargo, tenga en cuenta que el rango de un mapa no inyectivo continuo puede no ser Borel. Ver conjunto analítico .

Cada medida de probabilidad en un espacio de Borel estándar lo convierte en un espacio de probabilidad estándar .

Conjuntos no Borel

A continuación se describe un ejemplo de un subconjunto de reales que no es Borel, debido a Lusin , ^{[4] .} Por el contrario, no se puede exhibir un ejemplo de un conjunto no mensurable , aunque sí se puede probar su existencia.

Todo número irracional tiene una representación única mediante una fracción continua infinita.

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

donde hay algún número entero y todos los demás números son enteros positivos . Sea el conjunto de todos los números irracionales que corresponden a sucesiones con la siguiente propiedad: existe una subsucesión infinita tal que cada elemento es divisor del siguiente elemento. Este conjunto no es Borel. De hecho, es analítico y completo en la clase de conjuntos analíticos. Para obtener más detalles, consulte la teoría descriptiva de conjuntos y el libro de Kechris , especialmente el Ejercicio (27.2) en la página 209, la Definición (22.9) en la página 169 y el Ejercicio (3.4)(ii) en la página 14. ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )}$ ${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )}$ ${\displaystyle A}$

Es importante tener en cuenta que, si bien ZF es suficiente para formalizar la construcción de , no se puede demostrar solo en ZF que no sea Borel. De hecho, es consistente con ZF que es una unión contable de conjuntos contables, ^[5] de modo que cualquier subconjunto de es un conjunto de Borel. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Otro conjunto que no es de Borel es una imagen inversa de una función de paridad infinita . Sin embargo, esta es una prueba de existencia (mediante el axioma de elección), no un ejemplo explícito. ${\displaystyle f^{-1}[0]}$ ${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}$

Definiciones alternativas no equivalentes

Según Paul Halmos , ^[6] un subconjunto de un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto se denomina conjunto de Borel si pertenece al anillo σ más pequeño que contiene todos los conjuntos compactos.

Norberg y Vervaat ^[7] redefinen el álgebra de Borel de un espacio topológico como el álgebra generada por sus subconjuntos abiertos y sus subconjuntos compactos saturados . Esta definición es muy adecuada para aplicaciones en el caso en que no sea Hausdorff. Coincide con la definición habitual si es segundo contable o si todo subconjunto compacto saturado es cerrado (que es el caso en particular si es Hausdorff). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Jerarquía de Borel
• Isomorfismo de Borel
• conjunto de baile
• σ-álgebra cilíndrica
• Teoría descriptiva de conjuntos  - Subcampo de la lógica matemática
• Espacio polaco  – Concepto en topología

Notas

1. Mackey, GW (1966), "Teoría ergódica y grupos virtuales", Matemáticas. Ana. , 166 (3): 187–207, doi :10.1007/BF01361167, ISSN  0025-5831, S2CID  119738592
2. Jochen Wengenroth, ¿Es cada álgebra sigma el álgebra de Borel de una topología?
3. Srivastava, SM (1991), Un curso sobre conjuntos de Borel , Springer Verlag , ISBN 978-0-387-98412-4
4. Lusin, Nicolas (1927), "Sur les ensembles analytiques", Fundamenta Mathematicae (en francés), 10 : Secc. 62, páginas 76–78, doi : 10.4064/fm-10-1-1-95
5. Jech, Thomas (2008). El axioma de elección . Corporación de mensajería. pag. 142.
6. (Halmos 1950, página 219)
7. Tommy Norberg y Wim Vervaat, Capacidades en espacios que no son de Hausdorff, en: Probability and Lattices , en: CWI Tract, vol. 110, Matemáticas. Centrum Centrum Wisk. Inform., Amsterdam, 1997, págs. 133-150

Referencias

• William Arveson , An Invitation to C*-algebras , Springer-Verlag, 1981. (Ver el Capítulo 3 para una excelente exposición de la topología polaca )
• Richard Dudley , Análisis real y probabilidad . Wadsworth, Brooks y Cole, 1989
• Halmos, Paul R. (1950). Teoría de la medida . D. van Nostrand Co. Ver especialmente la Sección. 51 "Conjuntos de Borel y conjuntos de Baire".
• Halsey Royden , Análisis real , Prentice Hall, 1988
• Alexander S. Kechris , Teoría de conjuntos descriptiva clásica , Springer-Verlag, 1995 (Textos de posgrado en matemáticas, vol. 156)

enlaces externos

• "Conjunto de Borel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Definición formal de conjuntos de Borel en el sistema Mizar y lista de teoremas Archivado el 1 de junio de 2020 en Wayback Machine que se han demostrado formalmente al respecto.
• Weisstein, Eric W. "Conjunto Borel". MundoMatemático .

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