Espacio medible

Objeto básico de la teoría de la medida: conjunto y álgebra sigma

En matemáticas , un espacio medible o espacio de Borel ^[1] es un objeto básico en la teoría de la medida . Está formado por un conjunto y una σ-álgebra , que define los subconjuntos que serán medidos.

Captura y generaliza nociones intuitivas como longitud, área y volumen con un conjunto de "puntos" en el espacio, pero las regiones del espacio son los elementos del σ-álgebra , ya que las medidas intuitivas no suelen definirse para los puntos. El álgebra también captura las relaciones que podrían esperarse de las regiones: que una región puede definirse como una intersección de otras regiones, una unión de otras regiones o el espacio con la excepción de otra región. ${\displaystyle X}$

Definición

Consideremos un conjunto y una σ-álgebra en Entonces la tupla se llama espacio medible. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medida , no se necesita ninguna medida para un espacio medible.

Ejemplo

Observa el conjunto: Una posible -álgebra sería: Entonces es un espacio medible. Otra posible -álgebra sería el conjunto potencia en : Con esto, un segundo espacio medible en el conjunto viene dado por $${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.}$$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right).}$

Espacios comunes medibles

Si es finito o infinito numerable, el -álgebra es con mayor frecuencia el conjunto de potencias en, por lo que esto conduce al espacio medible. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X)).}$

Si es un espacio topológico , el álgebra más común es el álgebra de Borel, por lo que esto conduce al espacio medible que es común para todos los espacios topológicos, como los números reales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Ambigüedad con los espacios de Borel

El término espacio de Borel se utiliza para distintos tipos de espacios medibles. Puede referirse a:

• cualquier espacio medible, por lo que es sinónimo de un espacio medible como se definió anteriormente ^[1]
• un espacio medible que es isomorfo a Borel de un subconjunto medible de los números reales (de nuevo con el álgebra de Borel) ^[3] ${\displaystyle \sigma }$

Véase también

• Conjunto de Borel  – Clase de conjuntos matemáticos
• Función medible  – Función para la cual la preimagen de un conjunto medible es medible
• Medida  – Generalización de masa, longitud, área y volumen
• Espacio de Borel estándar  – Construcción matemática en topología
• Categoría de espacios mensurables

Referencias

1. Sazonov, VV (2001) [1994], "Espacio medible", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 18. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
3. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol. 77. Suiza: Springer. p. 15. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.