Medida de Dirac

En matemáticas , una medida de Dirac asigna un tamaño a un conjunto basándose únicamente en si contiene un elemento fijo x o no. Es una forma de formalizar la idea de la función delta de Dirac , una herramienta importante en física y otros campos técnicos.

Definición

Una medida de Dirac es una medida $δ x$ en un conjunto $X$ (con cualquier $σ$ -álgebra de subconjuntos de $X$ ) definida para un $x \in X$ dado y cualquier conjunto (medible) $A \subseteq X$ por

\delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\no \en A;\\1,&x\en A.\end{cases}}

donde $1 A$ es la función indicadora de $A$ .

La medida de Dirac es una medida de probabilidad y, en términos de probabilidad, representa el resultado casi seguro $x$ en el espacio muestral $X.$ También podemos decir que la medida es un solo átomo en $x$ ; sin embargo, tratar la medida de Dirac como una medida atómica no es correcto cuando consideramos la definición secuencial de delta de Dirac, como el límite de una secuencia delta ^{[ dudoso – discutir ]} . Las medidas de Dirac son los puntos extremos del conjunto convexo de medidas de probabilidad en $X.$

El nombre es una formación inversa de la función delta de Dirac ; considerada como una distribución de Schwartz , por ejemplo en la línea real , se pueden tomar medidas para ser un tipo especial de distribución. La identidad

\int _{X}f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x),

que, en la forma

\int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x),

A menudo se considera parte de la definición de la "función delta" y se cumple como un teorema de integración de Lebesgue .

Propiedades de la medida de Dirac

Sea $δ x$ la medida de Dirac centrada en algún punto fijo $x$ en algún espacio medible $(X, Σ )$ .

$δ x$ es una medida de probabilidad y, por lo tanto, una medida finita .

Supongamos que $(X, T)$ es un espacio topológico y que $Σ$ es al menos tan fino como el σ -álgebra de Borel $σ (T)$ en $X$ .

$δ x$ es una medida estrictamente positiva si y sólo si la topología $T$ es tal que $x$ se encuentra dentro de cada conjunto abierto no vacío, por ejemplo en el caso de la topología trivial ${\emptyset, X}$ .
Dado que $δ x$ es una medida de probabilidad, también es una medida localmente finita .
Si $X$ es un espacio topológico de Hausdorff con su $σ$ -álgebra de Borel, entonces $δ x$ satisface la condición de ser una medida regular interna , ya que los conjuntos singleton como ${x}$ son siempre compactos . Por lo tanto, $δ x$ también es una medida de Radon .
Suponiendo que la topología $T$ es lo suficientemente fina como para que ${x}$ esté cerrado, lo que es el caso en la mayoría de las aplicaciones, el soporte de $δ x$ es ${x}$ . (De lo contrario, $supp(δ x)$ es el cierre de ${x}$ en $(X, T)$ .) Además, $δ x$ es la única medida de probabilidad cuyo soporte es ${x}$ .
Si $X$ es un espacio euclidiano $n$ -dimensional $R$ $n$ con su $σ$ -álgebra habitual y medida de Lebesgue $n$ -dimensional $λ$ $n$ , entonces $δ$ $x$ es una medida singular con respecto a $λ$ $n$ : simplemente descomponga $R$ $n$ como $A$ $=$ $R$ $n$ $\ {$ $x$ $}$ y $B$ $= {$ $x$ $}$ y observe que $δ$ $x$ $($ $A$ $) =$ $λ$ $n$ $($ $B$ $) = 0$ .
La medida de Dirac es una medida sigma-finita .

Generalizaciones

Una medida discreta es similar a la medida de Dirac, excepto que se concentra en un número contable de puntos en lugar de en un único punto. De manera más formal, una medida en la línea real se denomina medida discreta (con respecto a la medida de Lebesgue ) si su soporte es, como máximo, un conjunto contable .

Véase también

Referencias

Dieudonné, Jean (1976). "Ejemplos de medidas". Tratado de análisis, Parte 2. Academic Press. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definición, δ". Análisis armónico y aplicaciones . CRC Press. pág. 72. ISBN 0-8493-7879-6.