Punto extremo

Punto no entre otros dos puntos

Un conjunto convexo en azul claro y sus puntos extremos en rojo.

En matemáticas , un punto extremo de un conjunto convexo en un espacio vectorial real o complejo es un punto que no se encuentra en ningún segmento de línea abierta que una dos puntos de En problemas de programación lineal , un punto extremo también se llama vértice o punto de esquina de ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$

Definición

En todo momento se supone que se trata de un espacio vectorial real o complejo . ${\displaystyle X}$

Para cualquiera decir eso ${\displaystyle p,x,y\in X,}$ ${\displaystyle p}$ se encuentra entre ^[2] ysiexistetal que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$

Si es un subconjunto de y entonces se llama ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in K,}$ ${\displaystyle p}$punto extremo ^[2]desi no se encuentra entre dospuntosdistintosEs decir, si no existeytalqueyElconjunto de todos los puntos extremos dese denota por ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle x,y\in K}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {extreme} (K).}$

Generalizaciones

Si es un subconjunto de un espacio vectorial, entonces una subvariedad lineal (es decir, un subespacio afín ) del espacio vectorial se llama ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$variedad de soporte sise encuentra(es decir,no está vacía) y cada segmento abiertocuyo interior se encuentraes necesariamente un subconjunto de^[3]Una variedad de soporte de dimensión 0 se llama punto extremo de^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap S}$ ${\displaystyle I\subseteq S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle S.}$

Caracterizaciones

Elpunto medio ^[2]de dos elementosyen un espacio vectorial es el vector ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+y).}$

Para cualquier elemento y en un espacio vectorial, el conjunto se llama ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,y]=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}}$segmento de recta cerrada ointervalo cerrado entreyEl ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$segmento de recta abierta ointervalo abierto entreyescuandomientras escuando^[2]Los puntosyse llaman ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,x)=\varnothing }$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle (x,y)=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$puntos finales de estos intervalos. Se dice que un intervalo es unintervalo no degenerado o unintervalo adecuado si sus puntos finales son distintos. ElEl punto medio de un intervalo es el punto medio de sus extremos.

El intervalo cerrado es igual a la cáscara convexa de si (y sólo si) Entonces si es convexo y entonces ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x,y\in K,}$ ${\displaystyle [x,y]\subseteq K.}$

Si es un subconjunto no vacío de y es un subconjunto no vacío de entonces se llama ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F}$cara ^[2]desi siempre que un puntose encuentra entre dos puntos deentonces esos dos puntos necesariamente pertenecen a ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p\in F}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F.}$

Teorema ^[2]  -  Sea un subconjunto convexo no vacío de un espacio vectorial y sea Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in K.}$

1. ${\displaystyle p}$es un punto extremo de ${\displaystyle K.}$
2. ${\displaystyle K\setminus \{p\}}$es convexo.
3. ${\displaystyle p}$no es el punto medio de un segmento de recta no degenerado contenido en ${\displaystyle K.}$
4. para cualquier si entonces ${\displaystyle x,y\in K,}$ ${\displaystyle p\in [x,y]}$ ${\displaystyle x=p{\text{ or }}y=p.}$
5. si es tal que ambos y pertenecen a entonces ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p+x}$ ${\displaystyle p-x}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle x=0.}$
6. ${\displaystyle \{p\}}$es una cara de ${\displaystyle K.}$

Ejemplos

Si son dos números reales entonces y son puntos extremos del intervalo. Sin embargo, el intervalo abierto no tiene puntos extremos. ^[2] Cualquier intervalo abierto en no tiene puntos extremos, mientras que cualquier intervalo cerrado no degenerado no igual a tiene puntos extremos (es decir, los puntos finales del intervalo cerrado). De manera más general, cualquier subconjunto abierto del espacio euclidiano de dimensión finita no tiene puntos extremos. ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Los puntos extremos del disco unitario cerrado son el círculo unitario . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

El perímetro de cualquier polígono convexo en el plano es una cara de ese polígono. ^[2] Los vértices de cualquier polígono convexo en el plano son los puntos extremos de ese polígono. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Un mapa lineal inyectivo envía los puntos extremos de un conjunto convexo a los puntos extremos del conjunto convexo ^[2] Esto también es cierto para mapas afines inyectivos. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle F(X).}$

Propiedades

Los puntos extremos de un conjunto convexo compacto forman un espacio de Baire (con topología subespacial), pero es posible que este conjunto no se cierre en ^[2] ${\displaystyle X.}$

Teoremas

Teorema de Krein-Milman

El teorema de Krein-Milman es posiblemente uno de los teoremas más conocidos sobre puntos extremos.

Teorema de Krein-Milman  :  sies convexo y compacto en un espacio vectorial topológico localmente convexo , entonceses la carcasa convexa cerrada de sus puntos extremos: en particular, tal conjunto tiene puntos extremos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Para espacios de Banach

Estos teoremas son para espacios de Banach con la propiedad Radon-Nikodym .

Un teorema de Joram Lindenstrauss establece que, en un espacio de Banach con la propiedad Radon-Nikodym, un conjunto cerrado y acotado no vacío tiene un punto extremo. (En espacios de dimensiones infinitas, la propiedad de compacidad es más fuerte que las propiedades conjuntas de estar cerrado y acotado. ^[4] )

Teorema  (Gerald Edgar)  -  Sea un espacio de Banach con la propiedad Radón-Nikodym, sea un subconjunto separable, cerrado, acotado y convexo de y sea un punto en Entonces hay una medida de probabilidad en los conjuntos universalmente medibles en tal que es el baricentro de y el conjunto de puntos extremos de tiene -medida 1. ^[5] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p}$

El teorema de Edgar implica el teorema de Lindenstrauss.

Nociones relacionadas

Un subconjunto convexo cerrado de un espacio vectorial topológico se llama estrictamente convexo si cada uno de sus puntos límite (topológicos) es un punto extremo. ^[6] La bola unitaria de cualquier espacio de Hilbert es un conjunto estrictamente convexo. ^[6]

k -puntos extremos

De manera más general, un punto en un conjunto convexo es extremo si se encuentra en el interior de un conjunto convexo de dimensiones interiores, pero no en un conjunto convexo de dimensiones interiores. Por lo tanto, un punto extremo también es un punto extremo. Si es un politopo, entonces los puntos extremos son exactamente los puntos interiores de las caras dimensionales de. Más generalmente, para cualquier conjunto convexo, los puntos extremos se dividen en caras abiertas dimensionales. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

El teorema de Krein-Milman de dimensión finita, que se debe a Minkowski, se puede demostrar rápidamente utilizando el concepto de puntos extremos. Si es cerrado, acotado y -dimensional, y si es un punto en entonces es -extremo para algunos. El teorema afirma que es una combinación convexa de puntos extremos. Si entonces es inmediato. De lo contrario, se encuentra en un segmento de línea en el que se puede extender al máximo (porque está cerrado y acotado). Si los puntos finales del segmento son y entonces su rango extremo debe ser menor que el de y el teorema se sigue por inducción. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\leq n.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle p,}$

Ver también

• Teoría de Choquet  – Área de análisis funcional y análisis convexo
• Control bang-bang ^[7]

Citas

1. Saltzman, Mateo. "¿Cuál es la diferencia entre puntos vértices y puntos extremos en problemas de programación lineal?".
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 275–339.
3. Grothendieck 1973, pág. 186.
4. Artstein, Zvi (1980). "Bang-bang y espacios faciales discretos y continuos, o: Busca los puntos extremos". Revisión SIAM . 22 (2): 172–185. doi :10.1137/1022026. JSTOR  2029960. SEÑOR  0564562.
5. Édgar GA. Un teorema de Choquet no compacto. Actas de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas. 1975;49(2):354–8.
6. Halmos 1982, pág. 5.
7. Artstein, Zvi (1980). "Bang-bang y espacios faciales discretos y continuos, o: Busca los puntos extremos". Revisión SIAM . 22 (2): 172–185. doi :10.1137/1022026. JSTOR  2029960. SEÑOR  0564562.

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