Teorema de Kerin-Milman

Sobre cuándo un espacio es igual a la envoltura convexa cerrada de sus puntos extremos

Dada una forma convexa (azul claro) y su conjunto de puntos extremos (rojo), la envoltura convexa de es ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle K.}$

En la teoría matemática del análisis funcional , el teorema de Kerin-Milman es una proposición sobre conjuntos convexos compactos en espacios vectoriales topológicos (TVS) localmente convexos .

Teorema de Kerin-Milman ^[1]  —  Un subconjunto convexo compacto de un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es igual a la envoltura convexa cerrada de sus puntos extremos .

Este teorema generaliza a espacios de dimensión infinita y a conjuntos convexos compactos arbitrarios la siguiente observación básica: un triángulo convexo (es decir, "lleno"), incluyendo su perímetro y el área "dentro de él", es igual a la envoltura convexa de sus tres vértices, donde estos vértices son exactamente los puntos extremos de esta forma. Esta observación también es válida para cualquier otro polígono convexo en el plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Declaración y definiciones

Preliminares y definiciones

Un conjunto convexo en azul claro y sus puntos extremos en rojo.

En todo momento, será un espacio vectorial real o complejo . ${\displaystyle X}$

Para cualquier elemento y en un espacio vectorial, el conjunto se denomina ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,y]:=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}}$segmento de línea cerrado ointervalo cerradoentreyEl ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$segmento de línea abierto ointervalo abiertoentreyescuandomientras que escuando^[2]satisfaceyLos puntosyse denominan puntosfinalesde estos intervalos. Se dice que un intervalo es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,x):=\varnothing }$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle (x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}}$ ${\displaystyle x\neq y;}$ ${\displaystyle (x,y)=[x,y]\setminus \{x,y\}}$ ${\displaystyle [x,y]=(x,y)\cup \{x,y\}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$no degenerado opropiosi sus puntos finales son distintos.

Los intervalos y siempre contienen sus puntos finales, mientras que y nunca contienen ninguno de sus puntos finales. Si y son puntos en la línea real , entonces la definición anterior de es la misma que su definición habitual como intervalo cerrado . ${\displaystyle [x,x]=\{x\}}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle (x,x)=\varnothing }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [x,y]}$

Para cualquier punto se dice (estrictamente) ${\displaystyle p,x,y\in X,}$ ${\displaystyle p}$se encuentran entre ysipertenece al segmento de línea abierto^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (x,y).}$

Si es un subconjunto de y entonces se llama punto extremo ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in K,}$ ${\displaystyle p}$de si no se encuentra entre dos puntos distintos de Es decir, si no existe y tal que y En este artículo, el conjunto de todos los puntos extremos de se denotará por ^[2] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle x,y\in K}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {extreme} (K).}$

Por ejemplo, los vértices de cualquier polígono convexo en el plano son los puntos extremos de ese polígono. Los puntos extremos del disco unitario cerrado en es el círculo unitario . Todo intervalo abierto e intervalo cerrado degenerado en no tiene puntos extremos, mientras que los puntos extremos de un intervalo cerrado no degenerado son y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Un conjunto se llama convexo si para dos puntos cualesquiera contiene el segmento de línea El conjunto convexo más pequeño que contiene se llama envoltura convexa de y se denota por La envoltura convexa cerrada de un conjunto denotada por es el conjunto cerrado y convexo más pequeño que contiene También es igual a la intersección de todos los subconjuntos convexos cerrados que contienen y al cierre de la envoltura convexa de ; es decir, donde el lado derecho denota el cierre de mientras que el lado izquierdo es notación. Por ejemplo, la envoltura convexa de cualquier conjunto de tres puntos distintos forma un segmento de línea cerrado (si son colineales ) o bien un triángulo sólido (es decir, "relleno"), incluido su perímetro. Y en el plano el círculo unitario no es convexo pero el disco unitario cerrado es convexo y además, este disco es igual a la envoltura convexa del círculo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,y\in S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [x,y].}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S.}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(S),}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(S)={\overline {\operatorname {co} (S)}},}$$ ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$

El espacio de Hilbert separable Lp espacio de sucesiones cuadradamente sumables con la norma usual tiene un subconjunto compacto cuya envoltura convexa no es cerrada y por lo tanto tampoco compacta . ^[3] Sin embargo, como en todos los espacios localmente convexos de Hausdorff completos , la envoltura convexa cerrada de este subconjunto compacto será compacta. ^[4] Pero si un espacio localmente convexo de Hausdorff no es completo entonces en general no se garantiza que será compacto siempre que lo sea; un ejemplo puede encontrarse incluso en un subespacio vectorial pre-Hilbert (no completo) de Todo subconjunto compacto está totalmente acotado (también llamado "precompacto") y se garantiza que la envoltura convexa cerrada de un subconjunto totalmente acotado de un espacio localmente convexo de Hausdorff está totalmente acotado. ^[5] ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$

Declaración

Teorema de Kerin-Milman ^[6]  —  Si es un subconjunto compacto de un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff , entonces el conjunto de puntos extremos de tiene la misma envoltura convexa cerrada que ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$

En el caso en que el conjunto compacto también sea convexo, el teorema anterior tiene como corolario la primera parte del siguiente teorema, ^[6] que también suele denominarse teorema de Kerin-Milman. ${\displaystyle K}$

Teorema de Kerin-Milman ^[2]  —  Supóngase que es un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff (por ejemplo, un espacio normado ) y es un subconjunto compacto y convexo de Entonces es igual a la envoltura convexa cerrada de sus puntos extremos : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle K~=~{\overline {\operatorname {co} }}(\operatorname {extreme} (K)).}$$

Además, si entonces es igual a la envoltura convexa cerrada de si y sólo si donde es el cierre de ${\displaystyle B\subseteq K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {extreme} K\subseteq \operatorname {cl} B,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} B}$ ${\displaystyle B.}$

La envoltura convexa de los puntos extremos de forma un subconjunto convexo de por lo que la carga principal de la prueba es mostrar que hay suficientes puntos extremos para que su envoltura convexa cubra todos los de. Por esta razón, el siguiente corolario del teorema anterior también se denomina a menudo teorema de Kerin-Milman. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$

(KM ) Teorema de Krein–Milman (Existencia) ^[2]  — Todo subconjunto convexo compacto no vacío de unespacio vectorial topológicolocalmente convexode Hausdorff tiene unpunto extremo; es decir, el conjunto de sus puntos extremos no está vacío.

Para visualizar este teorema y su conclusión, consideremos el caso particular donde es un polígono convexo . En este caso, los vértices del polígono (que son sus puntos extremos) son todo lo que se necesita para recuperar la forma del polígono. El enunciado del teorema es falso si el polígono no es convexo, ya que entonces hay muchas formas de dibujar un polígono teniendo puntos dados como vértices. ${\displaystyle K}$

El requisito de que el conjunto convexo sea compacto se puede debilitar para dar la siguiente versión de generalización reforzada del teorema. ^[7] ${\displaystyle K}$

((SKM )Teorema fuerte de Kerin-Milman (Existencia) ^[8]  — Supongamosque es unespacio vectorial topológicolocalmente convexode Hausdorffyes un subconjunto convexo no vacío decon la propiedad de que siempre quees una cubierta deporsubconjuntos cerradosconvexostales quetiene lapropiedad de intersección finita, entoncesno está vacío. Entoncesno está vacío. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{K\cap C:C\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle K\cap \bigcap _{C\in {\mathcal {C}}}C}$ ${\displaystyle \operatorname {extreme} (K)}$

La propiedad anterior a veces se llamacuasicompacto ocompacidad convexa . La compacidadimplica compacidad convexa porque unespacio topológicoes compacto si y solo si cadafamiliade subconjuntos cerrados que tiene lapropiedad de intersección finita(FIP) tiene intersección no vacía (es decir, sunúcleono está vacío). La definición de compacidad convexa es similar a esta caracterización deespacios compactosen términos de la FIP, excepto que solo involucra aquellos subconjuntos cerrados que también sonconvexos(en lugar de todos los subconjuntos cerrados).

Configuraciones más generales

La suposición de convexidad local para el espacio ambiental es necesaria, porque James Roberts (1977) construyó un contraejemplo para el espacio no localmente convexo donde ^[9] ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$ ${\displaystyle 0<p<1.}$

También se necesita linealidad, porque la afirmación falla para conjuntos convexos débilmente compactos en espacios CAT(0) , como lo demostró Nicolas Monod  (2016). ^[10] Sin embargo, Theo Buehler (2006) demostró que el teorema de Kerin-Milman se cumple para espacios CAT(0) métricamente compactos. ^[11]

Resultados relacionados

Bajo los supuestos anteriores sobre si es un subconjunto de y la envoltura convexa cerrada de es todo de entonces cada punto extremo de pertenece al cierre de Este resultado se conoce como el recíproco (parcial) de Milman al teorema de Kerin-Milman. ^[12] ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T.}$

El teorema de Choquet-Bishop-de Leeuw establece que cada punto en es el baricentro de una medida de probabilidad apoyada en el conjunto de puntos extremos de ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$

Relación con el axioma de elección

Bajo el marco axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( ZF ), el axioma de elección ( AC ) es suficiente para probar todas las versiones del teorema de Kerin-Milman dadas anteriormente, incluyendo el enunciado KM y su generalización SKM . El axioma de elección también implica, pero no es equivalente a, el teorema de los ideales primos de Boole ( BPI ), que es equivalente al teorema de Banach-Alaoglu . Por el contrario, el teorema de Kerin-Milman KM junto con el teorema de los ideales primos de Boole ( BPI ) implican el axioma de elección. ^[13] En resumen, AC se cumple si y solo si se cumplen tanto KM como BPI . ^[8] De ello se deduce que bajo ZF , el axioma de elección es equivalente al siguiente enunciado:

La bola unitaria cerrada del espacio dual continuo de cualquier espacio normado real tiene un punto extremo. ^[8]

Además, SKM junto con el teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales ( HB ) también son equivalentes al axioma de elección. ^[8] Se sabe que BPI implica HB , pero que no es equivalente a él (dicho de otra manera, BPI es estrictamente más fuerte que HB ).

Historia

La afirmación original demostrada por Mark Kerin y David Milman  (1940) era algo menos general que la forma aquí expuesta. ^[14]

Anteriormente, Hermann Minkowski  (1911) demostró que si es tridimensional entonces es igual a la envoltura convexa del conjunto de sus puntos extremos. ^[15] Ernst Steinitz  (1916) amplió esta afirmación al caso de cualquier dimensión finita . ^[16] El teorema de Kerin-Milman generaliza esto a cualquier convexo local arbitrario ; sin embargo, para generalizar desde espacios de dimensión finita a infinita, es necesario utilizar la clausura. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Teorema de Banach-Alaoglu  – Teorema en análisis funcional
• Teorema de Carathéodory (envolvente convexa)  – Un punto en la envoltura convexa de un conjunto P en Rd, es la combinación convexa de d+1 puntos en P
• Teoría de Choquet  – Área de análisis funcional y análisis convexo
• Teorema de Helly  – Teorema sobre las intersecciones de conjuntos convexos de dimensión d
• Teorema de Radon  : dice que d+2 puntos en d dimensiones se pueden dividir en dos subconjuntos cuyas envolturas convexas se intersecan.
• Lema de Shapley-Folkman  : las sumas de conjuntos de vectores son casi convexas
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Citas

1. Rudin 1991, pág. 75 Teorema 3.23.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs.
3. Aliprantis y Frontera 2006, pag. 185.
4. Trèves 2006, pág. 145.
5. Trèves 2006, pág. 67.
6. Grothendieck 1973, págs. 187-188.
7. Pincus 1974, págs. 204-205.
8. Bell, JL; Jellett, F. (1971). "Sobre la relación entre el teorema del ideal primo de Boole y dos principios en el análisis funcional" (PDF) . Bull. Acad. Polon. Sci . sciences math., astr. et phys. 19 (3): 191–194 . Consultado el 23 de diciembre de 2021 .
9. Roberts, J. (1977), "Un conjunto convexo compacto sin puntos extremos", Studia Mathematica , 60 (3): 255–266, doi : 10.4064/sm-60-3-255-266
10. Monod, Nicolas (2016), "Puntos extremos en curvatura no positiva", Studia Mathematica , 234 : 265–270, arXiv : 1602.06752
11. Buehler, Theo (2006), El teorema de Kerin-Mil'man para espacios métricos con un bicombing convexo , arXiv : math/0604187 , Bibcode :2006math......4187B
12. Milman, D. (1947), Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества[Características de los puntos extremos de conjuntos regularmente convexos], Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 57 : 119-122
13. Bell, J.; Fremlin, David (1972). "Una forma geométrica del axioma de elección" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 77 (2): 167–170. doi :10.4064/fm-77-2-167-170 . Consultado el 11 de junio de 2018 . Teorema 1.2. BPI [el Teorema del Ideal Primario Booleano] y KM [Krein-Milman] (*) [la bola unitaria del dual de un espacio vectorial normado tiene un punto extremo].... Teorema 2.1. (*) AC [el Axioma de Elección]. ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$
14. Kerin, Mark ; Milman, David (1940), "Sobre los puntos extremos de conjuntos convexos regulares", Studia Mathematica , 9 : 133–138, doi : 10.4064/sm-9-1-133-138
15. Minkowski, Hermann (1911), Gesammelte Abhandlungen , vol. 2, Leipzig: Teubner, págs. 157-161
16. Steinitz, Ernst (1916), "Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme VI, VII", J. Reine Angew. Matemáticas. , 146 : 1–52, doi : 10.1515/crll.1916.146.1, S2CID  122897233; (ver pág. 16)

Bibliografía

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espacios vectoriales topológicos: la teoría sin condiciones de convexidad . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 639. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-08662-8.OCLC 297140003  .
• Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (2006). Análisis de dimensión infinita: guía del autoestopista (tercera edición). Berlín: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7.OCLC 262692874  .
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4.OCLC 17499190  .
• Black, Paul E., ed. (17 de diciembre de 2004). "punto extremo". Diccionario de algoritmos y estructuras de datos . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE. UU . . Consultado el 24 de marzo de 2011 .
• Borowski, Ephraim J.; Borwein, Jonathan M. (1989). "punto extremo". Diccionario de matemáticas . Diccionario Collins. HarperCollins . ISBN 0-00-434347-6.
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Kelley, John L.; Namioka, Isaac (1963). Espacios topológicos lineales . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 36. Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-662-41768-3.OCLC 913438183  .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Sr.  0248498. OCLC  840293704.
• Köthe, Gottfried (1979). Espacios vectoriales topológicos II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 237. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9.OCLC 180577972  .
• Pincus, David (1974). "La fuerza del teorema de Hahn-Banach". En Hurd, A.; Loeb, P. (eds.). Simposio Victoria sobre análisis no estándar . Notas de clase en matemáticas. Vol. 369. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 203–248. doi :10.1007/bfb0066014. ISBN. 978-3-540-06656-9. ISSN  0075-8434.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• NK Nikol'skij (Ed.). Análisis funcional I. Springer-Verlag, 1992.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7.OCLC 589250  .
• HL Royden, Análisis real . Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1988.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .

Este artículo incorpora material del teorema de Kerin-Milman en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .