Medida singular

En matemáticas , dos medidas positivas (o con signo o complejas ) y definidas en un espacio medible se denominan singulares si existen dos conjuntos medibles disjuntos cuya unión es tal que es cero en todos los subconjuntos medibles de mientras que es cero en todos los subconjuntos medibles de Esto se denota por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ ${\displaystyle A,B\in \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \mu \perp \nu .}$

Una forma refinada del teorema de descomposición de Lebesgue descompone una medida singular en una medida continua singular y una medida discreta . Vea los ejemplos a continuación.

Ejemplos deRnorte

Como caso particular, una medida definida en el espacio euclidiano se denomina singular si es singular con respecto a la medida de Lebesgue en este espacio. Por ejemplo, la función delta de Dirac es una medida singular. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Ejemplo. Una medida discreta .

La función escalón de Heaviside en la línea real tiene como derivada distribucional la distribución delta de Dirac . Esta es una medida en la línea real, una " masa puntual " en Sin embargo, la medida de Dirac no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue ni es absolutamente continua con respecto a pero si es cualquier conjunto abierto no vacío que no contenga 0, entonces pero $${\displaystyle H(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geq 0;\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \delta _{0}:}$ ${\displaystyle \lambda (\{0\})=0}$ ${\displaystyle \delta _{0}(\{0\})=1;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda (U)>0}$ ${\displaystyle \delta _{0}(U)=0.}$

Ejemplo. Una medida continua singular.

La distribución de Cantor tiene una función de distribución acumulativa que es continua pero no absolutamente continua , y de hecho su parte absolutamente continua es cero: es continua singular.

Ejemplo. Una medida continua singular en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Los límites superior e inferior de Fréchet-Hoeffding son distribuciones singulares en dos dimensiones.

Véase también

• Continuidad absoluta (teoría de la medida)  – Forma de continuidad para funcionesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Teorema de descomposición de Lebesgue
• Distribución singular  : distribución concentrada en un conjunto de medida ceroPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

• Eric W Weisstein, Enciclopedia concisa de matemáticas CRC , CRC Press, 2002. ISBN  1-58488-347-2 .
• J Taylor, Introducción a la medida y la probabilidad , Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9 . 

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