Medida firmada

Noción generalizada de medida en matemáticas.

En matemáticas , medida con signo es una generalización del concepto de medida (positiva) al permitir que la función establecida tome valores negativos , es decir, adquiera signo .

Definición

Hay dos conceptos ligeramente diferentes de medida con signo, dependiendo de si se le permite o no tomar valores infinitos. Por lo general, a las medidas firmadas solo se les permite tomar valores reales finitos , mientras que algunos libros de texto les permiten tomar valores infinitos. Para evitar confusiones, este artículo denominará a estos dos casos "medidas firmadas finitas" y "medidas firmadas ampliadas".

Dado un espacio medible (es decir, un conjunto con σ-álgebra ), una medida extendida con signo es una función de conjunto ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

$${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$$

σ-aditivo ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$

secuenciaconjuntos disjuntosconverger absolutamente^[1] ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$

Una medida finita con signo (también conocida como medida real ) se define de la misma manera, excepto que solo se permite tomar valores reales. Es decir, no puede tomar ni ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty .}$

Las medidas finitas con signo forman un espacio vectorial real , mientras que las medidas extendidas con signo no lo hacen porque no están cerradas bajo suma. Por otro lado, las medidas son medidas firmadas extendidas, pero en general no son medidas firmadas finitas.

Ejemplos

Considere una medida no negativa en el espacio ( X , Σ) y una función mensurable f : X → R tal que ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .}$

Entonces, una medida finita con signo está dada por

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)}$

para todo A en Σ.

Esta medida con signo toma solo valores finitos. Para permitirle tomar +∞ como valor, es necesario reemplazar el supuesto de que f es absolutamente integrable con la condición más relajada

${\displaystyle \int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty ,}$

donde f ⁻ ( x ) = max(− f ( x ), 0) es la parte negativa de f .

Propiedades

Lo que sigue son dos resultados que implicarán que una medida con signo extendida es la diferencia de dos medidas no negativas, y una medida con signo finita es la diferencia de dos medidas finitas no negativas.

El teorema de descomposición de Hahn establece que dada una medida con signo μ , existen dos conjuntos mensurables P y N tales que:

1. P ∪ N = X y P ∩ N = ∅;
2. μ ( E ) ≥ 0 para cada E en Σ tal que E ⊆ P ; en otras palabras, P es un conjunto positivo ;
3. μ ( E ) ≤ 0 para cada E en Σ tal que E ⊆ N , es decir, N es un conjunto negativo.

Además , esta descomposición es única hasta sumar o restar μ - conjuntos nulos de P y N.

Consideremos entonces dos medidas no negativas μ ⁺ y μ ⁻ definidas por

${\displaystyle \mu ^{+}(E)=\mu (P\cap E)}$

y

${\displaystyle \mu ^{-}(E)=-\mu (N\cap E)}$

para todos los conjuntos medibles E , es decir, E en Σ.

Se puede comprobar que tanto μ ⁺ como μ ⁻ son medidas no negativas, y una toma solo valores finitos, y se denominan parte positiva y parte negativa de μ , respectivamente. Se tiene que μ = μ ⁺ − μ ⁻ . La medida | µ | = μ ⁺ + μ ⁻ se llama variación de μ , y su valor máximo posible, || µ || = | μ |( X ), se llama variación total de  μ .

Esta consecuencia del teorema de descomposición de Hahn se llama descomposición de Jordan . Las medidas μ ⁺ , μ ⁻ y | µ | son independientes de la elección de P y N en el teorema de descomposición de Hahn.

El espacio de las medidas firmadas

La suma de dos medidas finitas con signo es una medida finita con signo, al igual que el producto de una medida finita con signo por un número real, es decir, son cerradas en combinaciones lineales . De ello se deduce que el conjunto de medidas finitas con signo en un espacio medible ( X , Σ) es un espacio vectorial real ; esto contrasta con las medidas positivas, que sólo están cerradas en combinaciones cónicas y, por tanto, forman un cono convexo pero no un espacio vectorial. Además, la variación total define una norma respecto de la cual el espacio de medidas finitas con signo se convierte en un espacio de Banach . Este espacio tiene aún más estructura, ya que se puede demostrar que es una red de Banach completa de Dedekind y, al hacerlo, se puede demostrar que el teorema de Radon-Nikodym es un caso especial del teorema espectral de Freudenthal .

Si X es un espacio compacto separable, entonces el espacio de medidas finitas de Baire con signo es el dual del espacio real de Banach de todas las funciones continuas de valores reales en X , según el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .

Ver también

• Desplazamiento angular
• Medida compleja
• Medida espectral
• Medida vectorial
• Teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani
• Longitud del arco con signo
• Área firmada
• Distancia firmada
• Volumen firmado
• Variación total

Notas

1. Consulte el artículo " Recta numérica real extendida " para obtener más información.

Referencias

• Bartle, Robert G. (1966), Los elementos de integración , Nueva York: John Wiley and Sons , Zbl  0146.28201
• Bhaskara Rao, KPS; Bhaskara Rao, M. (1983), Teoría de las cargas: un estudio de medidas finitamente aditivas, matemáticas puras y aplicadas, Londres: Academic Press , ISBN 0-12-095780-9, Zbl  0516.28001
• Cohn, Donald L. (1997) [1980], Teoría de la medida, Boston: Birkhäuser Verlag , ISBN 3-7643-3003-1, Zbl  0436.28001
• Diestel, JE; Uhl, JJ Jr. (1977), Medidas vectoriales, estudios y monografías matemáticas, vol. 15, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-1515-6, Zbl  0369.46039
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1959), Operadores lineales. Parte I: Teoría General. Parte II: Teoría espectral. Operadores autoadjuntos en el espacio Hilbert. Parte III: Operadores espectrales. , Matemática Pura y Aplicada, vol. 6, Nueva York y Londres: Interscience Publishers , págs. XIV+858, ISBN 0-471-60848-3, Zbl  0084.10402
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1963), Operadores lineales. Parte I: Teoría General. Parte II: Teoría espectral. Operadores autoadjuntos en el espacio Hilbert. Parte III: Operadores espectrales. , Matemática Pura y Aplicada, vol. 7, Nueva York y Londres: Interscience Publishers , págs. IX+859–1923, ISBN 0-471-60847-5, Zbl  0128.34803
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1971), Operadores lineales. Parte I: Teoría General. Parte II: Teoría espectral. Operadores autoadjuntos en el espacio Hilbert. Parte III: Operadores espectrales. , Matemática Pura y Aplicada, vol. 8, Nueva York y Londres: Interscience Publishers , págs. XIX+1925–2592, ISBN 0-471-60846-7, Zbl  0243.47001
• Zaanen, Adriaan C. (1996), Introducción a la teoría del operador en espacios de Riesz , Springer Publishing , ISBN 3-540-61989-5

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