Espacio de Riesz

Espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una red

En matemáticas , un espacio de Riesz , un espacio vectorial ordenado en red o una red vectorial es un espacio vectorial parcialmente ordenado donde la estructura de orden es una red .

Los espacios de Riesz llevan el nombre de Frigyes Riesz , quien los definió por primera vez en su artículo de 1928 Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires .

Los espacios de Riesz tienen aplicaciones de amplio alcance. Son importantes en la teoría de la medida , en el sentido de que los resultados importantes son casos especiales de resultados para espacios de Riesz. Por ejemplo, el teorema de Radon-Nikodym se presenta como un caso especial del teorema espectral de Freudenthal . Los espacios de Riesz también han tenido aplicación en la economía matemática a través del trabajo del economista y matemático greco-estadounidense Charalambos D. Aliprantis .

Definición

Preliminares

Si es un espacio vectorial ordenado (que por definición es un espacio vectorial sobre los reales ) y si es un subconjunto de entonces un elemento es un límite superior (resp. límite inferior ) de si (resp. ) para todo Un elemento en es el mínimo límite superior o supremo (resp. límite inferior mayor o ínfimo ) de si es un límite superior (resp. un límite inferior) de y si para cualquier límite superior (resp. cualquier límite inferior) de (resp. ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\leq b}$ ${\displaystyle s\geq b}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a\geq b}$

Definiciones

Red de vectores preordenada

Una red vectorial preordenada es un espacio vectorial preordenado en el que cada par de elementos tiene un supremo . ${\displaystyle E}$

Más explícitamente, una red vectorial preordenada es un espacio vectorial dotado de un preorden , tal que para cualquier : ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ ${\displaystyle x,y,z\in E}$

1. Invariancia de la traducción : implica ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x+z\leq y+z.}$
2. Homogeneidad positiva : Para cualquier escalar implica ${\displaystyle 0\leq a,}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle ax\leq ay.}$
3. Para cualquier par de vectores existe un supremo (denotado ) en con respecto al orden ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle x\vee y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \,(\leq ).\,}$

El preorden, junto con los elementos 1 y 2, que lo hacen "compatible con la estructura del espacio vectorial", forman un espacio vectorial preordenado. El elemento 3 dice que el preorden es una semirretícula de unión . Como el preorden es compatible con la estructura del espacio vectorial, se puede demostrar que cualquier par también tiene un ínfimo , lo que también forma una semirretícula de encuentro , es decir, una retícula. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Un espacio vectorial preordenado es una red vectorial preordenada si y solo si satisface cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes: ${\displaystyle E}$

1. Porque su supremo existe en ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle E.}$
2. Porque existe su ínfimo en ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle E.}$
3. Porque su ínfimo y su supremo existen en ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle E.}$
4. Para cualquier existe en ^[1] ${\displaystyle x\in E,}$ ${\displaystyle \sup\{x,0\}}$ ${\displaystyle E.}$

Espacio de Riesz y redes vectoriales

Un espacio de Riesz o una red vectorial es una red vectorial preordenada cuyo preorden es un orden parcial . Equivalentemente, es un espacio vectorial ordenado para el cual el orden es una red .

Nótese que muchos autores exigieron que una red vectorial fuera un espacio vectorial parcialmente ordenado (en lugar de simplemente un espacio vectorial preordenado), mientras que otros solo exigieron que fuera un espacio vectorial preordenado. De ahora en adelante, supondremos que todo espacio de Riesz y toda red vectorial es un espacio vectorial ordenado , pero que una red vectorial preordenada no necesariamente está parcialmente ordenada.

Si es un espacio vectorial ordenado sobre cuyo cono positivo (los elementos ) es generador (es decir, tal que ), y si para cada uno de ellos o existe, entonces es una red vectorial. ^[2] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \,\geq 0}$ ${\displaystyle E=C-C}$ ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$ ${\displaystyle \inf\{x,y\}}$ ${\displaystyle E}$

Intervalos

Un intervalo de orden en un espacio vectorial parcialmente ordenado es un conjunto convexo de la forma En un espacio vectorial real ordenado, cada intervalo de la forma está equilibrado . ^[3] De los axiomas 1 y 2 anteriores se deduce que e implica Se dice que un subconjunto está acotado por orden si está contenido en algún intervalo de orden. ^[3] Una unidad de orden de un espacio vectorial preordenado es cualquier elemento tal que el conjunto sea absorbente . ^[3] ${\displaystyle [a,b]=\{x:a\leq x\leq b\}.}$ ${\displaystyle [-x,x]}$ ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ ${\displaystyle t\in (0,1)}$ ${\displaystyle tx(1-t)y\in [a,b].}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [-x,x]}$

El conjunto de todos los funcionales lineales en un espacio vectorial preordenado que asignan cada intervalo de orden a un conjunto acotado se denomina dual de orden acotado de y se denota por ^[3]. Si un espacio está ordenado, entonces su dual de orden acotado es un subespacio vectorial de su dual algebraico . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{b}.}$

Un subconjunto de una red vectorial se denomina de orden completo si para cada subconjunto no vacío tal que está acotado por orden tanto en como existen y son elementos de Decimos que una red vectorial es de orden completo si es un subconjunto de orden completo de ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sup B}$ ${\displaystyle \inf B}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$

Clasificación

Los espacios de Riesz de dimensión finita se clasifican completamente según la propiedad de Arquímedes :

Teorema : ^[5] Supóngase que es una red vectorial de dimensión finita Si está ordenada según el orden arquimediano , entonces es (una red vectorial) isomorfa a según su orden canónico. De lo contrario, existe un entero que satisface tal que es isomorfo a donde tiene su orden canónico, es con el orden lexicográfico , y el producto de estos dos espacios tiene el orden de producto canónico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2\leq k\leq n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

El mismo resultado no se cumple en dimensiones infinitas. Para un ejemplo debido a Kaplansky , considere el espacio vectorial V de funciones en [0,1] que son continuas excepto en un número finito de puntos, donde tienen un polo de segundo orden. Este espacio está ordenado en red por la comparación puntual habitual, pero no se puede escribir como ℝ ^κ para ningún cardinal κ . ^[6] Por otro lado, la factorización epi-mono en la categoría de ℝ -espacios vectoriales también se aplica a los espacios de Riesz: cada espacio vectorial ordenado en red inyecta en un cociente de ℝ ^κ por un subespacio sólido . ^[7]

Propiedades básicas

Todo espacio de Riesz es un espacio vectorial parcialmente ordenado , pero no todo espacio vectorial parcialmente ordenado es un espacio de Riesz.

Nótese que para cualquier subconjunto de siempre que exista el supremo o el ínfimo (en cuyo caso ambos existen). ^[2] Si y entonces ^[2] Para todo en un espacio de Riesz ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sup A=-\inf(-A)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y].}$ ${\displaystyle a,b,x,{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle a-\inf(x,y)+b=\sup(a-x+b,a-y+b).}$

Valor absoluto

Para cada elemento en un espacio de Riesz, el valor absoluto de denotado por se define como ^[4] donde esto satisface y Para cualquier número real tenemos y ^[4] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle |x|,}$ ${\displaystyle |x|:=\sup\{x,-x\},}$ ${\displaystyle -|x|\leq x\leq |x|}$ ${\displaystyle |x|\geq 0.}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle |rx|=|r||x|}$ ${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|.}$

Desunión

Dos elementos en una red vectorial se dice que son disjuntos reticularmente o disjuntos si en cuyo caso escribimos Dos elementos son disjuntos si y solo si Si son disjuntos entonces y donde para cualquier elemento y Decimos que dos conjuntos y son disjuntos si y son disjuntos para todos y todos en cuyo caso escribimos ^[2] Si es el conjunto singleton entonces escribiremos en lugar de Para cualquier conjunto definimos el complemento disjunto como el conjunto ^[2] Los complementos disjuntos son siempre bandas , pero lo inverso no es cierto en general. Si es un subconjunto de tal que existe, y si es un subconjunto reticular en que es disjunto de entonces es un reticulado disjunto de ^[2] ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \inf\{|x|,|y|\}=0,}$ ${\displaystyle x\perp y.}$ ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle \sup\{|x|,|y|\}=|x|+|y|.}$ ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ ${\displaystyle |x+y|=|x|+|y|}$ ${\displaystyle (x+y)^{+}=x^{+}+y^{+},}$ ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle z^{+}:=\sup\{z,0\}}$ ${\displaystyle z^{-}:=\sup\{-z,0\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle A\perp B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{a\}}$ ${\displaystyle a\perp B}$ ${\displaystyle \{a\}\perp B.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\perp }:=\left\{x\in X:x\perp A\right\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sup A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

Representación como suma disjunta de elementos positivos

Para cualquier sea y donde note que ambos elementos son y con Entonces y son disjuntos, y es la única representación de como la diferencia de elementos disjuntos que son ^[2] Para todos y ^[2] Si y entonces Además, si y solo si y ^[2] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x^{+}:=\sup\{x,0\}}$ ${\displaystyle x^{-}:=\sup\{-x,0\},}$ ${\displaystyle \geq 0}$ ${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ ${\displaystyle |x|=x^{+}+x^{-}.}$ ${\displaystyle x^{+}}$ ${\displaystyle x^{-}}$ ${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \geq 0.}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \left|x^{+}-y^{+}\right|\leq |x-y|}$ ${\displaystyle x+y=\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}.}$ ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x^{+}\leq y.}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x^{+}\leq y^{+}}$ ${\displaystyle x^{-}\leq y^{-}.}$

Todo espacio de Riesz es una red distributiva ; es decir, tiene las siguientes propiedades equivalentes ^{[Nota 1] : [8]} para todo ${\displaystyle x,y,z\in X}$

1. ${\displaystyle x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)}$
2. ${\displaystyle x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$
3. ${\displaystyle (x\wedge y)\vee (y\wedge z)\vee (z\wedge x)=(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x).}$
4. ${\displaystyle x\wedge z=y\wedge z}$y siempre implica ${\displaystyle x\vee z=y\vee z}$ ${\displaystyle x=y.}$

Todo espacio de Riesz tiene la propiedad de descomposición de Riesz .

Convergencia de órdenes

Hay varias formas significativas y no equivalentes de definir la convergencia de secuencias o redes con respecto a la estructura de orden de un espacio de Riesz. Se dice que una secuencia en un espacio de Riesz converge de manera monótona si es una secuencia monótona decreciente (o creciente) y su ínfimo (supremo) existe en y se denota (o se denota ). ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x_{n}\downarrow x}$ ${\displaystyle x_{n}\uparrow x}$

Se dice que una secuencia en un espacio de Riesz converge con el fin de si existe una secuencia convergente monótona en tal que ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left\{p_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<p_{n}\downarrow 0.}$

Si es un elemento positivo de un espacio de Riesz , entonces se dice que una secuencia en converge de manera u-uniforme a si para cualquier existe un tal que para todo ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<ru}$ ${\displaystyle n>N.}$

Subespacios

La estructura adicional que proporcionan estos espacios permite la existencia de distintos tipos de subespacios de Riesz. La colección de cada tipo de estructura en un espacio de Riesz (por ejemplo, la colección de todos los ideales) forma una red distributiva .

Subredes

Si es una red vectorial entonces una subred vectorial es un subespacio vectorial de tal que para todo pertenece a (donde este supremo se toma en ). ^[4] Puede suceder que un subespacio de sea una red vectorial bajo su orden canónico pero no sea una subred vectorial de ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in F,}$ ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ideales

Un subespacio vectorial de un espacio de Riesz se denomina ideal si es sólido , es decir, si y implica que ^[4] La intersección de una colección arbitraria de ideales es nuevamente un ideal, lo que permite la definición de un ideal más pequeño que contiene algún subconjunto no vacío de y se denomina ideal generado por Un ideal generado por un singleton se denomina ideal principal . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\in I}$ ${\displaystyle g\in E,}$ ${\displaystyle |g|\leq |f|}$ ${\displaystyle g\in I.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle A.}$

Bandas y σ-Ideales

Una banda en un espacio de Riesz se define como un ideal con la propiedad adicional de que, para cualquier elemento cuyo valor absoluto sea el supremo de un subconjunto arbitrario de elementos positivos en que se encuentra en realidad en - Los ideales se definen de manera similar, reemplazando las palabras "subconjunto arbitrario" por "subconjunto contable". Claramente, cada banda es un -ideal, pero lo inverso no es cierto en general. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\in E}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

La intersección de una familia arbitraria de bandas es nuevamente una banda. Al igual que con los ideales, para cada subconjunto no vacío de existe una banda más pequeña que contiene ese subconjunto, llamada banda generada por Una banda generada por un singleton se llama banda principal . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle A.}$

Bandas de proyección

Una banda en un espacio de Riesz, se llama banda de proyección , si significa que cada elemento se puede escribir de forma única como una suma de dos elementos, con y Entonces también existe un idempotente lineal positivo, o proyección , tal que ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E=B\oplus B^{\bot },}$ ${\displaystyle f\in E}$ ${\displaystyle f=u+v}$ ${\displaystyle u\in B}$ ${\displaystyle v\in B^{\bot }.}$ ${\displaystyle P_{B}:E\to E,}$ ${\displaystyle P_{B}(f)=u.}$

La colección de todas las bandas de proyección en un espacio de Riesz forma un álgebra de Boole . Algunos espacios no tienen bandas de proyección no triviales (por ejemplo, ), por lo que esta álgebra de Boole puede ser trivial. ${\displaystyle C([0,1])}$

Lo completo

Una red vectorial está completa si cada subconjunto tiene un supremo y un ínfimo.

Una red vectorial es completa en el sentido de Dedekind si cada conjunto con un límite superior tiene un supremo y cada conjunto con un límite inferior tiene un ínfimo.

Una red vectorial de orden completo, regularmente ordenada, cuya imagen canónica en su orden bidual es de orden completo se denomina mínima y se dice que es de tipo mínimo . ^[4]

Subespacios, cocientes y productos

Subredes

Si es un subespacio vectorial de un espacio vectorial preordenado , entonces el ordenamiento canónico inducido por el cono positivo de es el preorden inducido por el cono convexo puntiagudo donde este cono es propio si es propio (es decir, si ). ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\cap M,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\cap (-C)=\varnothing }$

Una subred de una red vectorial es un subespacio vectorial de tal que para todos pertenece a (es importante notar que este supremo se toma en y no en ). ^[3] Si con entonces el subespacio vectorial bidimensional de definido por todas las aplicaciones de la forma (donde ) es una red vectorial bajo el orden inducido pero no es una subred de ^[5] Esto a pesar de ser una red vectorial topológica ordenada de Arquímedes de orden completo . Además, existe una subred vectorial de este espacio tal que tiene interior vacío en pero ninguna función lineal positiva en puede extenderse a una función lineal positiva en ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in M,}$ ${\displaystyle \sup _{}{}_{X}(x,y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X=L^{p}([0,1],\mu )}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\mapsto at+b}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\cap C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

Redes de cocientes

Sea un subespacio vectorial de un espacio vectorial ordenado que tiene cono positivo , sea la proyección canónica, y sea Entonces es un cono en que induce un preordenamiento canónico en el espacio cociente Si es un cono propio en entonces se convierte en un espacio vectorial ordenado. ^[3] Si está -saturado entonces define el orden canónico de ^[5] Nótese que proporciona un ejemplo de un espacio vectorial ordenado donde no es un cono propio. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$ ${\displaystyle \pi (C)}$

Si es una red vectorial y es un subespacio vectorial sólido de entonces define el orden canónico de bajo el cual es una red vectorial y la función canónica es un homomorfismo de red vectorial. Además, si es de orden completo y es una banda en entonces es isomorfo con ^[5] Además, si es sólido entonces la topología de orden de es el cociente de la topología de orden en ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle L/M}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$

Si es una red vectorial topológica y es una subred sólida cerrada de entonces también es una red vectorial topológica. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/L}$

Producto

Si es cualquier conjunto entonces el espacio de todas las funciones desde hasta está ordenado canónicamente por el cono propio ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$

Supongamos que es una familia de espacios vectoriales preordenados y que el cono positivo de es Entonces es un cono convexo puntiagudo en el que determina un ordenamiento canónico en ; es un cono propio si todos son conos propios. ^[3] ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }.}$ ${\displaystyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$

Suma directa algebraica

La suma directa algebraica de es un subespacio vectorial de al que se le da el ordenamiento canónico del subespacio heredado de ^[3] Si son subespacios vectoriales ordenados de un espacio vectorial ordenado , entonces es la suma directa ordenada de estos subespacios si el isomorfismo algebraico canónico de sobre (con el orden del producto canónico) es un isomorfismo de orden . ^[3] ${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$

Espacios de aplicaciones lineales

Se dice que un cono en un espacio vectorial es generador si es igual a todo el espacio vectorial. ^[3] Si y son dos espacios vectoriales ordenados no triviales con respectivos conos positivos y entonces es generador en si y solo si el conjunto es un cono propio en el que es el espacio de todas las aplicaciones lineales de en En este caso, el orden definido por se llama ordenamiento canónico de ^[3] De manera más general, si es cualquier subespacio vectorial de tal que es un cono propio, el ordenamiento definido por se llama ordenamiento canónico de ^[3] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C-C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\{u\in \operatorname {L} (X;W):u(P)\subseteq Q\}}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;W),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;W).}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;W)}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle M.}$

Una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales preordenados y con respectivos conos positivos y se llama positiva si Si y son redes vectoriales con orden completo y si es el conjunto de todas las aplicaciones lineales positivas de en entonces el subespacio de es una red vectorial completa de orden bajo su orden canónico; además, contiene exactamente aquellas aplicaciones lineales que asignan intervalos de orden de en intervalos de orden de ^[5] ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u(X)\subseteq D.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M:=H-H}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (X;Y)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Funcionales positivos y el orden dual

Una función lineal en un espacio vectorial preordenado se llama positiva si implica El conjunto de todas las formas lineales positivas en un espacio vectorial, denotado por es un cono igual a la polar de El dual de orden de un espacio vectorial ordenado es el conjunto, denotado por definido por Aunque existen espacios vectoriales ordenados para los cuales la igualdad de conjuntos no se cumple. ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle f(x)\geq 0.}$ ${\displaystyle C^{*},}$ ${\displaystyle -C.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+},}$ ${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$ ${\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b},}$

Homomorfismo reticular vectorial

Supóngase que y son redes vectoriales preordenadas con conos positivos y y sea una función. Entonces es un homomorfismo de red vectorial preordenada si es lineal y si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[9] [5]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

1. ${\displaystyle u}$conserva las operaciones de red
2. ${\displaystyle u(\sup\{x,y\})=\sup\{u(x),u(y)\}}$a pesar de ${\displaystyle x,y\in X.}$
3. ${\displaystyle u(\inf\{x,y\})=\inf\{u(x),u(y)\}}$a pesar de ${\displaystyle x,y\in X.}$
4. ${\displaystyle u(|x|)=\sup \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$a pesar de ${\displaystyle x\in X.}$
5. ${\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$a pesar de ${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle u(C)=D}$y es un subconjunto sólido de ^[5] ${\displaystyle u^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X.}$
7. si entonces ^[1] ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle u(x)\geq 0.}$
8. ${\displaystyle u}$es preservar el orden. ^[1]

Un homomorfismo reticular vectorial preordenado que es biyectivo es un isomorfismo reticular vectorial preordenado .

Un homomorfismo reticular vectorial preordenado entre dos espacios de Riesz se denomina homomorfismo reticular vectorial ; si también es biyectivo, entonces se denomina isomorfismo reticular vectorial .

Si es una función lineal distinta de cero en una red vectorial con cono positivo , entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

1. ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$es un homomorfismo reticular vectorial sobreyectivo.
2. ${\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$a pesar de ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle u\geq 0}$y es un hiperplano sólido en ${\displaystyle u^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle u'}$genera un rayo extremo del cono en ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}.}$

Un rayo extremo del cono es un conjunto donde es distinto de cero, y si es tal que entonces para algún tal que ^[9] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \{rx:r\geq 0\}}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in C}$ ${\displaystyle x-y\in C}$ ${\displaystyle y=sx}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq 1.}$

Un homomorfismo reticular vectorial de en es un homomorfismo topológico cuando y reciben sus respectivas topologías de orden . ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Propiedades de proyección

Existen numerosas propiedades de proyección que pueden tener los espacios de Riesz. Se dice que un espacio de Riesz tiene la propiedad de proyección (principal) si cada banda (principal) es una banda de proyección.

El llamado teorema de inclusión principal relaciona las siguientes propiedades adicionales con la propiedad de proyección (principal): ^[10] Un espacio de Riesz es...

• Dedekind Completo (DC) si todo conjunto no vacío, acotado superiormente, tiene un supremo ;
• Súper Dedekind Completo (SDC) si cada conjunto no vacío, acotado superiormente, tiene un subconjunto contable con supremo idéntico;
• Dedekind -completo si todo conjunto contable no vacío, acotado superiormente, tiene un supremo; y ${\displaystyle \sigma }$
• Propiedad arquimediana si, para cada par de elementos positivos y , siempre que la desigualdad se cumple para todos los números enteros , . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle nx\leq y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x=0}$

Entonces, estas propiedades se relacionan de la siguiente manera. SDC implica DC; DC implica tanto la completitud de Dedekind como la propiedad de proyección; Tanto la completitud de Dedekind como la propiedad de proyección implican por separado la propiedad de proyección principal; y la propiedad de proyección principal implica la propiedad de Arquímedes . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Ninguna de las implicaciones inversas es válida, pero la completitud de Dedekind y la propiedad de proyección juntas implican DC. ${\displaystyle \sigma }$

Ejemplos

• Espacio de funciones continuas de valor real con soporte compacto sobre un espacio topológico con el orden parcial puntual definido por cuando para todo es un espacio de Riesz. Es arquimediano, pero normalmente no tiene la propiedad de proyección principal a menos que satisfaga otras condiciones (por ejemplo, que esté extremamente desconectado ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle X}$
• Cualquier espacio con orden parcial puntual ( casi en todas partes ) es un espacio de Riesz completo de Dedekind. ${\displaystyle L^{p}}$
• El espacio con el orden lexicográfico es un espacio de Riesz no arquimediano. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Propiedades

• Los espacios de Riesz son grupos ordenados en red
• Todo espacio de Riesz es una red distributiva

Véase también

• Cono convexo  – Conjunto matemático cerrado bajo combinaciones lineales positivas
• Ínfimo y supremo  : límite inferior máximo y límite superior mínimo
• Espacio vectorial ordenado  – Espacio vectorial con un orden parcial
• Espacio parcialmente ordenado  – Espacio topológico parcialmente ordenado

Notas

1. Las condiciones son equivalentes sólo cuando se aplican a todos los triples de una red. Hay elementos en (por ejemplo) N ₅ que satisfacen la primera ecuación pero no la segunda.

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 139-153.
2. Schaefer y Wolff 1999, págs. 74–78.
3. Schaefer y Wolff 1999, págs. 205-209.
4. Schaefer y Wolff 1999, págs. 204-214.
5. Schaefer y Wolff 1999, págs. 250–257.
6. Birkhoff 1967, pág. 240.
7. Fremlin, Teoría de la medida , reivindicación 352L.
8. Birkhoff, Garrett (1967). Teoría de retículos . Colloquium Publications (3.ª ed.). American Mathematical Society. pág. 11. ISBN. 0-8218-1025-1.§6, Teorema 9
9. Schaefer & Wolff 1999, págs. 205-214.
10. Luxemburgo, WAJ; Zaanen, AC (1971). Espacios Riesz: vol. 1. Londres: Holanda Septentrional. págs. 122-138. ISBN 0720424518. Recuperado el 8 de enero de 2018 .

Bibliografía

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• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
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• Sobolev, VI (2001) [1994], "Espacio de Riesz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , ISBN 978-1-4020-0609-8
• Zaanen, Adriaan C. (1996), Introducción a la teoría del operador en espacios de Riesz , Springer , ISBN 3-540-61989-5

Enlaces externos

• Espacio de Riesz en la Enciclopedia de Matemáticas