Topología de orden (análisis funcional)

Topología de un espacio vectorial ordenado

En matemáticas, específicamente en teoría de orden y análisis funcional , la topología de orden de un espacio vectorial ordenado es la topología de espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) más fina para la cual cada intervalo de orden está acotado, donde un intervalo de orden es un conjunto de formulario donde y pertenecer a ^[1] ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [a,b]:=\left\{z\in X:a\leq z{\text{ and }}z\leq b\right\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X.}$

La topología de orden es una topología importante que se usa con frecuencia en la teoría de espacios vectoriales topológicos ordenados porque la topología surge directamente de las propiedades algebraicas y teóricas del orden de en lugar de alguna topología que comienza teniendo. Esto permite establecer conexiones íntimas entre esta topología y las propiedades algebraicas y teóricas de orden. Para muchos espacios vectoriales topológicos ordenados que ocurren en el análisis, sus topologías son idénticas a la topología de orden. ^[2] ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\leq ).}$

Definiciones

La familia de todas las topologías localmente convexas para las cuales cada intervalo de orden está acotado no está vacía (ya que contiene la topología más burda posible ) y la topología de orden es el límite superior de esta familia. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un subconjunto de es una vecindad del origen en la topología de orden si y sólo si es convexo y absorbe cada intervalo de orden en ^[1] Una vecindad del origen en la topología de orden es necesariamente un conjunto absorbente porque para todo ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle [x,x]:=\{x\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Para cada let y dote con su topología de orden (lo que lo convierte en un espacio normal). El conjunto de todos está dirigido bajo inclusión y si entonces la inclusión natural de en es continua. Si es un espacio vectorial regularmente ordenado sobre los reales y si es cualquier subconjunto del cono positivo que es cofinal en (por ejemplo, podría ser ), entonces con su topología de orden es el límite inductivo de (donde los mapas de enlace son las inclusiones naturales) . ^[3] ${\displaystyle a\geq 0,}$ ${\displaystyle X_{a}=\bigcup _{n=1}^{\infty }n[-a,a]}$ ${\displaystyle X_{a}}$ ${\displaystyle X_{a}}$ ${\displaystyle X_{a}\subseteq X_{b}}$ ${\displaystyle X_{a}}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{a}:a\geq 0\right\}}$

La estructura reticular puede compensar en parte cualquier falta de unidad de orden:

Teorema ^[3]  —  Sea una red vectorial de orden regular y denotemos su cono positivo. Entonces la topología de orden es la topología localmente convexa más fina para la cual es un cono normal ; también es lo mismo que la topología de Mackey inducida con respecto a la dualidad ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{+}\right\rangle .}$

En particular, si es una red de Fréchet ordenada sobre números reales, entonces la topología ordenada es si y solo si el cono positivo de es un cono normal en ^[3] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Si se trata de una red vectorial regularmente ordenada, entonces la topología ordenada es la topología TVS localmente convexa más fina al convertirse en una red vectorial localmente convexa . Si además el orden está completo, entonces la topología del orden es un espacio en forma de barril y cada descomposición de banda es una suma topológica directa para esta topología. ^[3] En particular, si el orden de una red vectorial es regular, entonces la topología del orden es generada por la familia de todas las seminormas de la red en ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Propiedades

En todo momento, será un espacio vectorial ordenado y denotará la topología de orden en ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle \tau _{\leq }}$ ${\displaystyle X.}$

• El dual de es el dual ligado al orden de ^[3] ${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle X.}$
• Si separa puntos (como si es regular), entonces es un TVS bornológico localmente convexo. ^[3] ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$
• Cada operador lineal positivo entre dos espacios vectoriales ordenados es continuo para las respectivas topologías de orden. ^[3]
• Cada unidad de orden de un TVS ordenado está dentro del cono positivo de la topología de orden. ^[3]
• Si el orden de un espacio vectorial ordenado es un orden regular y si cada secuencia positiva de tipo es de orden sumable , entonces el espacio dotado de su topología de orden es un espacio en forma de barril . ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Si el orden de un espacio vectorial ordenado es un orden regular y si para todos y se cumple, entonces el cono positivo de es un cono normal en cuando está dotado de la topología de orden. ^[3] En particular, el espacio dual continuo de con la topología de orden será el orden dual ⁺ . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Si es un espacio vectorial ordenado de Arquímedes sobre números reales que tiene una unidad de orden y denotamos la topología de orden en Entonces es un TVS ordenado que es normal , es la topología TVS localmente convexa más fina tal que el cono positivo es normal, y lo siguiente son equivalentes: ^[3] ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle \tau _{\leq }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\leq }}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$Esta completo.
2. Cada secuencia positiva de tipo ${\displaystyle \ell ^{1}}$ es orden sumable . ${\displaystyle X}$

• En particular, si es un espacio vectorial ordenado de Arquímedes que tiene una unidad de orden , entonces el orden es regular y ^[3] ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X_{b}=X^{+}.}$
• Si es un espacio de Banach y un espacio vectorial ordenado con una unidad de orden, entonces la topología de es idéntica a la topología de orden si y sólo si el cono positivo de es un cono normal en ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Un homomorfismo de red vectorial desde dentro es un homomorfismo topológico cuando y reciben sus respectivas topologías de orden. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Relación con subespacios, cocientes y productos.

Si es un subespacio vectorial sólido de una red vectorial , entonces la topología de orden es el cociente de la topología de orden en ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

La topología de orden de un producto finito de espacios vectoriales ordenados (este producto tiene su orden canónico) es idéntica a la topología de producto del producto topológico de los espacios vectoriales ordenados constituyentes (cuando a cada uno se le da su topología de orden). ^[3]

Ver también

• Métrica generalizada  – Geometría métrica
• Topología de orden  : cierta topología en matemáticas
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado  : espacio vectorial con orden parcial
• Red vectorial  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una redPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs.
2. Schaefer y Wolff 1999, pág. 204.
3. Schaefer y Wolff 1999, págs. 230-234.
4. Schaefer y Wolff 1999, págs.

Bibliografía

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.