Conjunto absorbente

Conjunto que se puede "inflar" para llegar a cualquier punto.

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, un conjunto absorbente en un espacio vectorial es un conjunto que puede "inflarse" o "ampliarse" para eventualmente incluir siempre cualquier punto dado del espacio vectorial. Los términos alternativos son conjunto radial o absorbente . Cada vecindad del origen en cada espacio vectorial topológico es un subconjunto absorbente. ${\displaystyle S}$

Definición

Notación para escalares

Supongamos que es un espacio vectorial sobre el cuerpo de números reales o complejos y para cualquier sea ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty ,}$

$${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\quad {\text{ and }}\quad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}}$$

bola abiertabola cerrada ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle KA=\{ka:k\in K,a\in A\},}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Kx=\{kx:k\in K\}.}$

Preliminares

Núcleo equilibrado y casco equilibrado.

Se dice que un subconjunto de es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$equilibrado sipara todosy todos los escalaresque satisfacenesta condición se puede escribir de manera más sucinta comoy se cumple si y solo si ${\displaystyle as\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1;}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S,}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S=S.}$

Dado un conjunto, el conjunto equilibrado más pequeño que contiene denotado por se llama ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} T,}$casco equilibrado demientras que el conjunto equilibrado más grande contenido dentrodenotado porse llama ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$núcleo equilibrado de Estos conjuntos están dados por las fórmulas ${\displaystyle T.}$

$${\displaystyle \operatorname {bal} T~=~{\textstyle \bigcup \limits _{|c|\leq 1}}c\,T=B_{\leq 1}T}$$

$${\displaystyle \operatorname {balcore} T~=~{\begin{cases}{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq 1}}c\,T&{\text{ if }}0\in T\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in T,\\\end{cases}}}$$

${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {balcore} T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

Si es cualquier escalar entonces ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,T)=c\,\operatorname {bal} T=|c|\,\operatorname {bal} T}$$

${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle 0\in T}$

$${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,T)=c\,\operatorname {balcore} T=|c|\,\operatorname {balcore} T.}$$

Un conjunto absorbiendo a otro

Si y son subconjuntos de entonces se dice que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$absorber si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle S}$

1. Definición : Existe un real tal que para cada escalar satisface O dicho de manera más sucinta, para algunos ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle S\,\subseteq \,c\,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\geq r.}$ ${\displaystyle S\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq r}}c\,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Si el campo escalar es entonces intuitivamente " absorbe " significa que si está perpetuamente "ampliado" o "inflado" (refiriéndose a ) entonces eventualmente (para todos los positivos lo suficientemente grandes), todos contendrán y de manera similar, eventualmente también deberán contener para todos negativos de magnitud suficientemente grande. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t<0}$
   • Esta definición depende de la norma canónica del campo escalar subyacente (es decir, del valor absoluto ), lo que vincula así esta definición a la topología euclidiana habitual en el campo escalar. En consecuencia, la definición de un conjunto absorbente (que se proporciona a continuación) también está ligada a esta topología. ${\displaystyle |\cdot |}$
2. Existe un real tal que para cada escalar distinto de cero ^{[nota 1]} satisfactorio O dicho de manera más sucinta, para algunos ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|\leq r}}c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Debido a que esta unión es igual a dónde está la bola cerrada con el origen eliminado, esta condición puede reformularse como: para algunos ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S,}$ ${\displaystyle B_{\leq r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|\leq r\}}$ ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • La desigualdad no estricta puede sustituirse por la desigualdad estricta, que es la siguiente caracterización. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,,}$
3. Existe un real tal que para cada escalar distinto de cero ^{[nota 1]} satisfactorio O dicho de manera más sucinta, para algunos ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle |c|<r.}$ ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Aquí está la bola abierta con el origen eliminado y ${\displaystyle B_{r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|<r\}}$ ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\,=\,{\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|<r}}c\,S.}$

Si es un conjunto equilibrado , entonces esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle A}$

4. Existe un escalar distinto de cero tal que ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle S\;\subseteq \,c\,A.}$
   • En ese caso, el requisito podrá eliminarse. ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$
5. Existe un escalar distinto de cero ^{[nota 1]} tal que ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A.}$

Si (una condición necesaria para ser un conjunto absorbente o una vecindad del origen en una topología), entonces esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle A}$

6. Existe tal que para cada escalar que satisfaga O dicho de manera más sucinta, ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|<r.}$ ${\displaystyle B_{r}\;S\,\subseteq \,A.}$
7. Existe tal que para cada escalar que satisfaga O dicho de manera más sucinta, ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$ ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A.}$
   • La inclusión equivale a (desde ). Porque esto se puede reescribir, lo que da la siguiente declaración. ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A}$ ${\displaystyle B_{\leq r}=r\,B_{\leq 1}}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,=\,\operatorname {bal} \,S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A,}$
8. Existe tal que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,r\,A.}$
9. Existe tal que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
10. Existe tal que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
    • Las siguientes caracterizaciones se derivan de las anteriores y del hecho de que para cada escalar el casco equilibrado de satisface y (ya que ) su núcleo equilibrado satisface ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\operatorname {bal} (c\,A)=c\,\operatorname {bal} A=|c|\,\operatorname {bal} A\,}$ ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle \,\operatorname {balcore} (c\,A)=c\,\operatorname {balcore} A=|c|\,\operatorname {balcore} A.}$
11. Existe tal que En palabras, un conjunto es absorbido por si está contenido en algún múltiplo escalar positivo del núcleo equilibrado de ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \;\;\,S\,\subseteq \,r\,\operatorname {balcore} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
12. Existe tal que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r\,S\subseteq \,\;\;\;\;\operatorname {balcore} A.}$
13. Existe un escalar tal que, en palabras, se puede escalar para contener el casco equilibrado de ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
14. Existe un escalar tal que ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$
15. Existe un escalar tal que, en palabras, se puede escalar de modo que su núcleo equilibrado contenga ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
16. Existe un escalar tal que ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} A.}$
17. Existe un escalar distinto de cero ^{[nota 1]} tal que En palabras, el núcleo equilibrado de contiene algún múltiplo escalar distinto de cero de ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$

Si es así , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle 0\in A}$

18. ${\displaystyle A\cup \{0\}}$absorbe (de acuerdo con cualquier condición definitoria de "absorbe" distinta de ésta). ${\displaystyle S}$
    • En otras palabras, puede ser reemplazado por en las caracterizaciones anteriores si (o trivialmente, si ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{0\}}$ ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle 0\in A}$

Un conjunto que absorbe un punto.

Se dice que un conjuntoabsorber un punto si absorbe elconjunto singletonUn conjuntoabsorbe el origen si y sólo si contiene el origen; es decir, si y sólo si Como se detalla a continuación, se dice que un conjunto esabsorbentesi absorbe cada punto de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\in A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Esta noción de un conjunto absorbiendo a otro también se utiliza en otras definiciones: un subconjunto de un espacio vectorial topológico se denomina acotado si es absorbido por todas las vecindades del origen. Un conjunto se llama bornívoro si absorbe todos los subconjuntos acotados. ${\displaystyle X}$

Primeros ejemplos

Cada conjunto absorbe el conjunto vacío, pero el conjunto vacío no absorbe ningún conjunto que no esté vacío. El conjunto singleton que contiene el origen es el único subconjunto singleton que se absorbe a sí mismo. ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$

Supongamos que es igual a o Si es el círculo unitario (centrado en el origen ) junto con el origen, entonces es el único conjunto no vacío que absorbe. Además, no existe ningún subconjunto no vacío de que sea absorbido por el círculo unitario. En contraste, cada vecindad del origen absorbe cada subconjunto acotado de (y, por lo tanto, en particular, absorbe cada subconjunto/punto singleton). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle A:=S^{1}\cup \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{1}.}$ ${\displaystyle X}$

Conjunto absorbente

Un subconjunto de un espacio vectorial sobre un campo se llama ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$subconjunto absorbente (o absorbente ) dey se dice que es ${\displaystyle X}$absorbiendo ${\displaystyle X}$ si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes (aquí ordenadas para que cada condición sea una fácil consecuencia de la anterior, comenzando por la definición):

1. Definición : absorbe cada punto de lo que es, por cada absorbe ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x\}.}$
   • Entonces, en particular, no puede ser absorbente si Cada conjunto absorbente debe contener el origen. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\not \in A.}$
2. ${\displaystyle A}$absorbe cada subconjunto finito de ${\displaystyle X.}$
3. Para cada existe un real tal que para cualquier escalar que satisfaga ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in cA}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |c|\geq r.}$
4. Para cada existe un real tal que para cualquier escalar que satisfaga ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle cx\in A}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$
5. Para cada existe un real tal que ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A.}$
   • Aquí está la bola abierta de radio en el campo escalar centrada en el origen y ${\displaystyle B_{r}=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B_{r}x=\left\{cx:c\in B_{r}\right\}=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<r\}.}$
   • La bola cerrada se puede utilizar en lugar de la bola abierta.
   • Porque la inclusión se cumple si y sólo si Esto prueba la siguiente afirmación. ${\displaystyle B_{r}x\subseteq \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\},}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x.}$
6. Para cada existe un real tal que donde ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}.}$
   • Conexión con la topología : Si se le da su topología euclidiana de Hausdorff habitual , entonces el conjunto es una vecindad del origen en , por lo tanto, existe un real tal que si y solo si es una vecindad del origen en En consecuencia, satisface esta condición si y solo si porque cada es una vecindad de cuando se da la topología euclidiana. Esto da la siguiente caracterización. ${\displaystyle \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle B_{r}x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x;}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\cap \operatorname {span} \{x\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}}$
   • Las únicas topologías TVS ^{[nota 2]} en un espacio vectorial unidimensional son la topología trivial (no Hausdorff) y la topología euclidiana de Hausdorff. Cada subespacio vectorial unidimensional tiene la forma de algún distinto de cero y si este espacio unidimensional está dotado del (único) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x}$Topología vectorial de Hausdorff , entonces el mapadefinido pores necesariamente un isomorfismo TVS (donde, como es habitual, está dotado de su topología euclidiana estándarinducida por la métrica euclidiana ). ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle c\mapsto cx}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$
7. ${\displaystyle A}$contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional de es una vecindad del origen cuando se le da su topología vectorial única de Hausdorff (es decir, la topología euclidiana ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
   • La razón por la cual la topología euclidiana se distingue en esta caracterización surge en última instancia del requisito definitorio de las topologías TVS ^{[nota 2]} de que la multiplicación escalar sea continua cuando al campo escalar se le da esta topología (euclidiana). ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$
   • ${\displaystyle 0}$-Las vecindades son absorbentes : esta condición da una idea de por qué cada vecindad del origen en cada espacio vectorial topológico (TVS) es necesariamente absorbente: si es una vecindad del origen en un TVS , entonces para cada subespacio vectorial unidimensional es una vecindad del origen en cuando está dotado de la topología subespacial inducida en él por Esta topología subespacial es siempre una topología vectorial ^{[nota 2]} y debido a que es unidimensional, las únicas topologías vectoriales en ella son la topología euclidiana de Hausdorff y la topología trivial , que es un subconjunto de la topología euclidiana. Entonces, independientemente de cuál de estas topologías vectoriales esté en el conjunto, será una vecindad del origen con respecto a su topología vectorial única de Hausdorff (la topología euclidiana). ^{[nota 3]} Por lo tanto es absorbente. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$
8. ${\displaystyle A}$contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional de está absorbiendo en el ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y.}$
   • Aquí "absorber" significa absorber según cualquier condición definitoria distinta de ésta.
   • Esta caracterización muestra que la propiedad de ser absorbido depende solo de cómo se comporta con respecto a subespacios vectoriales de 1 (o 0) dimensiones de. Por el contrario, si un subespacio vectorial de dimensión finita de tiene dimensión y está dotado de su topología única de Hausdorff TVS, entonces estar absorbido ya no es suficiente para garantizar que sea una vecindad del origen en (aunque seguirá siendo una condición necesaria). Para que esto suceda, basta con que sea un conjunto absorbente que también sea convexo, equilibrado y cerrado ( dicho conjunto se llama barril y será una vecindad del origen en porque como todo espacio euclidiano de dimensión finita, es un espacio con forma de cañón ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

Si entonces a esta lista se le puede anexar: ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

9. El interior algebraico de contiene el origen (es decir, ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\in {}^{i}A}$

Si está equilibrado , a esta lista se le puede añadir: ${\displaystyle A}$

10. Para cada existe un escalar tal que ^[1] (o equivalentemente, tal que ). ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle x\in cA}$ ${\displaystyle cx\in A}$
11. Para cada existe un escalar tal que ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x\in cA.}$

Si es convexo o balanceado entonces a esta lista se le puede agregar: ${\displaystyle A}$

12. Para cada existe un real positivo tal que ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rx\in A.}$
    • La prueba de que un conjunto equilibrado que satisface esta condición es necesariamente absorbente se desprende inmediatamente de la condición (10) anterior y del hecho de que para todos los escalares (donde es real). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle cA=|c|A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle r:=|c|>0}$
    • La prueba de que un conjunto convexo que satisface esta condición es necesariamente absorbente es menos trivial (pero no difícil). En esta nota a pie de página ^{[prueba 1]} se proporciona una prueba detallada y a continuación se ofrece un resumen. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
      • Resumen de la prueba : Por suposición, para cualquier distinto de cero es posible elegir real positivo y tal que y de modo que el conjunto convexo contenga el subintervalo abierto que contiene el origen ( se llama intervalo ya que nos identificamos con y cada no -subconjunto convexo vacío de es un intervalo). Proporcione su topología vectorial de Hausdorff única para que quede por demostrar que es una vecindad del origen en Si entonces hemos terminado, supongamos que el conjunto es una unión de dos intervalos, cada uno de los cuales contiene un subintervalo abierto que contiene el origen. ; además, la intersección de estos dos intervalos es precisamente el origen. Entonces, la cáscara convexa contenida en el conjunto convexo contiene claramente una bola abierta alrededor del origen. ${\displaystyle 0\neq y\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle Ry\in A}$ ${\displaystyle r(-y)\in A}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle (-r,R)y\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} y.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,(A\cap \mathbb {R} y)\,\cup \,(A\cap \mathbb {R} (iy))\,\subseteq \,A\cap (\mathbb {C} y)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {C} y,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
13. Para cada existe un real positivo tal que ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rA.}$
    • Esta condición es equivalente a: cada pertenece al conjunto. Esto sucede si y sólo si cuál da la siguiente caracterización. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<r<\infty }}rA=\{ra:0<r<\infty ,a\in A\}=(0,\infty )A.}$ ${\displaystyle X=(0,\infty )A,}$
14. ${\displaystyle (0,\infty )A=X.}$
    • Se puede demostrar que para cualquier subconjunto de si y sólo si para cada dónde ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (0,\infty )T=X}$ ${\displaystyle T\cap (0,\infty )x\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (0,\infty )x\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{rx:0<r<\infty \}.}$
15. Para cada ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\cap (0,\infty )x\neq \varnothing .}$

Si (lo cual es necesario para que sea absorbente), entonces es suficiente verificar cualquiera de las condiciones anteriores para todos los valores distintos de cero en lugar de todos. ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Para que un conjunto absorba otro

Sea un mapa lineal entre espacios vectoriales y sean conjuntos balanceados. Entonces absorbe si y sólo si absorbe ^[2] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle F^{-1}(C)}$ ${\displaystyle B.}$

Si un conjunto absorbe a otro conjunto , entonces cualquier superconjunto de también absorbe. Un conjunto absorbe el origen si y sólo si el origen es un elemento de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Un conjunto absorbe una unión finita de conjuntos si y solo absorbe cada individualidad del conjunto (es decir, si y solo si absorbe para cada ). En particular, un conjunto es un subconjunto absorbente de si y sólo si absorbe cada subconjunto finito de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Para que un set sea absorbente

La bola unitaria de cualquier espacio vectorial normado (o espacio vectorial seminormado ) es absorbente. De manera más general, si es un espacio vectorial topológico (TVS), entonces cualquier vecindad del origen en es absorbente. Este hecho es una de las principales motivaciones para definir la propiedad "absorber en ". ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$

Cada superconjunto de un conjunto absorbente es absorbente. En consecuencia, la unión de cualquier familia de (uno o más) conjuntos absorbentes es absorbente. La intersección de un número finito de subconjuntos absorbentes es una vez más un subconjunto absorbente. Sin embargo, todas las bolas abiertas de radio son absorbentes aunque su intersección no sea absorbente. ${\displaystyle (-r_{n},-r_{n})}$ ${\displaystyle r_{n}=1,1/2,1/3,\ldots }$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(-1/n,1/n)=\{0\}}$

Si es un disco (un subconjunto convexo y balanceado) entonces y así en particular, un disco es siempre un subconjunto absorbente de ^[3] Por lo tanto, si es un disco en entonces está absorbiendo en si y solo si Esta conclusión no está garantizada si el conjunto es equilibrado pero no convexo; por ejemplo, la unión de los ejes y en es un conjunto equilibrado no convexo que no es absorbente en ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nD;}$ ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$ ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=\mathbb {R} ^{2}.}$

La imagen de un conjunto absorbente bajo un operador lineal sobreyectivo vuelve a ser absorbente. La imagen inversa de un subconjunto absorbente (del codominio) bajo un operador lineal es nuevamente absorbente (en el dominio). Si es absorbente, lo mismo ocurre con el conjunto simétrico. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uA\subseteq A.}$

Espacios normados auxiliares

Si es convexo y absorbente, entonces el conjunto simétrico será convexo y equilibrado (también conocido como conjunto absolutamente convexo o disco ) además de absorbente. Esto garantiza que la funcional de Minkowski será una seminorma y, por lo tanto, se convertirá en una seminorma. espacio que lleva su topología pseudometrizable canónica . El conjunto de múltiplos escalares como rangos sobre (o sobre cualquier otro conjunto de escalares distintos de cero que tengan como punto límite) forma una base de vecindad de discos absorbentes en el origen de esta topología localmente convexa . Si es un espacio vectorial topológico y si este subconjunto absorbente convexo es también un subconjunto acotado de entonces todo esto también será cierto para el disco absorbente si además no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, entonces será una norma y formará lo que Se conoce como espacio normado auxiliar . ^[4] Si este espacio normado es un espacio de Banach, entonces se denomina disco de Banach . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

Propiedades

Cada conjunto interesante contiene el origen. Si hay un disco absorbente en un espacio vectorial , entonces existe un disco absorbente tal que ^[5] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E+E\subseteq D.}$

If es un subconjunto absorbente de entonces y, de manera más general, para cualquier secuencia de escalares tales que En consecuencia, si un espacio vectorial topológico es un subconjunto no exiguo de sí mismo (o de manera equivalente para TVS, si es un espacio de Baire ) y si es un El subconjunto absorbente cerrado de entonces contiene necesariamente un subconjunto abierto no vacío de (en otras palabras, el interior topológico de ' no estará vacío), lo que garantiza que es una vecindad del origen en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nA}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}s_{n}A}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \left|s_{n}\right|\to \infty .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A-A}$ ${\displaystyle X.}$

Cada conjunto absorbente es un conjunto total , lo que significa que cada subespacio absorbente es denso .

Ver también

• Interior algebraico  - Generalización del interior topológico
• Conjunto absolutamente convexo  – conjunto convexo y equilibradoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Conjunto equilibrado  : constructo en análisis funcional.
• Conjunto bornívoro  : un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado.
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  - Generalización de la acotación
• Conjunto convexo  : en geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• conjunto radial
• Dominio estelar  : propiedad de conjuntos de puntos en espacios euclidianos
• Conjunto simétrico  : propiedad de subconjuntos de grupos (matemáticas)
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Notas

1. El requisito de que sea un escalar distinto de cero no se puede eliminar de esta caracterización. ${\displaystyle c}$
2. Una topología en un espacio vectorial se llama topología vectorial o topología TVS si hace que la suma de vectores y la multiplicación escalar sean continuas cuando al campo escalar se le da su topología euclidiana inducida por normas habitual (esa norma es el valor absoluto ). Dado que las restricciones de las funciones continuas son continuas, si es un subespacio vectorial de un TVS , las operaciones de suma de vectores y multiplicación escalar también serán continuas. Por tanto, la topología de subespacio que cualquier subespacio vectorial hereda de un TVS volverá a ser una topología vectorial. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\times Y\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times Y\to Y}$
3. Si hay una vecindad del origen en un TVS , entonces sería patológico si existiera algún subespacio vectorial unidimensional en el que no hubiera una vecindad del origen en al menos alguna topología de TVS en Las únicas topologías de TVS son las euclidianas de Hausdorff. topología y la topología trivial , que es un subconjunto de la topología euclidiana. En consecuencia, esta patología no ocurre si y solo si es una vecindad de en la topología euclidiana para todos los subespacios vectoriales unidimensionales , que es exactamente la condición que absorbe el hecho de que todas las vecindades del origen en todos los TVS son necesariamente absorbentes. significa que este comportamiento patológico no ocurre. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Pruebas

1. Prueba : Sea un espacio vectorial sobre el campo con ser o y dote al campo con su topología euclidiana normada habitual. Sea un conjunto convexo tal que para cada existe un real positivo tal que Porque si entonces la prueba está completa, supongamos claramente que todo subconjunto convexo no vacío de la recta real es un intervalo (posiblemente abierto, cerrado o semicerrado). ; posiblemente degenerado (es decir, un conjunto singleton ); posiblemente acotado o ilimitado). Recuerde que la intersección de conjuntos convexos es convexa de modo que para cada conjunto y es convexo, donde ahora la convexidad de (que contiene el origen y está contenida en la recta ) implica que es un intervalo contenido en la recta Lema : Si entonces el El intervalo contiene un subintervalo abierto que contiene el origen. Prueba del lema : Por suposición, ya que podemos elegir algunos tales que y (porque ) también podemos elegir algunos tales que donde y (desde ). Porque es convexo y contiene los distintos puntos y contiene la cáscara convexa de los puntos que (en particular) contiene el subintervalo abierto donde este subintervalo abierto contiene el origen (para ver por qué, tome cuál satisface ), lo que prueba la lema. Ahora arregle let Porque era arbitrario, para demostrar que es absorbente es necesario y suficiente mostrar que es una vecindad del origen en cuando se le da su topología euclidiana de Hausdorff habitual, donde recordemos que esta topología convierte el mapa definido por en un TVS -isomorfismo. Si entonces el hecho de que el intervalo contenga un subintervalo abierto alrededor del origen significa exactamente que es una vecindad del origen en la que se completa la prueba. Entonces supongamos que Escribe de manera que y (ingenuamente, es el " eje -" y es el " eje -" de ). El conjunto está contenido en el conjunto convexo de modo que el casco convexo de está contenido en Por el lema, cada uno de y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rz\in A.}$ ${\displaystyle 0\in A,}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} X\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0\neq y\in X,}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y=\{ry:-\infty <r<\infty \}.}$ ${\displaystyle 0\neq y\in X}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle Ry\in A}$ ${\displaystyle -y\in X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r(-y)\in A,}$ ${\displaystyle r(-y)=(-r)y}$ ${\displaystyle -ry\neq Ry}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle -ry}$ ${\displaystyle Ry,}$ ${\displaystyle \{-ry,Ry\},}$ ${\displaystyle (-r,R)y=\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle (-r,R)y}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle -r<t=0<R}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle Y:=\operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x.}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle c\mapsto cx}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\cap Y=A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle i:={\sqrt {-1}},}$ ${\displaystyle ix\in Y=\mathbb {C} x,}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x=(\mathbb {R} x)+(\mathbb {R} (ix))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} (ix)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (ix)}$ ${\displaystyle S:=(A\cap \mathbb {R} x)\cup (A\cap \mathbb {R} (ix))}$ ${\displaystyle A\cap Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap Y.}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} (ix)}$son segmentos de línea (intervalos) y cada segmento contiene el origen en un subintervalo abierto; además, se cruzan claramente en el origen. Elija un real tal que y Denotemos la cáscara convexa del cual está contenida en la cáscara convexa de y por lo tanto también contenida en el conjunto convexo. Para terminar la prueba, basta demostrar que es una vecindad de en Visto como un subconjunto del complejo El plano tiene forma de cuadrado abierto con sus cuatro esquinas en los ejes positivo y negativo ( es decir, en y ). Así se verifica fácilmente que contiene la bola abierta de radio centrada en el origen de Así es una vecindad del origen en según se desee. ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle (-d,d)x=\{tx:-d<t<d,t\in \mathbb {R} \}\subseteq A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle (-d,d)ix=\{tix:-d<t<d,t\in \mathbb {R} \}\subseteq A\cap \mathbb {R} (ix).}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [(-d,d)x]\cup [(-d,d)ix],}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap Y.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cong Y,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (0,\infty )x,}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)x,}$ ${\displaystyle (0,\infty )ix,}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)ix}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{d/2}x:=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<d/2\}}$ ${\displaystyle d/2}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x.}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Citas

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 107-110.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs. 67-113.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 115-154.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs. 149-153.

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