Un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado.
En análisis funcional , un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo que tiene una bornología vectorial asociada se llama bornívoro y bornívoro si absorbe todos los elementos de
Si es un espacio vectorial topológico (TVS), entonces un subconjunto de es bornívoro si es bornívoro con respecto a la bornología de von-Neumann .
![{\displaystyle {\mathcal {B}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {B}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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Los conjuntos bornívoros juegan un papel importante en las definiciones de muchas clases de espacios vectoriales topológicos, particularmente espacios bornológicos .
Definiciones
Si es un TVS, entonces se llama un subconjunto de![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
bornívoroy unbornívoro siabsorbecadasubconjunto acotadode
Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es bornívoro si y sólo si su funcional de Minkowski está localmente acotado (es decir, asigna conjuntos acotados a conjuntos acotados).
Conjuntos infrabornívoros y mapas infralimitados
Un mapa lineal entre dos TVS se llamainfralimitado si asignadiscos de Banacha discos delimitados.
Un disco se llama
infrabornívoro siabsorbetodoslos discos de Banach.
Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es infrabornívoro si y sólo si su funcional de Minkowski es infralimitado.
Un disco en un espacio localmente convexo de Hausdorff es infrabornívoro si y sólo si absorbe todos los discos compactos (es decir, si es "compactívoro ").
Propiedades
Cada subconjunto bornívoro e infrabornívoro de un TVS es absorbente . En un TVS pseudometrizable , cada bornívoro es un barrio del origen.
Dos topologías TVS en el mismo espacio vectorial tienen los mismos subconjuntos acotados si y sólo si tienen los mismos bornívoros.
Supongamos que es un subespacio vectorial de codimensión finita en un espacio localmente convexo y si es un barril (resp. barril bornívoro, disco bornívoro) entonces existe un barril (resp. barril bornívoro, disco bornívoro) de tal manera que ![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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![{\displaystyle B\subseteq M.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos y condiciones suficientes
Cada barrio del origen en un TVS es bornívoro. El casco convexo, el casco convexo cerrado y el casco equilibrado de un conjunto de bornívoros son nuevamente bornívoros. La preimagen de un bornívoro bajo un mapa lineal delimitado es un bornívoro.
Si es un TVS en el que cada subconjunto acotado está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita, entonces cada conjunto absorbente es un bornívoro. ![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Contraejemplos
Sea como un espacio vectorial sobre los reales. Si es el casco equilibrado del segmento de línea cerrada entre y entonces no es bornívoro pero el casco convexo de es bornívoro. Si es el triángulo cerrado y "relleno" con vértices y entonces es un conjunto convexo que no es bornívoro pero su casco equilibrado sí lo es.![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (-1,1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (1,1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (-1,-1),(-1,1),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (1,1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
Bibliografía
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