Conjunto equilibrado

Construir en análisis funcional

En álgebra lineal y áreas relacionadas de las matemáticas , un conjunto equilibrado , un conjunto encerrado en un círculo o un disco en un espacio vectorial (sobre un cuerpo con una función de valor absoluto ) es un conjunto tal que para todos los escalares que satisfacen ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle aS\subseteq S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$

El casco equilibrado o envoltura equilibrada de un conjunto es el conjunto equilibrado más pequeño que contiene El núcleo equilibrado de un conjunto es el conjunto equilibrado más grande contenido en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Los conjuntos balanceados son omnipresentes en el análisis funcional porque cada vecindad del origen en cada espacio vectorial topológico (TVS) contiene una vecindad balanceada del origen y cada vecindad convexa del origen contiene una vecindad convexa balanceada del origen (incluso si el TVS no es localmente convexo ). Esta vecindad también puede elegirse como un conjunto abierto o, alternativamente, como un conjunto cerrado .

Definición

Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo de números reales o complejos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Notación

Si es un conjunto, es un escalar, y entonces sean y y para cualquier sea denotar, respectivamente, la bola abierta y la bola cerrada de radio en el campo escalar centrado en donde y Todo subconjunto equilibrado del campo es de la forma o para algún ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle aS=\{as:s\in S\}}$ ${\displaystyle BS=\{bs:b\in B,s\in S\}}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty ,}$ $${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\qquad {\text{ and }}\qquad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}.}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B_{0}=\varnothing ,B_{\leq 0}=\{0\},}$ ${\displaystyle B_{\infty }=B_{\leq \infty }=\mathbb {K} .}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle B_{\leq r}}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty .}$

Conjunto equilibrado

Un subconjunto de se llama ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$conjunto equilibrado oequilibradosi satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Definición : para todos y cada uno de los escalares que satisfacen ${\displaystyle as\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$
2. ${\displaystyle aS\subseteq S}$para todos los escalares que satisfacen ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$
3. ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S}$(dónde ). ${\displaystyle B_{\leq 1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq 1\}}$
4. ${\displaystyle S=B_{\leq 1}S.}$^[1]
5. Para cada ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq 1}(S\cap \mathbb {K} s).}$
   • ${\displaystyle \mathbb {K} s=\operatorname {span} \{s\}}$es un subespacio vectorial (si ) o (si ) dimensional de ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X.}$
   • Si entonces la igualdad anterior se convierte en que es exactamente la condición previa para que un conjunto esté equilibrado. Por lo tanto, está equilibrado si y solo si para cada es un conjunto equilibrado (de acuerdo con cualquiera de las condiciones definitorias anteriores). ${\displaystyle R:=S\cap \mathbb {K} s}$ ${\displaystyle R=B_{\leq 1}R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s}$
6. Para cada subespacio vectorial unidimensional de es un conjunto equilibrado (de acuerdo con cualquier condición definitoria distinta de ésta). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S,}$ ${\displaystyle S\cap Y}$
7. Para cada uno existe algo tal que o ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{r}s}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq r}s.}$
8. ${\displaystyle S}$es un subconjunto equilibrado de (según cualquier condición definitoria de "equilibrado" distinta de ésta). ${\displaystyle \operatorname {span} S}$
   • Por lo tanto, es un subconjunto equilibrado de si y solo si es un subconjunto equilibrado de cada (equivalentemente, de algún) espacio vectorial sobre el campo que contiene . Por lo tanto, suponiendo que el campo está claro a partir del contexto, esto justifica escribir " está equilibrado" sin mencionar ningún espacio vectorial. ^{[nota 1]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle S}$

Si es un conjunto convexo , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle S}$

9. ${\displaystyle aS\subseteq S}$para todos los escalares que satisfacen ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|=1.}$

Si bien esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

10. ${\displaystyle S}$es simétrico (significado ) y ${\displaystyle -S=S}$ ${\displaystyle [0,1)S\subseteq S.}$

Casco equilibrado

$${\displaystyle \operatorname {bal} S~=~\bigcup _{|a|\leq 1}aS=B_{\leq 1}S}$$

ElLa envoltura equilibrada de un subconjuntodedenotado porse define de cualquiera de las siguientes formas equivalentes: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$

1. Definición : es el subconjunto equilibrado más pequeño (con respecto a ) de los que contienen ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$es la intersección de todos los conjuntos equilibrados que contienen ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=\bigcup _{|a|\leq 1}(aS).}$
4. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=B_{\leq 1}S.}$^[1]

Núcleo equilibrado

$${\displaystyle \operatorname {balcore} S~=~{\begin{cases}\displaystyle \bigcap _{|a|\geq 1}aS&{\text{ if }}0\in S\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in S\\\end{cases}}}$$

ElEl núcleo equilibrado de un subconjuntodedenotado porse define de cualquiera de las siguientes formas equivalentes: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} S,}$

1. Definición : es el subconjunto equilibrado más grande (con respecto a ) de ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$es la unión de todos los subconjuntos equilibrados de ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\varnothing }$si mientras si ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\bigcap _{|a|\geq 1}(aS)}$ ${\displaystyle 0\in S.}$

Ejemplos

El conjunto vacío es un conjunto equilibrado, como lo es cualquier subespacio vectorial de cualquier espacio vectorial (real o complejo) . En particular, es siempre un conjunto equilibrado. ${\displaystyle \{0\}}$

Cualquier conjunto no vacío que no contenga el origen no está equilibrado y, además, el núcleo equilibrado de dicho conjunto será igual al conjunto vacío.

Espacios vectoriales normados y topológicos

Las bolas abiertas y cerradas centradas en el origen en un espacio vectorial normado son conjuntos equilibrados. Si es una seminorma (o norma ) en un espacio vectorial , entonces para cualquier constante el conjunto está equilibrado. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c>0,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq c\}}$

Si es cualquier subconjunto y entonces es un conjunto equilibrado. En particular, si es cualquier entorno equilibrado del origen en un espacio vectorial topológico entonces ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\}}$ ${\displaystyle B_{1}S}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}U~\subseteq ~B_{1}U~=~\bigcup _{0<|a|<1}aU~\subseteq ~U.}$$

Conjuntos equilibrados en y ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Sea el campo de los números reales o de los números complejos , sea el valor absoluto de y sea el espacio vectorial de Entonces, por ejemplo, si es el campo de los números complejos, entonces es un espacio vectorial complejo unidimensional, mientras que si entonces es un espacio vectorial real unidimensional. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {R} }$

Los subconjuntos balanceados de son exactamente los siguientes: ^[3] ${\displaystyle X=\mathbb {K} }$

1. ${\displaystyle \varnothing }$
2. ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \{0\}}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:|x|<r\}}$por algo real ${\displaystyle r>0}$
5. ${\displaystyle \{x\in X:|x|\leq r\}}$por algo real ${\displaystyle r>0.}$

En consecuencia, tanto el núcleo equilibrado como la envoltura equilibrada de cada conjunto de escalares son iguales a uno de los conjuntos enumerados anteriormente.

Los conjuntos equilibrados son el propio conjunto vacío y los discos abierto y cerrado centrados en cero. Por el contrario, en el espacio euclidiano bidimensional hay muchos más conjuntos equilibrados: cualquier segmento de recta con punto medio en el origen servirá. En consecuencia, y son completamente diferentes en lo que se refiere a la multiplicación escalar . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Conjuntos equilibrados en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

En todo momento, sea (por lo que es un espacio vectorial sobre ) y sea la bola unitaria cerrada centrada en el origen. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle B_{\leq 1}}$ ${\displaystyle X}$

Si no es cero, y entonces el conjunto es un vecindario cerrado, simétrico y equilibrado del origen en De manera más general, si es cualquier subconjunto cerrado de tal que entonces es un vecindario cerrado, simétrico y equilibrado del origen en Este ejemplo se puede generalizar para cualquier entero ${\displaystyle x_{0}\in X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle L:=\mathbb {R} x_{0},}$ ${\displaystyle R:=B_{\leq 1}\cup L}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,1)C\subseteq C,}$ ${\displaystyle S:=B_{\leq 1}\cup C\cup (-C)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$

Sea la unión del segmento de recta entre los puntos y y el segmento de recta entre y Entonces es equilibrada pero no convexa. Tampoco es absorbente (a pesar de que es todo el espacio vectorial). ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (0,-1)}$ ${\displaystyle (0,1).}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {span} B=\mathbb {R} ^{2}}$

Para cada sea cualquier número real positivo y sea el segmento de línea (abierto o cerrado) entre los puntos y Entonces el conjunto es un conjunto equilibrado y absorbente pero no es necesariamente convexo. ${\displaystyle 0\leq t\leq \pi ,}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle B^{t}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle -(\cos t,\sin t).}$ ${\displaystyle B=\bigcup _{0\leq t<\pi }r_{t}B^{t}}$

La envoltura equilibrada de un conjunto cerrado no necesita ser cerrada. Tomemos como ejemplo el gráfico de in ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}$

El siguiente ejemplo muestra que la envoltura equilibrada de un conjunto convexo puede no ser convexa (sin embargo, la envoltura convexa de un conjunto equilibrado siempre está equilibrada). Por ejemplo, sea el subconjunto convexo que es un segmento de línea cerrado horizontal que se encuentra por encima del eje en La envoltura equilibrada es un subconjunto no convexo que tiene " forma de reloj de arena " e es igual a la unión de dos triángulos isósceles cerrados y llenos y donde y es el triángulo lleno cuyos vértices son el origen junto con los puntos finales de (dicho de otra manera, es la envoltura convexa de mientras que es la envoltura convexa de ). ${\displaystyle S:=[-1,1]\times \{1\},}$ ${\displaystyle x-}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2},}$ ${\displaystyle T_{2}=-T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle S\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle (-S)\cup \{(0,0)\}}$

Condiciones suficientes

Un conjunto está equilibrado si y sólo si es igual a su envoltura equilibrada o a su núcleo equilibrado, en cuyo caso los tres conjuntos son iguales: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} T}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

El producto cartesiano de una familia de conjuntos equilibrados está equilibrado en el espacio producto de los espacios vectoriales correspondientes (sobre el mismo cuerpo ). ${\displaystyle \mathbb {K} }$

• La envoltura equilibrada de un conjunto compacto (respectivamente, totalmente acotado , acotado ) tiene la misma propiedad. ^[4]
• La envoltura convexa de un conjunto equilibrado es convexa y equilibrada (es decir, es absolutamente convexa ). Sin embargo, la envoltura equilibrada de un conjunto convexo puede no ser convexa (se da un contraejemplo más arriba).
• Las uniones arbitrarias de conjuntos equilibrados son equilibradas, y lo mismo ocurre con las intersecciones arbitrarias de conjuntos equilibrados.
• Los múltiplos escalares y las sumas de Minkowski (finitas) de conjuntos equilibrados se vuelven a equilibrar.
• Las imágenes y preimágenes de conjuntos equilibrados bajo aplicaciones lineales están a su vez equilibradas. Explícitamente, si es una aplicación lineal y y son conjuntos equilibrados, entonces y son conjuntos equilibrados. ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle L(B)}$ ${\displaystyle L^{-1}(C)}$

Barrios equilibrados

En cualquier espacio vectorial topológico , el cierre de un conjunto equilibrado es equilibrado. ^[5] La unión del origen y el interior topológico de un conjunto equilibrado es equilibrada. Por lo tanto, el interior topológico de un entorno equilibrado del origen es equilibrado. ^{[5] [prueba 1]} Sin embargo, es un subconjunto equilibrado de que contiene el origen pero cuyo interior topológico (no vacío) no contiene el origen y, por lo tanto, no es un conjunto equilibrado. ^[6] De manera similar, para espacios vectoriales reales, si denota la envoltura convexa de y (un triángulo lleno cuyos vértices son estos tres puntos), entonces es un subconjunto equilibrado ( con forma de reloj de arena ) de cuyo interior topológico no vacío no contiene el origen y, por lo tanto, no es un conjunto equilibrado (y aunque el conjunto formado al sumar el origen está equilibrado, no es ni un conjunto abierto ni un entorno del origen). ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}:|z|\leq |w|\right\}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)\in X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (\pm 1,1)}$ ${\displaystyle B:=T\cup (-T)}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{(0,0)\}\cup \operatorname {Int} _{X}B}$

Cada vecindad (respectivamente, vecindad convexa) del origen en un espacio vectorial topológico contiene una vecindad abierta equilibrada (respectivamente, convexa y equilibrada) del origen. De hecho, la siguiente construcción produce dichos conjuntos equilibrados. Dado que el conjunto simétrico será convexo (respectivamente, cerrado, equilibrado, acotado , una vecindad del origen, un subconjunto absorbente de ) siempre que esto sea cierto para Será un conjunto equilibrado si tiene forma de estrella en el origen, ^{[nota 2]} lo cual es cierto, por ejemplo, cuando es convexo y contiene En particular, si es una vecindad convexa del origen entonces será una vecindad convexa equilibrada del origen y por lo tanto su interior topológico será una vecindad abierta convexa equilibrada del origen. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W\subseteq X,}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW\subseteq W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$

Prueba

Sea y defina (donde denota elementos del campo de escalares). Tomando se muestra que Si es convexo entonces también lo es (ya que una intersección de conjuntos convexos es convexa) y por lo tanto también lo es el interior de . Si entonces y por lo tanto Si tiene forma de estrella en el origen ^{[nota 2]} entonces también lo tiene todo (para ), lo que implica que para cualquier probando así que está equilibrado. Si es convexo y contiene el origen entonces tiene forma de estrella en el origen y por lo tanto estará equilibrado. ${\displaystyle 0\in W\subseteq X}$ ${\displaystyle A=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle u:=1}$ ${\displaystyle A\subseteq W.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |s|=1}$ $${\displaystyle sA=\bigcap _{|u|=1}suW\subseteq \bigcap _{|u|=1}uW=A}$$ ${\displaystyle sA=A.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle uW}$ ${\displaystyle |u|=1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1,}$ $${\displaystyle rA=\bigcap _{|u|=1}ruW\subseteq \bigcap _{|u|=1}uW=A}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$

Ahora supongamos que es un entorno del origen en Dado que la multiplicación escalar (definida por ) es continua en el origen y existe algún entorno abierto básico (donde y ) del origen en la topología del producto en tal que el conjunto está equilibrado y también es abierto porque puede escribirse como donde es un entorno abierto del origen siempre que Finalmente, muestra que también es un entorno del origen. Si está equilibrado entonces debido a que su interior contiene el origen, también estará equilibrado. Si es convexo entonces es convexo y equilibrado y por lo tanto lo mismo es cierto de ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle M:\mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle M(a,x)=ax}$ ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {K} \times X}$ ${\displaystyle M(0,0)=0\in W,}$ ${\displaystyle B_{r}\times V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}:=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X}$ ${\displaystyle M\left(B_{r}\times V\right)\subseteq W;}$ ${\displaystyle M\left(B_{r}\times V\right)=B_{r}V}$ $${\displaystyle B_{r}V=\bigcup _{|a|<r}aV=\bigcup _{0<|a|<r}aV\qquad {\text{ (since }}0\cdot V=\{0\}\subseteq aV{\text{ )}}}$$ ${\displaystyle aV}$ ${\displaystyle a\neq 0.}$ $${\displaystyle A=\bigcap _{|u|=1}uW\supseteq \bigcap _{|u|=1}uB_{r}V=\bigcap _{|u|=1}B_{r}V=B_{r}V}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Supóngase que es un subconjunto convexo y absorbente de Entonces será un subconjunto absorbente convexo equilibrado de lo que garantiza que el funcional de Minkowski de será una seminorma en por lo que se convierte en un espacio seminormado que lleva su topología seudometrizable canónica . El conjunto de múltiplos escalares como rangos sobre (o sobre cualquier otro conjunto de escalares distintos de cero que tengan como punto límite) forma una base de vecindad de discos absorbentes en el origen para esta topología localmente convexa . Si es un espacio vectorial topológico y si este subconjunto absorbente convexo es también un subconjunto acotado de entonces lo mismo será cierto del disco absorbente si además no contiene ningún subespacio vectorial no trivial entonces será una norma y formará lo que se conoce como un espacio normado auxiliar . ^[7] Si este espacio normado es un espacio de Banach entonces se llama disco de Banach . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

Propiedades

Propiedades de los conjuntos equilibrados

Un conjunto equilibrado no está vacío si y solo si contiene el origen. Por definición, un conjunto es absolutamente convexo si y solo si es convexo y equilibrado. Todo conjunto equilibrado tiene forma de estrella (en 0) y es un conjunto simétrico . Si es un subconjunto equilibrado de entonces: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

• para cualquier escalar y si entonces y Por lo tanto, si y son escalares cualesquiera entonces ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle |c|\leq |d|}$ ${\displaystyle cB\subseteq dB}$ ${\displaystyle cB=|c|B.}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (cB)\cap (dB)=\min _{}\{|c|,|d|\}B.}$
• ${\displaystyle B}$es absorbente si y sólo si para todo existe tal que ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rB.}$
• Para cualquier subespacio vectorial unidimensional del conjunto es convexo y equilibrado. Si no está vacío y si es un subespacio vectorial unidimensional de entonces es o bien es absorbente en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\cap Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {span} B}$ ${\displaystyle B\cap Y}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle Y.}$
• para cualquier si contiene más de un punto, entonces es un vecindario convexo y equilibrado de en el espacio vectorial unidimensional cuando este espacio está dotado de la topología euclidiana de Hausdorff ; y el conjunto es un subconjunto convexo equilibrado del espacio vectorial real que contiene el origen. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {span} x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {span} x}$ ${\displaystyle B\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$

Propiedades de los cascos equilibrados y de los núcleos equilibrados

Para cualquier colección de subconjuntos de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {bal} S\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {balcore} \left(\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {balcore} S.}$$

En cualquier espacio vectorial topológico, la envoltura equilibrada de cualquier entorno abierto del origen es a su vez abierta. Si es un espacio vectorial topológico de Hausdorff y si es un subconjunto compacto de entonces la envoltura equilibrada de es compacta. ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$

Si un conjunto es cerrado (respectivamente, convexo, absorbente , un vecindario del origen), entonces lo mismo es cierto para su núcleo equilibrado.

Para cualquier subconjunto y cualquier escalar ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,S)=c\operatorname {bal} S=|c|\operatorname {bal} S.}$

Para cualquier escalar Esta igualdad se cumple si y solo si Por lo tanto, si o entonces para cada escalar ${\displaystyle c\neq 0,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S.}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle S\subseteq \{0\}.}$ ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle S=\varnothing }$ $${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S}$$ ${\displaystyle c.}$

Nociones relacionadas

Se dice que una función en un espacio vectorial real o complejo es una ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$función equilibrada si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:^[9]

1. ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$¿Siempre que un escalar satisface y ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$
2. ${\displaystyle p(ax)\leq p(bx)}$siempre que y son escalares que satisfacen y ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |a|\leq |b|}$ ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq t\}}$es un conjunto equilibrado para cada número real no negativo ${\displaystyle t\geq 0.}$

Si es una función equilibrada entonces para cada escalar y vector , en particular, para cada escalar de longitud unitaria (que satisfaga ) y cada ^[9] El uso de muestra que toda función equilibrada es una función simétrica . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(ax)=p(|a|x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x\in X;}$ ${\displaystyle p(ux)=p(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |u|=1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle u:=-1}$

Una función de valor real es una seminorma si y solo si es una función sublineal equilibrada . ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

Véase también

• Conjunto absolutamente convexo  – Conjunto convexo y equilibrado
• Conjunto absorbente  – Conjunto que se puede “inflar” para alcanzar cualquier punto
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  : generalización de la acotación
• Conjunto convexo  : En geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.
• Dominio estelar  – Propiedad de los conjuntos de puntos en espacios euclidianos
• Conjunto simétrico  – Propiedad de los subconjuntos de un grupo (matemáticas)
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Referencias

1. Swartz 1992, págs. 4-8.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 107-110.
3. Jarchow 1981, pág. 34.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
5. Rudin 1991, págs. 10-14.
6. Rudin 1991, pág. 38.
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 115–154.
8. Trèves 2006, pág. 56.
9. Schechter 1996, pág. 313.

1. Suponiendo que todos los espacios vectoriales que contienen un conjunto están sobre el mismo cuerpo, al describir el conjunto como "equilibrado", no es necesario mencionar un espacio vectorial que lo contenga. Es decir, " está equilibrado" puede escribirse en lugar de " es un subconjunto equilibrado de ". ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
2. tiene forma de estrella en el origen significa que y para todos y ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0\in W}$ ${\displaystyle rw\in W}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle w\in W.}$

Pruebas

1. Sea equilibrado. Si su interior topológico está vacío, entonces está equilibrado, por lo que supongamos lo contrario y sea un escalar. Si entonces la función definida por es un homeomorfismo , lo que implica que porque es abierta, de modo que solo queda demostrar que esto es cierto para Sin embargo, podría no ser cierto, pero cuando lo sea, entonces estará equilibrado. ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto sx}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B=\operatorname {Int} _{X}(sB)\subseteq sB\subseteq B;}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B\subseteq \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle s=0.}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Fuentes

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• Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 96 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-97245-9.OCLC 21195908  .
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). Operadores lineales . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 1. Nueva York: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6.OCLC 18412261  .
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6.OCLC 30593138  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
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