Conjunto vacío

Conjunto matemático que no contiene elementos

El conjunto vacío es el conjunto que no contiene elementos.

En matemáticas , el conjunto vacío o conjunto nulo es el único conjunto que no tiene elementos ; su tamaño o cardinalidad (número de elementos en un conjunto) es cero . ^[1] Algunas teorías de conjuntos axiomáticos aseguran que el conjunto vacío existe al incluir un axioma de conjunto vacío , mientras que en otras teorías, su existencia se puede deducir. Muchas propiedades posibles de los conjuntos son vacuamente verdaderas para el conjunto vacío.

Cualquier conjunto que no sea el conjunto vacío se llama no vacío.

En algunos libros de texto y publicaciones populares, el conjunto vacío se denomina "conjunto nulo". ^[1] Sin embargo, conjunto nulo es una noción distinta dentro del contexto de la teoría de la medida , en la que describe un conjunto de medida cero (que no necesariamente está vacío).

Notación

Un símbolo para el conjunto vacío

Las notaciones comunes para el conjunto vacío incluyen "{ }", " " y "∅". Los dos últimos símbolos fueron introducidos por el grupo Bourbaki (específicamente André Weil ) en 1939, inspirados en la letra Ø ( U+00D8 Ø LETRA MAYÚSCULA LATINA O CON TRAZO ) en los alfabetos danés y noruego . ^[2] En el pasado, "0" (el numeral cero ) se usaba ocasionalmente como símbolo para el conjunto vacío, pero ahora se considera que es un uso indebido de la notación. ^[3] ${\displaystyle \emptyset }$

El símbolo ∅ está disponible en el punto Unicode U+2205 ∅ EMPTY SET . ^[4] Puede codificarse en HTML como y como o como . Puede codificarse en LaTeX como . El símbolo está codificado en LaTeX como . ∅∅∅\varnothing ${\displaystyle \emptyset }$\emptyset

Al escribir en idiomas como danés y noruego, donde el carácter de conjunto vacío puede confundirse con la letra alfabética Ø (como cuando se usa el símbolo en lingüística), se puede usar en su lugar el carácter Unicode U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰. ^[5]

Propiedades

En la teoría axiomática de conjuntos estándar , por el principio de extensionalidad , dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos (es decir, ninguno de ellos tiene un elemento que no esté en el otro). Como resultado, solo puede haber un conjunto sin elementos, de ahí el uso de "el conjunto vacío" en lugar de "un conjunto vacío".

El único subconjunto del conjunto vacío es el propio conjunto vacío; de manera equivalente, el conjunto potencia del conjunto vacío es el conjunto que contiene únicamente al conjunto vacío. El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su cardinalidad ) es cero. El conjunto vacío es el único conjunto con cualquiera de estas propiedades.

Para cualquier conjunto A :

• El conjunto vacío es un subconjunto de A
• La unión de A con el conjunto vacío es A
• La intersección de A con el conjunto vacío es el conjunto vacío
• El producto cartesiano de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío

Para cualquier propiedad P :

• Para cada elemento de , se cumple la propiedad P ( verdad vacía ). ${\displaystyle \varnothing }$
• No existe ningún elemento para el cual se cumpla la propiedad P. ${\displaystyle \varnothing }$

Por el contrario, si para alguna propiedad P y algún conjunto V , se cumplen las dos afirmaciones siguientes:

• Para cada elemento de V se cumple la propiedad P
• No existe ningún elemento de V para el cual se cumpla la propiedad P

entonces ${\displaystyle V=\varnothing .}$

Por definición de subconjunto , el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto A. Es decir, cada elemento x de pertenece a A. De hecho, si no fuera cierto que cada elemento de está en A , entonces habría al menos un elemento de que no está presente en A. Puesto que no hay elementos de en absoluto, no hay ningún elemento de que no esté en A. Cualquier afirmación que comience con "para cada elemento de " no está haciendo ninguna afirmación sustancial; es una verdad vacía . Esto se suele parafrasear como "todo es cierto respecto de los elementos del conjunto vacío". ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$

En la definición habitual de números naturales en teoría de conjuntos , el cero está modelado por el conjunto vacío.

Operaciones sobre el conjunto vacío

Cuando se habla de la suma de los elementos de un conjunto finito, uno se ve inevitablemente conducido a la convención de que la suma de los elementos del conjunto vacío (la suma vacía ) es cero. La razón de esto es que cero es el elemento identidad para la adición. De manera similar, el producto de los elementos del conjunto vacío (el producto vacío ) debe considerarse como uno , ya que uno es el elemento identidad para la multiplicación. ^[6]

Un desorden es una permutación de un conjunto sin puntos fijos . El conjunto vacío puede considerarse un desorden de sí mismo, porque sólo tiene una permutación ( ), y es vacuamente cierto que no se puede encontrar ningún elemento (del conjunto vacío) que conserve su posición original. ${\displaystyle 0!=1}$

En otras áreas de las matemáticas

Números reales extendidos

Como el conjunto vacío no tiene ningún miembro cuando se lo considera como un subconjunto de cualquier conjunto ordenado , cada miembro de ese conjunto será un límite superior y un límite inferior para el conjunto vacío. Por ejemplo, cuando se lo considera como un subconjunto de los números reales, con su ordenamiento habitual, representado por la línea de números reales , cada número real es a la vez un límite superior e inferior para el conjunto vacío. ^[7] Cuando se lo considera como un subconjunto de los reales extendidos formados al sumar dos "números" o "puntos" a los números reales (a saber, infinito negativo , denotado que se define como menor que cualquier otro número real extendido, e infinito positivo , denotado que se define como mayor que cualquier otro número real extendido), tenemos que: y ${\displaystyle -\infty \!\,,}$ ${\displaystyle +\infty \!\,,}$ $${\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}$$ $${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$$

Es decir, el límite superior mínimo (sup o supremo ) del conjunto vacío es el infinito negativo, mientras que el límite inferior máximo (inf o ínfimo ) es el infinito positivo. Por analogía con lo anterior, en el dominio de los números reales extendidos, el infinito negativo es el elemento identidad de los operadores máximo y supremo, mientras que el infinito positivo es el elemento identidad de los operadores mínimo e ínfimo.

Topología

En cualquier espacio topológico X , el conjunto vacío es abierto por definición, al igual que X. Como el complemento de un conjunto abierto es cerrado y el conjunto vacío y X son complementos entre sí, el conjunto vacío también es cerrado, lo que lo convierte en un conjunto clopen . Además, el conjunto vacío es compacto por el hecho de que todo conjunto finito es compacto.

El cierre del conjunto vacío es vacío. Esto se conoce como "preservación de uniones nulas ".

Teoría de categorías

Si es un conjunto, entonces existe precisamente una función desde hasta la función vacía . Por lo tanto, el conjunto vacío es el único objeto inicial de la categoría de conjuntos y funciones. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle A,}$

El conjunto vacío se puede convertir en un espacio topológico , llamado espacio vacío, de una sola manera: definiendo el conjunto vacío como abierto . Este espacio topológico vacío es el único objeto inicial en la categoría de espacios topológicos con funciones continuas . De hecho, es un objeto inicial estricto : solo el conjunto vacío tiene una función para el conjunto vacío.

Teoría de conjuntos

En la construcción de von Neumann de los ordinales , 0 se define como el conjunto vacío, y el sucesor de un ordinal se define como . Por lo tanto, tenemos , , , y así sucesivamente. La construcción de von Neumann, junto con el axioma de infinito , que garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, se puede utilizar para construir el conjunto de números naturales, , de modo que se satisfagan los axiomas de Peano de la aritmética. ${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$ ${\displaystyle 0=\varnothing }$ ${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$ ${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

Existencia cuestionada

Cuestiones históricas

En el contexto de los conjuntos de números reales, Cantor solía denotar " que no contiene ningún punto". Esta notación se utilizó en definiciones; por ejemplo, Cantor definió dos conjuntos como disjuntos si su intersección tiene una ausencia de puntos; sin embargo, es discutible si Cantor lo consideró como un conjunto existente por sí mismo, o si Cantor simplemente lo utilizó como predicado de vacío. Zermelo se aceptó a sí mismo como un conjunto, pero lo consideró un "conjunto impropio". ^[8] ${\displaystyle P\equiv O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \equiv O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \equiv O}$ ${\displaystyle O}$

Teoría de conjuntos axiomáticos

En la teoría de conjuntos de Zermelo , la existencia del conjunto vacío está asegurada por el axioma de conjunto vacío , y su unicidad se desprende del axioma de extensionalidad . Sin embargo, el axioma de conjunto vacío puede demostrarse redundante de al menos dos maneras:

• La lógica estándar de primer orden implica, simplemente a partir de los axiomas lógicos , que algo existe y, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, esa cosa debe ser un conjunto. Ahora bien, la existencia del conjunto vacío se deduce fácilmente del axioma de separación .
• Incluso utilizando la lógica libre (que no implica lógicamente que algo exista), ya existe un axioma que implica la existencia de al menos un conjunto, a saber, el axioma de infinito .

Cuestiones filosóficas

Si bien el conjunto vacío es un concepto matemático estándar y ampliamente aceptado, sigue siendo una curiosidad ontológica , cuyo significado y utilidad son debatidos por filósofos y lógicos.

El conjunto vacío no es lo mismo que nada ; más bien, es un conjunto que no tiene nada dentro y un conjunto siempre es algo . Este problema se puede superar si consideramos un conjunto como una bolsa; sin duda, una bolsa vacía sigue existiendo. Darling (2004) explica que el conjunto vacío no es nada, sino más bien "el conjunto de todos los triángulos con cuatro lados, el conjunto de todos los números que son mayores que nueve pero menores que ocho, y el conjunto de todos los movimientos iniciales en ajedrez que involucran un rey ". ^[9]

El silogismo popular

Nada es mejor que la felicidad eterna; un bocadillo de jamón es mejor que nada; por lo tanto, un bocadillo de jamón es mejor que la felicidad eterna

Se utiliza a menudo para demostrar la relación filosófica entre el concepto de nada y el conjunto vacío. Darling escribe que el contraste se puede ver reescribiendo las afirmaciones "Nada es mejor que la felicidad eterna" y "[U]n sándwich de jamón es mejor que nada" en un tono matemático. Según Darling, el primero es equivalente a "El conjunto de todas las cosas que son mejores que la felicidad eterna es " y el segundo a "El conjunto {sándwich de jamón} es mejor que el conjunto ". El primero compara elementos de conjuntos, mientras que el segundo compara los conjuntos mismos. ^[9] ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$

Jonathan Lowe sostiene que, si bien el conjunto vacío

fue sin duda un hito importante en la historia de las matemáticas… no debemos asumir que su utilidad en el cálculo depende de que realmente denote algún objeto.

También es el caso que:

"Todo lo que se nos dice sobre el conjunto vacío es que (1) es un conjunto, (2) no tiene miembros y (3) es el único entre los conjuntos que no tiene miembros. Sin embargo, hay muchísimas cosas que 'no tienen miembros', en el sentido de la teoría de conjuntos, es decir, todos los no conjuntos. Está perfectamente claro por qué estas cosas no tienen miembros, ya que no son conjuntos. Lo que no está claro es cómo puede haber, de manera única entre los conjuntos, un conjunto que no tenga miembros. No podemos hacer que una entidad así exista por mera estipulación". ^[10]

George Boolos argumentó que mucho de lo que se ha obtenido hasta ahora mediante la teoría de conjuntos se puede obtener con la misma facilidad mediante la cuantificación plural sobre individuos, sin cosificar los conjuntos como entidades singulares que tienen otras entidades como miembros. ^[11]

Véase también

•  – NúmeroPáginas que muestran descripciones breves sin espacios
• Conjunto habitado  – Propiedad de los conjuntos utilizada en matemáticas constructivas
• Nada  – Ausencia total de algo; lo opuesto de todo
• Conjunto potencia  : conjunto matemático que contiene todos los subconjuntos de un conjunto dado

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Conjunto vacío". mathworld.wolfram.com . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
2. "Primeros usos de los símbolos de la teoría de conjuntos y la lógica".
3. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático (3.ª ed.). McGraw-Hill. pág. 300. ISBN 007054235X.
4. "Estándar Unicode 5.2" (PDF) .
5. por ejemplo, Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhague.
6. David M. Bloom (1979). Álgebra lineal y geometría . pp. 45. ISBN 0521293243.
7. Bruckner, AN, Bruckner, JB y Thomson, BS (2008). Análisis real elemental , 2.ª edición, pág. 9.
8. A. Kanamori, "El conjunto vacío, el singleton y el par ordenado", pág. 275. Boletín de lógica simbólica, vol. 9, núm. 3, (2003). Consultado el 21 de agosto de 2023.
9. DJ Darling (2004). El libro universal de las matemáticas . John Wiley and Sons . pág. 106. ISBN 0-471-27047-4.
10. EJ Lowe (2005). Locke . Routledge . Pág. 87.
11. George Boolos (1984), "Ser es ser el valor de una variable", The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reimpreso en 1998, Logic, Logic and Logic ( Richard Jeffrey y Burgess, J., eds.), Harvard University Press , 54–72.

Lectura adicional

• Halmos, Paul , Naive Set Theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición de Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo).  
• Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos . Springer Monographs in Mathematics (3.ª edición del milenio). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Graham, Malcolm (1975). Matemáticas elementales modernas (2.ª ed.). Harcourt Brace Jovanovich . ISBN 0155610392.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Conjunto vacío". MathWorld .