Teoría de conjuntos ingenua (libro)

Libro de texto de matemáticas de 1960 de Paul Halmos

Véase también Teoría de conjuntos ingenua para el tema matemático.

Naive Set Theory es un libro de texto de matemáticas de Paul Halmos que ofrece una introducción a la teoría de conjuntos para estudiantes universitarios . ^[1] Publicado originalmente por Van Nostrand en 1960, ^[2] fue reimpreso en la serie de Textos de pregrado en matemáticas de Springer-Verlag en 1974. ^[3]

Aunque el título indica que la teoría de conjuntos presentada es "ingenua", lo que generalmente se entiende como sin axiomas formales , el libro presenta un sistema de axiomas equivalente al de la teoría de conjuntos ZFC, excepto el Axioma de fundamento . También proporciona definiciones correctas y rigurosas de muchos conceptos básicos. ^{[2] [4]} En lo que se diferencia de un libro de teoría de conjuntos axiomática "verdadera" es en su carácter: no hay discusiones sobre minucias axiomáticas y casi no hay nada sobre temas avanzados como los grandes cardinales o el forzamiento . En cambio, intenta ser inteligible para alguien que nunca antes haya pensado en la teoría de conjuntos.

Halmos declaró más tarde que fue el libro que escribió más rápido, le llevó alrededor de seis meses, y que el libro "se escribió solo". ^[5]

Axiomas utilizados en el libro

Los enunciados de los axiomas que se dan a continuación son tal como aparecen en el libro, con referencias de secciones y con comentarios explicativos sobre cada uno de ellos. El "concepto primitivo principal (indefinido) de pertenencia " (es decir, pertenencia a un conjunto ) es el punto de partida, donde " pertenece a " se escribe en la notación habitual como . Aquí y son ambos conjuntos, con la distinción de notación entre mayúsculas y minúsculas como una elección puramente estilística. Los axiomas gobiernan las propiedades de esta relación entre conjuntos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

1. Axioma de extensión (Sección 1): dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos .

Esto garantiza que las relaciones de membresía e igualdad (lógica) interactúen adecuadamente.

2. Axioma de especificación (Sección 2): A todo conjunto y a toda condición corresponde un conjunto cuyos elementos son precisamente aquellos elementos de para los cuales se cumple. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S(x)}$

Este es más propiamente un esquema axiomático (es decir, cada condición da lugar a un axioma). "Condición" aquí significa una "oración" en la que la variable (que abarca todos los conjuntos) es una variable libre . Las "oraciones" se definen como construidas a partir de oraciones más pequeñas utilizando operaciones lógicas de primer orden ( y , o , no ), incluyendo cuantificadores (" existe ", " para todos "), y con oraciones atómicas (es decir, de inicio básico) y . ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle A=B}$

Este esquema se utiliza en los puntos 4.-7. a continuación para reducir el conjunto que se afirma que existe al conjunto que contiene precisamente los elementos previstos, en lugar de un conjunto más grande con elementos extraños. Por ejemplo, el axioma de emparejamiento aplicado a los conjuntos y solo garantiza que existe algún conjunto tal que y . La especificación se puede utilizar para luego construir el conjunto con solo esos elementos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle B\in X}$ ${\displaystyle \{A,B\}}$

3. Existencia de conjuntos (Sección 3): Existe un conjunto.

No se especifica como axioma nombrado, sino que se afirma que se "asumía oficialmente". Esta suposición no es necesaria una vez que se adopta más adelante el axioma de infinito, que también especifica la existencia de un conjunto (con una determinada propiedad). La existencia de cualquier conjunto se utiliza para demostrar que el conjunto vacío existe utilizando el axioma de especificación.

4. Axioma de emparejamiento (Sección 3): Para dos conjuntos cualesquiera existe un conjunto al que ambos pertenecen.

Esto se utiliza para demostrar que existe el singleton que contiene un conjunto dado . ${\displaystyle \{A\}}$ ${\displaystyle A}$

5. Axioma de uniones (Sección 4): Para cada colección de conjuntos existe un conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen al menos a un conjunto de la colección dada.

En la Sección 1, Halmos escribe que "para evitar la monotonía terminológica, a veces diremos colección en lugar de conjunto". Por lo tanto, este axioma es equivalente a la forma usual del axioma de uniones (dado el axioma de especificación, como se señaló anteriormente).

A partir de los axiomas expuestos hasta ahora, Halmos ofrece una construcción de intersecciones de conjuntos , y se describen las operaciones booleanas habituales sobre conjuntos y se demuestran sus propiedades.

6. Axioma de potencias (Sección 5): Para cada conjunto existe una colección de conjuntos que contiene entre sus elementos todos los subconjuntos del conjunto dado.

Nuevamente (teniendo en cuenta que "colección" significa "conjunto") utilizando el axioma (esquema) de especificación podemos reducir para obtener el conjunto potencia de un conjunto , cuyos elementos son precisamente los subconjuntos de . Los axiomas utilizados hasta ahora se utilizan para construir el producto cartesiano de conjuntos. ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

7. Axioma de infinito (Sección 11): Existe un conjunto que contiene a 0 y que contiene al sucesor de cada uno de sus elementos.

El conjunto . El sucesor de un conjunto se define como el conjunto . Por ejemplo: . Este axioma asegura la existencia de un conjunto que contiene y por lo tanto , y por lo tanto y así sucesivamente. Esto implica que hay un conjunto que contiene todos los elementos del primer ordinal infinito de von Neumann . Y otra aplicación del axioma (esquema) de especificación significa que en sí mismo es un conjunto. ${\displaystyle 0:=\emptyset }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{+}:=x\cup \{x\}}$ ${\displaystyle \{a,b\}^{+}=\{a,b,\{a,b\}\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{0,\{0\}\}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

8. Axioma de elección (Sección 15): El producto cartesiano de una familia no vacía de conjuntos no vacíos es no vacío.

Este es uno de los muchos equivalentes del axioma de elección . Nótese aquí que "familia" se define como una función , con la idea intuitiva de que los conjuntos de la familia son los conjuntos para recorrer el conjunto , y en la notación habitual este axioma dice que hay al menos un elemento en , siempre que para todos los . ${\displaystyle f\colon I\to X}$ ${\displaystyle f(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}f(i)}$ ${\displaystyle f(i)\neq \emptyset }$ ${\displaystyle i\in I\neq \emptyset }$

9. Axioma de sustitución (Sección 19): Si es una oración tal que para cada en un conjunto se puede formar el conjunto , entonces existe una función con dominio tal que para cada en . ${\displaystyle S(a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{b:S(a,b)\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F(a)=\{b:S(a,b)\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$

Una función se define como una relación funcional (es decir, un determinado subconjunto de ), no como un determinado tipo de conjunto de pares ordenados , como en ZFC, por ejemplo. ${\displaystyle F\colon A\to X}$ ${\displaystyle A\times X}$

Este 'axioma' es esencialmente el esquema axiomático de colección , que, dados los otros axiomas, es equivalente al esquema axiomático de reemplazo . Es el esquema de colección en lugar del de reemplazo, porque 1) es una relación de clase en lugar de una función de clase y 2) la función no está especificada para tener como codominio precisamente el conjunto , sino simplemente algún conjunto . ${\displaystyle S(a,b)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{F(a):a\in A\}}$ ${\displaystyle X\supseteq \{F(a):a\in A\}}$

Este axioma se utiliza en el libro para a) construir ordinales de von Neumann límite después del primer ordinal infinito , y b) demostrar que todo conjunto bien ordenado es de orden isomorfo a un ordinal de von Neumann único. ${\displaystyle \omega }$

Relación con otros sistemas axiomáticos para la teoría de conjuntos

Nótese que los axiomas 1.-9. son equivalentes al sistema de axiomas de ZFC-Fundación (es decir, ZFC sin el axioma de Fundación), ya que, como se señaló anteriormente, el axioma (esquema) de sustitución de Halmos es equivalente al esquema de axiomas de reemplazo, en presencia de los otros axiomas.

Además, los axiomas 1.-8. son casi exactamente los de la teoría de conjuntos ZC de Zermelo; la única diferencia es que el supuesto de existencia de conjuntos se reemplaza en ZC por la existencia del conjunto vacío, y la existencia de singletons se enuncia directamente para ZC, en lugar de demostrarse, como se indicó anteriormente. Además, el conjunto infinito cuya existencia se afirma mediante el axioma de infinito no es el que Zermelo postuló originalmente, ^[a] pero la versión de Halmos a veces se sustituye silenciosamente por él en los tratamientos de la teoría de conjuntos de Zermelo.

El hecho de que el axioma (esquema) de sustitución se enuncie al final del libro es un testimonio de lo mucho que se puede hacer sin él en la teoría de conjuntos elemental (y, de hecho, en las matemáticas en general) . Como ejemplo muy simple de para qué se necesita, no se puede demostrar que el ordinal de von Neumann (es decir, el segundo ordinal límite) sea un conjunto utilizando solo los axiomas 1.-8., aunque se pueden construir conjuntos con buenos ordenamientos con este tipo de orden a partir de estos axiomas. Por ejemplo , con un orden que coloque todos los elementos de la primera copia de menos que la segunda. Trabajar con ordinales de von Neumann en lugar de buenos ordenamientos genéricos tiene ventajas técnicas, sobre todo el hecho de que cada buen orden es un orden isomorfo a un único ordinal de von Neumann. ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \omega \times \{1\}\cup \omega \times \{2\}}$ ${\displaystyle \omega }$

Como se señaló anteriormente, el libro omite el axioma de fundamento (también conocido como axioma de regularidad). Halmos evita repetidamente la cuestión de si un conjunto puede contenerse a sí mismo o no.

• p. 1: "un conjunto también puede ser un elemento de algún otro conjunto" (énfasis añadido)
• p. 3: "¿Es esto verdad alguna vez? Ciertamente no es verdad respecto de ningún conjunto razonable que alguien haya visto jamás". ${\displaystyle A\in A}$
• p. 6: “ … poco probable, pero no obviamente imposible” ${\displaystyle B\in B}$

Pero Halmos nos permite demostrar que hay ciertos conjuntos que no pueden contenerse a sí mismos.

• p. 44: Halmos nos permite demostrar que . Pues si , entonces seguiría siendo un conjunto sucesor, porque y no es el sucesor de ningún número natural. Pero no es un subconjunto de , lo que contradice la definición de como un subconjunto de todo conjunto sucesor. ${\displaystyle \omega \not \in \omega }$ ${\displaystyle \omega \in \omega }$ ${\displaystyle \omega \setminus \{\omega \}}$ ${\displaystyle \omega \not =\emptyset }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \setminus \{\omega \}}$ ${\displaystyle \omega }$
• p. 47: Halmos demuestra el lema de que "ningún número natural es un subconjunto de ninguno de sus elementos". Esto nos permite demostrar que ningún número natural puede contenerse a sí mismo. Porque si , donde es un número natural, entonces , lo que contradice el lema. ${\displaystyle n\in n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\subset n\in n}$
• p. 75: "Un número ordinal se define como un conjunto bien ordenado tal que para todo en ; aquí está, como antes, el segmento inicial }." El buen orden se define de la siguiente manera: si y son elementos de un número ordinal , entonces significa (pp. 75-76). Por su elección del símbolo en lugar de , Halmos implica que el buen orden es estricto (pp. 55-56). Esta definición de hace imposible tener , donde es un elemento de un número ordinal. Esto se debe a que significa , lo que implica (porque < es estricto), lo cual es imposible. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle s(\xi )=\xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle s(\xi )}$ ${\displaystyle \{\eta \in \alpha :}$ ${\displaystyle \eta <\xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \xi <\eta }$ ${\displaystyle \xi \in \eta }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \xi \in \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi \in \xi }$ ${\displaystyle \xi <\xi }$ ${\displaystyle \xi \not =\xi }$
• p. 75: la definición anterior de un número ordinal también hace imposible tener , donde es un número ordinal. Esto se debe a que implica . Esto nos da , que implica , lo que implica (porque es estricto), lo cual es imposible. ${\displaystyle \alpha \in \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \in \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =s(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in \alpha =s(\alpha )=\{\eta \in \alpha :\eta <\alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha <\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \not =\alpha }$ ${\displaystyle <}$

Errata

• p. 4, línea 18: “Caín y Abel” debería ser “Set, Caín y Abel”.
• p. 30, línea 10: " onto " debería ser " into ". ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• p, 66, línea 16: "Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todos aquellos pares para los cuales ; el conjunto tiene como elemento menor.": la afirmación no es verdadera, ya que . De hecho . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (1,1)\leq (a,b)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (2,2)\leq (1,1)}$ ${\displaystyle (2\times 2+1)\times 2^{1}=10\leq (2\times 1+1)\times 2^{2}=12}$
• p. 73, línea 19: "para cada uno en " debería ser "para cada uno en ". ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$
• p. 75, línea 3: "si y sólo si " debería ser "si y sólo si ". ${\displaystyle x\in F(n)}$ ${\displaystyle x=\{b:S(n,b)\}}$
• p, 100, línea 11: "entonces " debería ser "entonces ". ${\displaystyle \mathrm {card} \ X\sim \mathrm {card} \ Y}$ ${\displaystyle \mathrm {card} \ X=\mathrm {card} \ Y}$

Véase también

• Lista de publicaciones importantes en matemáticas

Notas

[a] - De hecho, dado el resto de los axiomas, ni el axioma original de Zermelo de infinito ni el axioma de Halmos de infinito pueden probarse a partir del otro, ^[6] incluso si se añade el axioma de fundamento. Es decir, no se puede construir el conjunto infinito que el axioma de Halmos afirma que existe a partir del conjunto infinito que los axiomas originales de Zermelo afirman que existe, y viceversa. El esquema axiomático de reemplazo, por otra parte, sí permite la construcción de cualquiera de estos conjuntos infinitos a partir del otro.

Bibliografía

• Halmos, Paul , Naive Set Theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edición de Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo); reimpresión de Dover de 2017, ISBN 9780486814872 ; doi :10.1007/978-1-4757-1645-0.  

Referencias

1. Revisión de Naive Set Theory de H. Mirkil (abril de 1961), American Mathematical Monthly 68 (4): 392, doi :10.2307/2311615.
2. Revisión de la teoría de conjuntos ingenua , L. Rieger, MR 0114756.
3. Halmos, Paul (1974). Teoría de conjuntos ingenua . Textos de pregrado en matemáticas. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-1645-0. ISBN . 978-0-387-90092-6.Sr. 0453532  .
4. Revisión de la teoría de conjuntos ingenua , Alfons Borgers (julio de 1969), Journal of Symbolic Logic 34 (2): 308, doi :10.2307/2271138.
5. Ewing, John H.; Gehring, Frederick W., eds. (1991), Paul Halmos: celebrando 50 años de matemáticas, Springer-Verlag , Entrevista de Halmos con Donald J. Albers, p. 16, ISBN 0-387-97509-8.
6. Drabbe, Jean (20 de enero de 1969). "Les axiomes de l'infini dans la théorie des ensembles sans axiome de substitution". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias de París . 268 : 137–138 . Consultado el 8 de septiembre de 2024 .