Nicolas Bourbaki ( francés: [nikɔla buʁbaki] ) es el seudónimo colectivo de un grupo de matemáticos, predominantemente ex alumnos franceses de la École normale supérieure (ENS). Fundado en 1934-1935, el grupo Bourbaki originalmente tenía la intención de preparar un nuevo libro de texto sobre análisis . Con el tiempo, el proyecto se volvió mucho más ambicioso y se convirtió en una gran serie de libros de texto publicados bajo el nombre de Bourbaki, destinados a tratar las matemáticas puras modernas . La serie se conoce colectivamente como Éléments de mathématique ( Elementos de las matemáticas ), la obra central del grupo. Los temas tratados en la serie incluyen teoría de conjuntos , álgebra abstracta , topología , análisis, grupos de Lie y álgebras de Lie .
Bourbaki se fundó como respuesta a los efectos de la Primera Guerra Mundial que provocó la muerte de una generación de matemáticos franceses; Como resultado, los jóvenes profesores universitarios se vieron obligados a utilizar textos anticuados. Mientras enseñaba en la Universidad de Estrasburgo , Henri Cartan se quejó ante su colega André Weil de la insuficiencia del material didáctico disponible, lo que llevó a Weil a proponer una reunión con otros en París para escribir colectivamente un libro de texto de análisis moderno. Los principales fundadores del grupo fueron Cartan, Claude Chevalley , Jean Delsarte , Jean Dieudonné y Weil; otros participaron brevemente durante los primeros años del grupo y la membresía ha cambiado gradualmente con el tiempo. Aunque los ex miembros discuten abiertamente su participación pasada con el grupo, Bourbaki tiene la costumbre de mantener en secreto su membresía actual.
El nombre del grupo deriva del general francés del siglo XIX Charles-Denis Bourbaki , quien tuvo una carrera de exitosas campañas militares antes de sufrir una dramática pérdida en la guerra franco-prusiana . [3] Por lo tanto, el nombre era familiar para los estudiantes franceses de principios del siglo XX. Weil recordó una broma de un estudiante de la ENS en la que un estudiante de último año se hacía pasar por profesor y presentaba un "teorema de Bourbaki"; el nombre fue adoptado más tarde.
El grupo Bourbaki celebra periódicamente conferencias privadas con el fin de redactar y ampliar los Éléments . Los temas se asignan a subcomités, los borradores se debaten y se requiere un acuerdo unánime antes de que un texto se considere apto para su publicación. Aunque lento y laborioso, el proceso da como resultado un trabajo que cumple con los estándares de rigor y generalidad del grupo. El grupo está también asociado al Séminaire Bourbaki , una serie regular de conferencias presentadas por miembros y no miembros del grupo, también publicadas y difundidas como documentos escritos. Bourbaki mantiene una oficina en la ENS. [4]
Nicolas Bourbaki fue influyente en las matemáticas del siglo XX, particularmente a mediados de siglo, cuando aparecían con frecuencia volúmenes de Éléments . El grupo se destaca entre los matemáticos por su presentación rigurosa y por introducir la noción de estructura matemática , una idea relacionada con el concepto más amplio e interdisciplinario de estructuralismo . [5] [6] [7] El trabajo de Bourbaki informó la Nueva Matemática , una tendencia en la educación matemática primaria durante la década de 1960. Aunque el grupo permanece activo, se considera que su influencia ha disminuido debido a la publicación poco frecuente de nuevos volúmenes de los Éléments . Sin embargo, desde 2012, el grupo ha publicado cuatro volúmenes nuevos (o significativamente revisados), el más reciente en 2023 (que trata la teoría espectral ). Además, se están preparando al menos tres volúmenes más.
Charles-Denis Sauter Bourbaki fue un general exitoso durante la era de Napoleón III , sirviendo en la Guerra de Crimea y otros conflictos. Sin embargo, durante la guerra franco-prusiana , Charles-Denis Bourbaki sufrió una gran derrota en la que el Armée de l'Est , bajo su mando, se retiró a través de la frontera suiza y fue desarmado. El general intentó suicidarse sin éxito. La dramática historia de su derrota fue conocida en la conciencia popular francesa después de su muerte. [8] [9]
A principios del siglo XX, la Primera Guerra Mundial afectó a europeos de todas las profesiones y clases sociales, incluidos matemáticos y estudiantes varones que lucharon y murieron en el frente. Por ejemplo, el matemático francés Gaston Julia , pionero en el estudio de los fractales , perdió la nariz durante la guerra y llevó una correa de cuero sobre la parte afectada de la cara durante el resto de su vida. Las muertes de estudiantes de la ENS provocaron una generación perdida en la comunidad matemática francesa; [10] la proporción estimada de estudiantes de matemáticas de la ENS (y de estudiantes franceses en general) que murieron en la guerra oscila entre un cuarto y la mitad, dependiendo de los intervalos de tiempo (c. 1900-1918, especialmente 1910-1916) y poblaciones consideradas. [11] [12] Además, el fundador de Bourbaki, André Weil, comentó en sus memorias El aprendizaje de un matemático que Francia y Alemania adoptaron enfoques diferentes con su intelectualidad durante la guerra: mientras Alemania protegía a sus jóvenes estudiantes y científicos, Francia los comprometía al frente. , debido a la cultura francesa del igualitarismo . [12]
Una generación sucesiva de estudiantes de matemáticas asistió a la ENS durante la década de 1920, incluidos Weil y otros, los futuros fundadores de Bourbaki. Durante su época de estudiante, Weil recordó una broma en la que un estudiante de último año, Raoul Husson , se hizo pasar por profesor y dio una conferencia de matemáticas, terminando con una pregunta: "Teorema de Bourbaki: debes demostrar lo siguiente... ." Weil también estaba al tanto de un truco similar alrededor de 1910 [3] en el que un estudiante afirmaba ser de la nación ficticia y empobrecida de "Poldevia" y solicitaba donaciones al público. [13] [14] Weil tenía un gran interés en los idiomas y la cultura india , habiendo aprendido sánscrito y leído el Bhagavad Gita . [15] [16] Después de graduarse de la ENS y obtener su doctorado, Weil trabajó como profesor en la Universidad Musulmana de Aligarh en India. Mientras estaba allí, Weil conoció al matemático Damodar Kosambi , quien estaba involucrado en una lucha de poder con uno de sus colegas. Weil sugirió que Kosambi escribiera un artículo con material atribuido a un tal "Bourbaki", para mostrar sus conocimientos a su colega. [17] Kosambi aceptó la sugerencia y atribuyó el material discutido en el artículo al "poco conocido matemático ruso D. Bourbaki , que fue envenenado durante la Revolución". Fue el primer artículo en la literatura matemática con material atribuido al epónimo "Bourbaki". [18] [19] [20] La estancia de Weil en la India duró poco; Intentó renovar el departamento de matemáticas de Aligarh, sin éxito. [21] La administración de la universidad planeó despedir a Weil y promover a su colega Vijayaraghavan al puesto vacante. Sin embargo, Weil y Vijayaraghavan se respetaban mutuamente. En lugar de desempeñar algún papel en el drama, Vijayaraghavan renunció y luego informó a Weil del plan. [22] Weil regresó a Europa para buscar otro puesto docente. Terminó en la Universidad de Estrasburgo, donde se unió a su amigo y colega Henri Cartan. [23]
Durante su estancia juntos en Estrasburgo, Weil y Cartan se quejaban periódicamente de la insuficiencia del material didáctico disponible para la enseñanza de cálculo . En sus memorias Aprendizaje , Weil describió su solución en los siguientes términos: "Un día de invierno a finales de 1934, se me ocurrió una gran idea que pondría fin a estos incesantes interrogatorios de mi camarada. "Somos cinco o seis amigos. ", le dije un tiempo después, "que están a cargo del mismo plan de estudios de matemáticas en varias universidades. Unámonos todos y regulemos estas cuestiones de una vez por todas, y después de esto, seré liberado de estas cuestiones". No sabía que Bourbaki había nacido en ese instante". [23] Cartan confirmó el relato. [24]
La primera reunión no oficial del colectivo Bourbaki tuvo lugar el lunes 10 de diciembre de 1934 al mediodía en el Café Grill-Room A. Capoulade de París, en el Barrio Latino . [25] [26] [27] [28] [b] Estuvieron presentes seis matemáticos: Henri Cartan , Claude Chevalley , Jean Delsarte , Jean Dieudonné , René de Possel y André Weil . La mayor parte del grupo tenía su sede fuera de París y estaba en la ciudad para asistir al Seminario Julia, una conferencia preparada con la ayuda de Gaston Julia en la que se presentaron varios futuros miembros y asociados de Bourbaki. [30] [31] [c] El grupo resolvió escribir colectivamente un tratado sobre análisis, con el fin de estandarizar la enseñanza del cálculo en las universidades francesas. El proyecto estaba destinado especialmente a reemplazar el texto de Édouard Goursat , que el grupo consideró muy anticuado, y a mejorar su tratamiento del Teorema de Stokes . [27] [35] [36] [37] Los fundadores también estaban motivados por el deseo de incorporar ideas de la escuela de Gotinga , en particular de los exponentes Hilbert , Noether y BL van der Waerden . Además, después de la Primera Guerra Mundial, hubo un cierto impulso nacionalista para salvar a las matemáticas francesas del declive, especialmente en competencia con Alemania. Como afirmó Dieudonné en una entrevista: "Sin querer alardear, puedo decir que fue Bourbaki quien salvó a las matemáticas francesas de la extinción". [38]
Jean Delsarte se mostró particularmente favorable al aspecto colectivo del proyecto propuesto, observando que tal estilo de trabajo podría aislar el trabajo del grupo contra posibles reclamaciones individuales posteriores de derechos de autor . [35] [39] [d] Mientras se discutían varios temas, Delsarte también sugirió que el trabajo comenzara en los términos más abstractos y axiomáticos posibles, tratando todos los requisitos previos de las matemáticas para el análisis desde cero. [41] [42] El grupo estuvo de acuerdo con la idea, y esta área fundamental del trabajo propuesto se denominó "Paquete abstracto" (Paquet Abstrait). [43] [44] [45] Se adoptaron títulos de trabajo : el grupo se autodenominó Comité para el Tratado de Análisis , y su trabajo propuesto se llamó Tratado de Análisis ( Traité d'analyse ). [46] [47] En total, el colectivo celebró diez reuniones preliminares quincenales en A. Capoulade antes de su primera conferencia oficial de fundación en julio de 1935. [47] [48] Durante este primer período, Paul Dubreil , Jean Leray y Szolem Mandelbrojt se unió y participó. Dubreil y Leray abandonaron las reuniones antes del verano siguiente y fueron reemplazados respectivamente por los nuevos participantes Jean Coulomb y Charles Ehresmann . [46] [49]
La conferencia oficial de fundación del grupo se celebró en Besse-en-Chandesse , del 10 al 17 de julio de 1935. [50] [51] En el momento de la fundación oficial, la membresía estaba formada por los seis asistentes al primer almuerzo del 10 de diciembre de 1934. , junto con Coulomb, Ehresmann y Mandelbrojt. El 16 de julio, los socios dieron un paseo para aliviar el aburrimiento de procedimientos improductivos. Durante el malestar, algunos decidieron darse un baño desnudos en el cercano Lac Pavin , gritando repetidamente "¡Bourbaki!" [52] Al cierre de la primera conferencia oficial, el grupo se rebautizó a sí mismo como "Bourbaki", en referencia al general y la broma recordada por Weil y otros. [45] [e] Durante 1935, el grupo también resolvió establecer la personalidad matemática de su seudónimo colectivo mediante la publicación de un artículo con su nombre. [50] [54] Hubo que decidir un nombre; Se requería un nombre completo para la publicación de cualquier artículo. Para ello, Eveline, la esposa de René de Possel, "bautizó" el seudónimo con el nombre de Nicolas, convirtiéndose en la "madrina" de Bourbaki. [50] [55] [56] [57] Esto permitió la publicación de un segundo artículo con material atribuido a Bourbaki, esta vez bajo "su" propio nombre. [58] El padre de Henri Cartan, Élie Cartan , también matemático y partidario del grupo, presentó el artículo a los editores, quienes lo aceptaron. [54]
En el momento de la fundación de Bourbaki, René de Possel y su esposa Eveline estaban en proceso de divorcio. Eveline se volvió a casar con André Weil en 1937 y de Possel abandonó el colectivo Bourbaki algún tiempo después. Esta secuencia de eventos ha causado especulaciones de que De Possel abandonó el grupo debido al nuevo matrimonio, [59] sin embargo esta sugerencia también ha sido criticada como posiblemente históricamente inexacta, ya que se supone que De Possel permaneció activo en Bourbaki durante años después del matrimonio de André con Eveline. [60]
El trabajo de Bourbaki disminuyó significativamente durante la Segunda Guerra Mundial , aunque el grupo sobrevivió y luego floreció. Algunos miembros de Bourbaki eran judíos y, por tanto, se vieron obligados a huir de determinadas partes de Europa en determinados momentos. Weil, que era judío, pasó el verano de 1939 en Finlandia con su esposa Eveline, como invitados de Lars Ahlfors . Debido a su viaje cerca de la frontera, las autoridades finlandesas sospecharon que la pareja era espías soviéticos cerca del inicio de la Guerra de Invierno , y André fue arrestado más tarde. [61] Según una anécdota, Weil habría sido ejecutado si no hubiera sido por la mención pasajera de su caso a Rolf Nevanlinna , quien pidió que se conmutara la sentencia de Weil. [62] Sin embargo, la exactitud de este detalle es dudosa. [63] Weil llegó a los Estados Unidos en 1941, luego pasó otro período docente en São Paulo de 1945 a 1947 antes de establecerse en la Universidad de Chicago de 1947 a 1958 y finalmente en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton , donde pasó el resto de su vida. su carrera. Aunque Weil permaneció en contacto con el colectivo Bourbaki y visitó Europa y el grupo periódicamente después de la guerra, su nivel de participación con Bourbaki nunca volvió al nivel que tenía en el momento de la fundación.
Laurent Schwartz , miembro de Bourbaki de segunda generación, también era judío y encontró trabajo como profesor de matemáticas en la zona rural de Vichy, Francia . Moviéndose de pueblo en pueblo, Schwartz planificó sus movimientos para evadir la captura de los nazis . [64] En una ocasión, Schwartz se encontró atrapado durante la noche en cierta aldea, ya que el transporte que esperaba a casa no estaba disponible. Había dos posadas en el pueblo: una cómoda y bien equipada, y otra muy pobre, sin calefacción y con malas camas. El instinto de Schwartz le dijo que se quedara en la pobre posada; De la noche a la mañana, los nazis asaltaron la buena posada y dejaron la mala posada sin control. [sesenta y cinco]
Mientras tanto, Jean Delsarte, católico, fue movilizado en 1939 como capitán de una batería de reconocimiento sonoro. Se vio obligado a liderar la retirada de la unidad desde el noreste de Francia hacia el sur. Al pasar cerca de la frontera suiza, Delsarte escuchó a un soldado decir "Somos el ejército de Bourbaki"; [66] [67] Los franceses conocían la retirada del general del siglo XIX. Delsarte había liderado casualmente un retiro similar al del homónimo del colectivo.
Después de la guerra, Bourbaki solidificó el plan de su trabajo y adoptó una rutina productiva. Bourbaki publicó regularmente volúmenes de Éléments durante las décadas de 1950 y 1960, y disfrutó de su mayor influencia durante este período. [68] [69] Con el tiempo, los miembros fundadores abandonaron gradualmente el grupo, siendo reemplazados lentamente por recién llegados más jóvenes, incluidos Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck . Serre, Grothendieck y Laurent Schwartz recibieron la medalla Fields durante la posguerra, en 1954, 1966 y 1950 respectivamente. Los miembros posteriores Alain Connes y Jean-Christophe Yoccoz también recibieron la Medalla Fields, en 1982 y 1994 respectivamente. [70]
La práctica posterior de aceptar premios científicos contrastó con algunas de las opiniones de los fundadores. [71] Durante la década de 1930, Weil y Delsarte presentaron una petición contra un "sistema de medallas" científico nacional francés propuesto por el premio Nobel de física Jean Perrin . Weil y Delsarte sintieron que la institución de tal sistema aumentaría la mezquindad y los celos no constructivos en la comunidad científica. [72] A pesar de esto, el grupo Bourbaki había solicitado previamente a Perrin una subvención del gobierno para apoyar sus operaciones normales. [73] Al igual que los fundadores, Grothendieck también era reacio a los premios, aunque por razones pacifistas . Aunque Grothendieck recibió la Medalla Fields en 1966, se negó a asistir a la ceremonia en Moscú, en protesta contra el gobierno soviético. [74] En 1988, Grothendieck rechazó rotundamente el Premio Crafoord , citando la falta de necesidad personal de aceptar el premio en metálico, la falta de producción relevante reciente y la desconfianza general hacia la comunidad científica. [75]
Nacido de ascendencia anarquista judía , Grothendieck sobrevivió al Holocausto y avanzó rápidamente en la comunidad matemática francesa, a pesar de la mala educación durante la guerra. [76] Entre los maestros de Grothendieck se encontraban los fundadores de Bourbaki, por lo que se unió al grupo. Durante la membresía de Grothendieck, Bourbaki llegó a un punto muerto en cuanto a su enfoque fundacional. Grothendieck abogó por una reformulación del trabajo del grupo utilizando la teoría de categorías como base teórica, en contraposición a la teoría de conjuntos. La propuesta fue finalmente rechazada [77] [78] [79] en parte porque el grupo ya se había comprometido a seguir una vía rígida de presentación secuencial, con múltiples volúmenes ya publicados. A continuación, Grothendieck abandonó a Bourbaki "enojado". [37] [64] [80] Los biógrafos del colectivo han descrito la falta de voluntad de Bourbaki para empezar de nuevo en términos de teoría de categorías como una oportunidad perdida. [64] [81] [82] Sin embargo, Bourbaki anunció en 2023 que actualmente se está preparando un libro sobre teoría de categorías (ver más abajo el último párrafo de esta sección).
Durante el período de fundación, el grupo eligió al editor parisino Hermann para publicar entregas de Éléments . Hermann estaba dirigido por Enrique Freymann, un amigo de los fundadores dispuesto a publicar el proyecto del grupo, a pesar del riesgo financiero. Durante la década de 1970, Bourbaki entró en una prolongada batalla legal con Hermann por cuestiones de derechos de autor y pago de regalías . Aunque el grupo Bourbaki ganó la demanda y conservó los derechos de autor colectivos de los Éléments , la disputa ralentizó la productividad del grupo. [83] [84] El ex miembro Pierre Cartier describió la demanda como una victoria pírrica , diciendo: "Como es habitual en las batallas legales, ambas partes perdieron y el abogado se hizo rico". [64] Las ediciones posteriores de los Éléments fueron publicadas por Masson , y las ediciones modernas son publicadas por Springer . [85] Desde la década de 1980 hasta la de 2000, Bourbaki publicó con muy poca frecuencia, con el resultado de que en 1998 Le Monde declaró al colectivo "muerto". [86]
Sin embargo, en 2012 Bourbaki reanudó la publicación de los Éléments con un capítulo 8 revisado de álgebra, los primeros 4 capítulos de un nuevo libro sobre topología algebraica y dos volúmenes sobre teoría espectral (el primero de los cuales es una versión ampliada y revisada del edición de 1967 mientras que la última consta de tres nuevos capítulos). Además, el texto de los dos últimos volúmenes anuncia que actualmente se están preparando libros sobre teoría de categorías y formas modulares (además de la última parte del libro sobre topología algebraica). [87] [88]
Bourbaki celebra conferencias periódicas con el fin de ampliar los Éléments ; Estas conferencias son la actividad central de la vida laboral del grupo. A los subcomités se les asigna la tarea de redactar borradores sobre material específico, y luego los borradores se presentan, se debaten vigorosamente y se vuelven a redactar en las conferencias. Se requiere un acuerdo unánime antes de que cualquier material se considere aceptable para su publicación. [90] [91] [92] Una determinada pieza de material puede requerir seis o más borradores durante un período de varios años, y algunos borradores nunca se convierten en un trabajo completo. [91] [93] Por lo tanto, el proceso de escritura de Bourbaki ha sido descrito como " Sísifo ". [92] Aunque el método es lento, produce un producto final que satisface los estándares del grupo en materia de rigor matemático , una de las principales prioridades de Bourbaki en el tratado. El énfasis de Bourbaki en el rigor fue una reacción al estilo de Henri Poincaré , quien destacó la importancia de una intuición matemática fluida a costa de una presentación minuciosa. [f] Durante los primeros años del proyecto, Dieudonné sirvió como escriba del grupo, y fue autor de varios borradores finales que finalmente se publicaron. Para ello, Dieudonné adoptó un estilo de escritura impersonal , que no era el suyo, pero que utilizó para elaborar material aceptable para todo el grupo. [94] [95] Dieudonné reservó su estilo personal para su propio trabajo; Como todos los miembros de Bourbaki, Dieudonné también publicó material bajo su propio nombre, [96] incluido los nueve volúmenes Éléments d'analyse , una obra centrada explícitamente en el análisis y una pieza con las intenciones iniciales de Bourbaki.
La mayoría de los borradores finales de Éléments de Bourbaki evitaron cuidadosamente el uso de ilustraciones, favoreciendo una presentación formal basada únicamente en texto y fórmulas. Una excepción a esto fue el tratamiento de los grupos de Lie y las álgebras de Lie (especialmente en los capítulos 4 a 6), que sí utilizaron diagramas e ilustraciones. La inclusión de la ilustración en esta parte de la obra se debió a Armand Borel . Borel era una minoría suiza en un colectivo mayoritariamente francés y se autocríticaba como "el campesino suizo", explicando que el aprendizaje visual era importante para el carácter nacional suizo. [64] [97] Cuando se le preguntó sobre la falta de ilustraciones en la obra, el ex miembro Pierre Cartier respondió:
Los Bourbaki eran puritanos , y los puritanos se oponen firmemente a las representaciones pictóricas de las verdades de su fe. El número de protestantes y judíos en el grupo Bourbaki era abrumador. Y ustedes saben que los protestantes franceses, especialmente, son muy cercanos a los judíos en espíritu.
—Pierre Cartier [64]
Históricamente, las conferencias se han celebrado en zonas rurales tranquilas. [98] Estos lugares contrastan con los debates animados, a veces acalorados, que han tenido lugar. Laurent Schwartz informó de un episodio en el que Weil golpeó a Cartan en la cabeza con una corriente de aire. El propietario del hotel vio el incidente y supuso que el grupo se separaría, pero, según Schwartz, "la paz se restableció en diez minutos". [99] El estilo histórico y confrontativo de debate dentro de Bourbaki se ha atribuido en parte a Weil, quien creía que las nuevas ideas tienen más posibilidades de nacer en la confrontación que en una discusión ordenada. [91] [99] Schwartz relató otro incidente ilustrativo: Dieudonné insistió en que los espacios vectoriales topológicos deben aparecer en el trabajo antes de la integración , y cada vez que alguien sugería que se invirtiera el orden, amenazaba en voz alta con su renuncia. Esto se convirtió en una broma interna entre el grupo; Sonia, la esposa de Roger Godement , asistió a una conferencia, consciente de la idea, y pidió pruebas. Cuando Sonia llegó a una reunión, un miembro sugirió que la integración debe aparecer antes que los espacios vectoriales topológicos, lo que desencadenó la reacción habitual de Dieudonné. [99]
A pesar de la cultura histórica de discusiones acaloradas, Bourbaki prosperó a mediados del siglo XX. La capacidad de Bourbaki para mantener un enfoque tan colectivo y crítico ha sido descrita como "algo inusual", [100] sorprendiendo incluso a sus propios miembros. En palabras del fundador Henri Cartan: "Que se pueda obtener un producto final es una especie de milagro que ninguno de nosotros puede explicar". [101] [102] Se ha sugerido que el grupo sobrevivió porque sus miembros creían firmemente en la importancia de su proyecto colectivo, a pesar de las diferencias personales. [91] [103] Cuando el grupo superaba dificultades o desarrollaba una idea que les gustaba, a veces decían l'esprit a soufflé ("el espíritu respira"). [91] [104] La historiadora Liliane Beaulieu señaló que el "espíritu", que podría ser un avatar , la mentalidad del grupo en acción o Bourbaki "él mismo", era parte de una cultura y mitología internas que el grupo utilizaba para formar su identidad. y realizar trabajos. [105]
El humor ha sido un aspecto importante de la cultura del grupo, comenzando con los recuerdos de Weil de las bromas estudiantiles que involucraban a "Bourbaki" y "Poldevia". Por ejemplo, en 1939 el grupo publicó un anuncio de boda para el matrimonio de "Betti Bourbaki" (hija de Nicolas) con un tal " H. Pétard " (H. "Firecrackers" o "Hector Pétard"), un "cazador de leones". [106] Héctor Pétard era en sí mismo un seudónimo, pero no uno acuñado originalmente por los miembros de Bourbaki. El apodo de Pétard fue originado por Ralph P. Boas , Frank Smithies y otros matemáticos de Princeton que estaban al tanto del proyecto Bourbaki; Inspirándose en ellos, los matemáticos de Princeton publicaron un artículo sobre las "matemáticas de la caza del león". Después de conocer a Boas y Smithies, Weil compuso el anuncio de la boda, que contenía varios juegos de palabras matemáticos. [107] El boletín interno de Bourbaki, La Tribu, a veces se ha publicado con subtítulos humorísticos para describir una conferencia determinada, como "El Congreso Extraordinario de Viejos Fogies" (donde cualquier persona mayor de 30 años era considerado un fogy) o "El Congreso de la Motorización de el asno al trote" (una expresión utilizada para describir el desarrollo rutinario de una prueba o proceso matemático). [108] [109]
Durante las décadas de 1940 y 1950, [110] [111] la Sociedad Estadounidense de Matemáticas recibió solicitudes de membresía individual de Bourbaki. Fueron rechazados por JR Kline , quien entendió que la entidad era un colectivo, invitándolos a volver a solicitar la membresía institucional. En respuesta, Bourbaki hizo correr el rumor de que Ralph Boas no era una persona real, sino un seudónimo colectivo de los editores de Mathematical Reviews al que Boas había estado afiliado. La razón para atacar a Boas fue porque había conocido al grupo en sus primeros días, cuando eran menos estrictos con el secreto, y los había descrito como un colectivo en un artículo para la Encyclopædia Britannica . [112] En noviembre de 1968, durante uno de los seminarios se publicó un falso obituario de Nicolas Bourbaki. [113] [114]
El grupo desarrolló algunas variantes de la palabra "Bourbaki" para uso interno. El sustantivo "Bourbaki" podría referirse al grupo propiamente dicho o a un miembro individual, por ejemplo, "André Weil era un Bourbaki". "Bourbakist" se utiliza a veces para referirse a los miembros [37] pero también denota asociados, partidarios y entusiastas. [115] [116] "bourbakizar" significaba tomar un texto existente deficiente y mejorarlo mediante un proceso de edición. [93]
La cultura del humor de Bourbaki ha sido descrita como un factor importante en la cohesión social del grupo y su capacidad para sobrevivir, suavizando las tensiones del acalorado debate. [117] A partir de 2024, una cuenta de Twitter registrada en "Betty_Bourbaki" proporciona actualizaciones periódicas sobre la actividad del grupo. [118]
El trabajo de Bourbaki incluye una serie de libros de texto, una serie de apuntes de conferencias impresos, artículos de revistas y un boletín interno. La serie de libros de texto Éléments de mathématique (Elementos de las matemáticas) es el trabajo central del grupo. El Séminaire Bourbaki es un ciclo de conferencias que se celebra periódicamente bajo los auspicios del grupo, y las charlas impartidas también se publican como apuntes. Se han publicado artículos de revistas con autoría atribuida a Bourbaki, y el grupo publica un boletín interno La Tribu que se distribuye a miembros actuales y anteriores . [119] [120]
Al igual que sus predecesores, Bourbaki insistió en situar las matemáticas en un “lenguaje formalizado” con deducciones muy claras basadas en estrictas reglas formales. Cuando Bertrand Russell y Alfred North Whitehead aplicaron este enfoque a principios del siglo XX, llenaron más de 700 páginas con símbolos formales antes de establecer la proposición generalmente abreviada como 1+1=2 . El formalismo de Bourbaki eclipsaría incluso esto, ya que se necesitarían unos 4,5 billones de símbolos sólo para definir el número 1 . [121]
Michael Barany [122]
El contenido de los Éléments se divide en libros —principales temas de discusión, volúmenes —libros individuales, físicos y capítulos , junto con ciertos resúmenes de resultados, notas históricas y otros detalles. Los volúmenes de los Éléments han tenido una historia de publicación compleja. El material ha sido revisado para nuevas ediciones, publicado cronológicamente fuera de su secuencia lógica prevista, agrupado y dividido de manera diferente en volúmenes posteriores y traducido al inglés. Por ejemplo, el segundo libro sobre álgebra se publicó originalmente en ocho volúmenes franceses: el primero en 1942 era solo el capítulo 1 y el último en 1980 era solo el capítulo 10. Esta presentación se condensó posteriormente en cinco volúmenes, siendo los capítulos 1 a 3 en el primer volumen, los capítulos 4 a 7 en el segundo y los capítulos 8 a 10 cada uno de los volúmenes tercero a quinto de esa parte de la obra. [119] La edición en inglés de Bourbaki's Algebra consta de traducciones de los tres volúmenes que constan de los capítulos 1 a 3, 4 a 7 y 8, y los capítulos 9 y 10 no estarán disponibles en inglés a partir de 2024.
Cuando los fundadores de Bourbaki comenzaron a trabajar en los Éléments , originalmente lo concibieron como un "tratado sobre análisis", teniendo la obra propuesta un título provisional del mismo nombre ( Traité d'analyse ). La parte inicial trataba de abordar de manera integral los fundamentos de las matemáticas antes del análisis, y se denominó "Paquete abstracto". Con el tiempo, los miembros desarrollaron esta "sección inicial" propuesta del trabajo hasta el punto de que abarcaría varios volúmenes y comprendería la mayor parte del trabajo, cubriendo teoría de conjuntos, álgebra abstracta y topología. Una vez que el alcance del proyecto se expandió mucho más allá de su propósito original, el título provisional Traité d'analyse se abandonó en favor de Éléments de mathématique . [45] El inusual y singular "Matemática" pretendía connotar la creencia de Bourbaki en la unidad de las matemáticas. [123] [124] [125] Los primeros seis libros de los Éléments , que representan la primera mitad de la obra, están numerados secuencialmente y ordenados lógicamente, y una declaración determinada se establece sólo sobre la base de resultados anteriores. [126] Esta primera mitad del trabajo llevaba el subtítulo Les Structures fondamentales de l'analyse ( Estructuras fundamentales del análisis ), [119] [127] [128] que cubría matemáticas establecidas (álgebra, análisis) en el estilo del grupo. La segunda mitad del trabajo consta de libros innumerables que tratan áreas modernas de investigación (grupos de Lie, álgebra conmutativa), cada uno de los cuales presupone la primera mitad como una base compartida pero sin dependencia mutua. Esta segunda mitad del trabajo, que consta de temas de investigación más recientes, no tiene subtítulo correspondiente.
Los volúmenes de los Éléments publicados por Hermann estaban indexados por cronología de publicación y denominados fascículos : entregas de una obra de gran tamaño. Algunos volúmenes no contenían las definiciones, pruebas y ejercicios normales de un libro de texto de matemáticas, sino que contenían sólo resúmenes de los resultados de un tema determinado, expresados sin pruebas. Estos volúmenes fueron denominados Fascicules de résultats , con el resultado de que fascicule puede referirse a un volumen de la edición de Hermann, o a una de las secciones de "resumen" de la obra (por ejemplo, Fascicules de résultats se traduce como "Resumen de resultados" en lugar de (en lugar de "Cuota de Resultados", refiriéndose al contenido y no a un volumen específico). [g] El primer volumen de Éléments de Bourbaki que se publicó fue el Resumen de resultados en la teoría de conjuntos , en 1939. [64] [119] [131] De manera similar, uno de los libros posteriores de la obra, Colectores diferenciales y analíticos , consistía únicamente de dos volúmenes de resúmenes de resultados, sin que se haya publicado ningún capítulo de contenido.
Las entregas posteriores de Éléments aparecieron con poca frecuencia durante las décadas de 1980 y 1990. En 1983 se publicó un volumen de Álgebra conmutativa (capítulos 8 y 9), y no se publicaron otros volúmenes hasta la aparición del décimo capítulo del mismo libro en 1998. Durante la década de 2010, Bourbaki aumentó su productividad. En 2012 apareció una versión reescrita y ampliada del octavo capítulo de Álgebra , en 2016 se publicaron los primeros cuatro capítulos de un nuevo libro que trata la topología algebraica y en 2016 se publicaron los dos primeros capítulos de una edición revisada y ampliada de Teoría espectral . 2019, mientras que los tres capítulos restantes (completamente nuevos) aparecieron en 2023.
El Séminaire Bourbaki se celebra regularmente desde 1948 y las conferencias son presentadas por miembros y no miembros del colectivo. En 2024, el Séminaire Bourbaki ha contado con más de mil conferencias grabadas en su encarnación escrita, indicadas cronológicamente mediante números simples. [140] En el momento de una conferencia dada en junio de 1999 por Jean-Pierre Serre sobre el tema de los grupos de Lie, el total de conferencias dadas en la serie ascendía a 864, correspondientes a aproximadamente 10.000 páginas de material impreso. [141]
Han aparecido varios artículos de revistas en la literatura matemática con material o autoría atribuida a Bourbaki; a diferencia de los Éléments , normalmente fueron escritos por miembros individuales [119] y no elaborados mediante el proceso habitual de consenso grupal. A pesar de esto, el ensayo de Jean Dieudonné "La arquitectura de las matemáticas" ha pasado a ser conocido como el manifiesto de Bourbaki . [142] [143] Dieudonné abordó la cuestión de la sobreespecialización en matemáticas, a la que se opuso a la unidad inherente de las matemáticas (a diferencia de las matemáticas) y propuso estructuras matemáticas como herramientas útiles que pueden aplicarse a varias materias, mostrando sus características comunes. [144] Para ilustrar la idea, Dieudonné describió tres sistemas diferentes en aritmética y geometría y demostró que todos podían describirse como ejemplos de un grupo , un tipo específico de estructura ( algebraica ). [145] Dieudonné describió el método axiomático como "el ' sistema de Taylor ' para las matemáticas" en el sentido de que podría usarse para resolver problemas de manera eficiente. [146] [i] Tal procedimiento implicaría identificar estructuras relevantes y aplicar el conocimiento establecido sobre la estructura dada al problema específico en cuestión. [146]
{{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda ) Kosambi atribuyó material en el artículo a "D. Bourbaki", la primera mención del epónimo Bourbaki en la literatura.La Tribu es el boletín interno de Bourbaki, distribuido a miembros actuales y anteriores. El boletín suele documentar conferencias y actividades recientes de una manera informal y humorística, y a veces incluye poesía. [147] El miembro Pierre Samuel escribió las secciones narrativas del boletín durante varios años. [148] Bourbaki ha puesto a disposición del público las primeras ediciones de La Tribu y documentos relacionados. [33]
La historiadora Liliane Beaulieu examinó La Tribu y otros escritos de Bourbaki, describiendo el humor y el lenguaje privado del grupo como un "arte de la memoria" que es específico del grupo y sus métodos de operación elegidos. [149] Debido al secreto y la organización informal del grupo, los recuerdos individuales a veces se registran de forma fragmentaria y pueden no tener importancia para otros miembros. [150] Por otro lado, los antecedentes predominantemente franceses de ENS de los miembros, junto con las historias del período inicial y los éxitos del grupo, crean una cultura y una mitología compartidas que se basan en la identidad del grupo. La Tribu generalmente enumera a los miembros presentes en una conferencia, junto con los visitantes, familiares u otros amigos presentes. Las descripciones humorísticas de la ubicación o los "accesorios" locales (automóviles, bicicletas, binoculares, etc.) también pueden servir como dispositivos mnemotécnicos . [108]
En 2000, Bourbaki tenía "unos cuarenta" miembros. [151] Históricamente, el grupo ha contado entre diez [152] y doce [64] miembros en un momento dado, aunque estuvo breve (y oficialmente) limitado a nueve miembros en el momento de su fundación. [47] La membresía de Bourbaki se ha descrito en términos de generaciones:
Bourbaki siempre fue un grupo muy pequeño de matemáticos, que normalmente contaba con unas doce personas. Su primera generación fue la de los padres fundadores, los que crearon el grupo en 1934: Weil, Cartan, Chevalley, Delsarte, de Possel y Dieudonné. Otros se unieron al grupo y otros abandonaron sus filas, de modo que algunos años más tarde había unos doce miembros, y ese número se mantuvo más o menos constante. Laurent Schwartz fue el único matemático que se unió a Bourbaki durante la guerra, por lo que se considera una generación intermedia. Después de la guerra, se unieron varios miembros: Jean-Pierre Serre , Pierre Samuel , Jean-Louis Koszul , Jacques Dixmier , Roger Godement y Sammy Eilenberg . Estas personas constituyeron la segunda generación de Bourbaki. En la década de 1950, la tercera generación de matemáticos se unió a Bourbaki. Entre estas personas se encontraban Alexandre Grothendieck , François Bruhat , Serge Lang , el matemático estadounidense John Tate , Pierre Cartier y el matemático suizo Armand Borel . [64] [153]
Después de las tres primeras generaciones, hubo aproximadamente veinte miembros posteriores, sin incluir a los participantes actuales. Bourbaki tiene la costumbre de mantener en secreto su membresía actual, una práctica destinada a garantizar que su producción se presente como un esfuerzo colectivo y unificado bajo el seudónimo de Bourbaki, no atribuible a ningún autor (por ejemplo, para fines de derechos de autor o pago de regalías). Este secreto también tiene como objetivo disuadir la atención no deseada que podría alterar las operaciones normales. Sin embargo, los ex miembros discuten libremente las prácticas internas de Bourbaki tras su salida. [64] [154]
Los posibles miembros son invitados a conferencias y son tratados como conejillos de indias , un proceso destinado a examinar la capacidad matemática del recién llegado. [64] [155] En caso de acuerdo entre el grupo y el cliente potencial, el cliente potencial eventualmente se convierte en miembro de pleno derecho. [j] Se supone que el grupo tiene un límite de edad: se espera que los miembros activos se jubilen a los 50 años (o alrededor de ellos). [64] [92] En una conferencia de 1956, Cartan leyó una carta de Weil que proponía una "desaparición gradual" de los miembros fundadores, obligando a los miembros más jóvenes a asumir la responsabilidad total de las operaciones de Bourbaki. [37] [160] Se supone que esta regla resultó en un cambio completo de personal en 1958. [55] Sin embargo, la historiadora Liliane Beaulieu ha criticado la afirmación. Refirió nunca haber encontrado afirmación escrita de la regla, [161] y ha señalado que ha habido excepciones. [162] Se cree que el límite de edad expresa la intención de los fundadores de que el proyecto continúe indefinidamente, operado por personas con su mejor capacidad matemática; en la comunidad matemática, existe una creencia generalizada de que los matemáticos producen su mejor trabajo cuando son jóvenes. [160] [163] Entre los miembros de pleno derecho no existe una jerarquía oficial; todos operan como iguales y tienen la capacidad de interrumpir los procedimientos de la conferencia en cualquier momento o cuestionar cualquier material presentado. Sin embargo, André Weil ha sido descrito como "primero entre iguales" durante el período de fundación y se le mostró cierta deferencia. [164] Por otro lado, el grupo también se ha burlado de la idea de que los miembros mayores deberían recibir un mayor respeto. [165]
A las conferencias de Bourbaki también han asistido familiares de los miembros, amigos, matemáticos visitantes y otras personas que no son miembros del grupo. [k] No se sabe que Bourbaki haya tenido miembros femeninos. [92] [152]
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Bourbaki fue influyente en las matemáticas del siglo XX y tuvo cierto impacto interdisciplinario en las humanidades y las artes, aunque el alcance de esta última influencia es motivo de controversia. El grupo ha sido elogiado y criticado por su método de presentación, su estilo de trabajo y su elección de temas matemáticos.
Bourbaki introdujo varias notaciones matemáticas que siguen en uso. Weil tomó la letra Ø del alfabeto noruego y la usó para indicar el conjunto vacío . [175] Esta notación apareció por primera vez en el Resumen de resultados sobre la teoría de conjuntos , [176] y sigue en uso. Las palabras inyectiva , sobreyectiva y biyectiva se introdujeron para referirse a funciones que satisfacen ciertas propiedades. [177] [178] Bourbaki usó un lenguaje simple para ciertos objetos geométricos, nombrándolos pavés ( adoquines ) y petancas ( bolas ) en lugar de " paralelotopos " o " hiperesferoides ". [179] De manera similar, en su tratamiento de los espacios vectoriales topológicos, Bourbaki definió un barril como un conjunto convexo , equilibrado , absorbente y cerrado . [180] El grupo estaba orgulloso de esta definición, creyendo que la forma de un barril de vino tipificaba las propiedades del objeto matemático. [181] [182] Bourbaki también empleó un símbolo de " curva peligrosa " ☡ en los márgenes de su texto para indicar una pieza de material especialmente difícil. Bourbaki disfrutó de su mayor influencia durante las décadas de 1950 y 1960, cuando se publicaron con frecuencia entregas de los Éléments .
Bourbaki tuvo cierta influencia interdisciplinaria en otros campos, incluida la antropología y la psicología . Esta influencia se produjo en el contexto del estructuralismo , una escuela de pensamiento en humanidades que enfatiza las relaciones entre los objetos sobre los objetos mismos, seguida en diversos campos por otros intelectuales franceses. En 1943, André Weil conoció al antropólogo Claude Lévi-Strauss en Nueva York, donde ambos entablaron una breve colaboración. A petición de Lévi-Strauss, Weil escribió un breve apéndice que describe las reglas matrimoniales para cuatro clases de personas dentro de la sociedad aborigen australiana , utilizando un modelo matemático basado en la teoría de grupos . [5] [183] El resultado se publicó como apéndice en Estructuras elementales de parentesco de Lévi-Strauss , una obra que examina las estructuras familiares y el tabú del incesto en las culturas humanas. [184] En 1952, Jean Dieudonné y Jean Piaget participaron en una conferencia interdisciplinaria sobre estructuras matemáticas y mentales. Dieudonné describió las "estructuras madre" matemáticas en términos del proyecto de Bourbaki: composición, vecindad y orden. [185] Piaget luego dio una charla sobre los procesos mentales de los niños y consideró que los conceptos psicológicos que acababa de describir eran muy similares a los matemáticos que acababa de describir Dieudonné. [186] [187] Según Piaget, los dos estaban "impresionados el uno con el otro". [188] Al psicoanalista Jacques Lacan le gustó el estilo de trabajo colaborativo de Bourbaki y propuso un grupo colectivo similar en psicología, idea que no se materializó. [189]
Bourbaki también fue citado por filósofos posestructuralistas . En su obra conjunta Anti-Edipo , Gilles Deleuze y Félix Guattari presentaron una crítica al capitalismo . Los autores citaron el uso que hace Bourbaki del método axiomático (con el propósito de establecer la verdad) como un contraejemplo distinto de los procesos de gestión que, en cambio, buscan la eficiencia económica . Los autores dijeron de las axiomáticas de Bourbaki que "no forman un sistema de Taylor", invirtiendo la frase utilizada por Dieudonné en "La arquitectura de las matemáticas". [146] [190] En La condición posmoderna , Jean-François Lyotard criticó la "legitimación del conocimiento", el proceso mediante el cual las declaraciones se aceptan como válidas. Como ejemplo, Lyotard citó a Bourbaki como un grupo que produce conocimiento dentro de un sistema dado de reglas. [191] [192] Lyotard contrastó las matemáticas jerárquicas y "estructuralistas" de Bourbaki con la teoría de la catástrofe de René Thom y los fractales de Benoit Mandelbrot , [s] expresando preferencia por esta última "ciencia posmoderna" que problematizaba las matemáticas con "fracta, catástrofes, y paradojas pragmáticas". [191] [192]
Aunque el biógrafo Amir Aczel destacó la influencia de Bourbaki en otras disciplinas a mediados del siglo XX, Maurice Mashaal moderó las afirmaciones de la influencia de Bourbaki en los siguientes términos:
Si bien las estructuras de Bourbaki fueron mencionadas a menudo en conferencias y publicaciones de ciencias sociales de la época, parece que no jugaron un papel real en el desarrollo de estas disciplinas. David Aubin, un historiador de la ciencia que analizó el papel de Bourbaki en el movimiento estructuralista en Francia, cree que el papel de Bourbaki fue el de un "conector cultural". [194] Según Aubin, si bien Bourbaki no tenía ninguna misión fuera de las matemáticas, el grupo representaba una especie de vínculo entre los diversos movimientos culturales de la época. Bourbaki proporcionó una definición simple y relativamente precisa de conceptos y estructuras, que los filósofos y científicos sociales creían que era fundamental dentro de sus disciplinas y como puente entre diferentes áreas del conocimiento. A pesar de la naturaleza superficial de estos vínculos, las diversas escuelas de pensamiento estructuralista, incluida Bourbaki, pudieron apoyarse mutuamente. Por lo tanto, no es una coincidencia que estas escuelas sufrieran un declive simultáneo a finales de los años sesenta.
— Maurice Mashaal, citando a David Aubin [187] [t] [u]
También se criticó el impacto del "estructuralismo" en las propias matemáticas. El historiador matemático Leo Corry argumentó que el uso de estructuras matemáticas por parte de Bourbaki no era importante dentro de los Éléments , ya que se estableció en la Teoría de conjuntos y se citó con poca frecuencia después. [199] [200] [201] [202] Corry describió la visión "estructural" de las matemáticas promovida por Bourbaki como una "imagen del conocimiento", una concepción sobre una disciplina científica, en contraposición a un elemento del "cuerpo de conocimientos" de la disciplina. conocimiento", que se refiere a los resultados científicos reales en la propia disciplina. [200]
Bourbaki también tuvo cierta influencia en las artes. El colectivo literario Oulipo se fundó el 24 de noviembre de 1960 en circunstancias similares a la fundación de Bourbaki, y los miembros se reunieron inicialmente en un restaurante. Aunque varios miembros de Oulipo eran matemáticos, el propósito del grupo era crear literatura experimental jugando con el lenguaje. Oulipo empleaba con frecuencia técnicas de escritura restringida basadas en matemáticas , como el método S+7 . Raymond Queneau , miembro de Oulipo, asistió a una conferencia de Bourbaki en 1962. [187] [203]
En 2016, un grupo anónimo de economistas escribió en colaboración una nota alegando mala conducta académica por parte de los autores y el editor de un artículo publicado en American Economic Review . [204] [205] La nota fue publicada con el nombre de Nicolas Bearbaki en homenaje a Nicolas Bourbaki. [206]
En 2018, el dúo musical estadounidense Twenty One Pilots lanzó un álbum conceptual llamado Trench . El marco conceptual del álbum fue la mítica ciudad de "Dema" gobernada por nueve "obispos"; uno de los obispos se llamaba "Nico", abreviatura de Nicolas Bourbaki. Otro de los obispos se llamó André, que puede referirse a André Weil. Tras el lanzamiento del álbum, hubo un aumento en las búsquedas en Internet de "Nicolas Bourbaki". [37] [v]
El trabajo de Bourbaki ha sido elogiado por algunos matemáticos. En una reseña de un libro, Emil Artin describió los Éléments en términos amplios y positivos:
Nuestro tiempo asiste a la creación de una obra monumental: una exposición de toda la matemática actual. Además, esta exposición se hace de tal manera que el vínculo común entre las diversas ramas de las matemáticas se vuelve claramente visible, que el marco que sostiene toda la estructura no tiende a volverse obsoleto en muy poco tiempo y que puede absorber fácilmente nuevas ideas.
— Emil Artín [133]
Entre los volúmenes de Éléments , el trabajo de Bourbaki sobre grupos de Lie y álgebras de Lie ha sido identificado como "excelente", [195] habiéndose convertido en una referencia estándar sobre el tema. En particular, el ex miembro Armand Borel describió el volumen con los capítulos 4 a 6 como "uno de los libros de mayor éxito de Bourbaki". [208] El éxito de esta parte del trabajo se ha atribuido al hecho de que los libros fueron compuestos mientras los principales expertos en el tema eran miembros Bourbaki. [64] [209]
Jean-Pierre Bourguignon expresó su aprecio por el Séminaire Bourbaki, diciendo que había aprendido mucho material en sus conferencias y consultaba regularmente sus apuntes impresos. [210] También elogió los Éléments por contener "algunas pruebas magníficas y muy inteligentes". [211]
Bourbaki también ha sido criticado por varios matemáticos (incluidos sus propios antiguos miembros) por diversas razones. Las críticas han incluido la elección de la presentación de ciertos temas dentro de los Éléments a expensas de otros, [w] disgusto por el método de presentación de temas determinados, disgusto por el estilo de trabajo del grupo y una mentalidad elitista percibida en torno al proyecto de Bourbaki y sus libros. , especialmente durante los años más productivos del colectivo en las décadas de 1950 y 1960.
Las deliberaciones de Bourbaki sobre los Éléments dieron como resultado la inclusión de algunos temas, mientras que otros no fueron tratados. Cuando se le preguntó en una entrevista de 1997 sobre temas excluidos de los Éléments , el ex miembro Pierre Cartier respondió:
Básicamente, no hay ningún análisis más allá de los fundamentos: nada sobre ecuaciones diferenciales parciales , nada sobre probabilidad . Tampoco hay nada sobre combinatoria , nada sobre topología algebraica , [x] nada sobre geometría concreta . Y Bourbaki nunca consideró seriamente la lógica . El propio Dieudonné se mostró muy contrario a la lógica. Todo lo relacionado con la física matemática está totalmente ausente en el texto de Bourbaki.
—Pierre Cartier [64]
Aunque Bourbaki había decidido tratar las matemáticas desde sus fundamentos, la solución final del grupo en términos de teoría de conjuntos estuvo acompañada de varios problemas. Los miembros de Bourbaki eran matemáticos y no lógicos y, por lo tanto, el colectivo tenía un interés limitado en la lógica matemática . [93] Como dijeron los propios miembros de Bourbaki sobre el libro sobre teoría de conjuntos, fue escrito "con dolor y sin placer, pero teníamos que hacerlo". [214] Dieudonné comentó personalmente en otro lugar que al noventa y cinco por ciento de los matemáticos "no les importa un comino" la lógica matemática. [215] En respuesta, el lógico Adrian Mathias criticó duramente el marco fundacional de Bourbaki, señalando que no tenía en cuenta los resultados de Gödel . [216] [217]
Bourbaki también influyó en la Nueva Matemática, una reforma fallida [218] en la educación matemática occidental en los niveles elemental y secundario, que enfatizaba la abstracción sobre los ejemplos concretos. A mediados del siglo XX, la reforma de la educación matemática básica fue impulsada por la necesidad percibida de crear una fuerza laboral con conocimientos matemáticos para la economía moderna y también de competir con la Unión Soviética . En Francia, esto condujo a la Comisión Lichnerowicz de 1967, encabezada por André Lichnerowicz y que incluía a algunos (entonces actuales y anteriores) miembros de Bourbaki. Aunque los miembros de Bourbaki habían reformado previamente (e individualmente) la enseñanza de matemáticas a nivel universitario, tuvieron una participación menos directa en la implementación de la Nueva Matemática en los niveles primario y secundario. Las nuevas reformas matemáticas dieron como resultado un material educativo incomprensible tanto para los estudiantes como para los profesores, y no satisfacían las necesidades cognitivas de los estudiantes más jóvenes. El intento de reforma fue duramente criticado por Dieudonné y también por el breve miembro fundador de Bourbaki, Jean Leray. [219] Además de los matemáticos franceses, las reformas francesas también recibieron duras críticas del matemático de origen soviético Vladimir Arnold , quien argumentó que en su época como estudiante y profesor en Moscú, la enseñanza de las matemáticas estaba firmemente arraigada en el análisis y la geometría. y entrelazado con problemas de la mecánica clásica; por tanto, las reformas francesas no pueden ser un intento legítimo de emular la educación científica soviética. En 1997, mientras hablaba en una conferencia sobre enseñanza de matemáticas en París, comentó sobre Bourbaki afirmando: "los verdaderos matemáticos no se agrupan, pero los débiles necesitan pandillas para sobrevivir". y sugirió que el vínculo de Bourbaki por la "súper abstracción" era similar al de grupos de matemáticos del siglo XIX que se habían unido por el antisemitismo. [220]
Dieudonné lamentó más tarde que el éxito de Bourbaki hubiera contribuido a un esnobismo hacia las matemáticas puras en Francia, a expensas de las matemáticas aplicadas . En una entrevista, dijo: "Se puede decir que no hubo matemáticas aplicadas serias en Francia durante cuarenta años después de Poincaré. Había incluso un esnobismo por las matemáticas puras. Cuando uno se fijaba en un estudiante talentoso, le decía: '¿Tú?' Debería hacer matemáticas puras. Por otro lado, se aconsejaría a un estudiante mediocre que hiciera matemáticas aplicadas mientras pensaba: "¡Es todo lo que puede hacer! ... La verdad es, en realidad, todo lo contrario. No se puede hacer un buen trabajo en matemáticas aplicadas hasta que se pueda hacer un buen trabajo en matemáticas puras." [221] Claude Chevalley confirmó una cultura elitista dentro de Bourbaki, describiéndola como "una certeza absoluta de nuestra superioridad sobre otros matemáticos". [93 ] Alexander Grothendieck también confirmó una mentalidad elitista dentro de Bourbaki. [79] Algunos matemáticos, especialmente geómetras y matemáticos aplicados, encontraron la influencia de Bourbaki sofocante. [222] La decisión de Benoit Mandelbrot de emigrar a los Estados Unidos en 1958 fue motivada en parte por una deseo de escapar de la influencia de Bourbaki en Francia [223] .
Varias críticas relacionadas a los Éléments se han referido a su público objetivo y la intención de su presentación. Los volúmenes de los Éléments comienzan con una nota al lector que dice que la serie "aborda las matemáticas al principio y da pruebas completas" y que "el método de exposición que hemos elegido es axiomático y abstracto, y normalmente procede del conocimiento general". a lo particular." [224] A pesar del lenguaje inicial, el público objetivo de Bourbaki no son principiantes absolutos en matemáticas, sino estudiantes universitarios, estudiantes de posgrado y profesores que están familiarizados con los conceptos matemáticos. [225] Claude Chevalley dijo que los Éléments son "inútiles para un principiante", [226] y Pierre Cartier aclaró que "El malentendido fue que debería ser un libro de texto para todos. Ese fue el gran desastre". [64]
La obra se divide en dos mitades. Mientras que la primera mitad, las Structures fondamentales de l'analyse, trata temas establecidos, la segunda mitad se ocupa de áreas de investigación modernas como el álgebra conmutativa y la teoría espectral. Esta división en la obra está relacionada con un cambio histórico en la intención del tratado. El contenido de los Éléments consta de teoremas, demostraciones, ejercicios y comentarios relacionados, material común en los libros de texto de matemáticas. A pesar de esta presentación, la primera mitad no fue escrita como una investigación original sino más bien como una presentación reorganizada del conocimiento establecido. En este sentido, la primera mitad de los Éléments se parecía más a una enciclopedia que a una serie de libros de texto. Como Cartier comentó: "El malentendido fue que mucha gente pensaba que debía enseñarse tal como estaba escrito en los libros. Puedes pensar en los primeros libros de Bourbaki como una enciclopedia de matemáticas... Si lo consideras como un libro de texto, es un desastre." [64]
La presentación estricta y ordenada del material en la primera mitad de los Éléments debía servir de base para futuras incorporaciones. Sin embargo, los avances en la investigación matemática moderna han resultado difíciles de adaptar en términos del esquema organizativo de Bourbaki. Esta dificultad se ha atribuido a la naturaleza fluida y dinámica de la investigación en curso que, al ser nueva, no está resuelta ni comprendida en su totalidad. [195] [227] El estilo de Bourbaki ha sido descrito como un paradigma científico particular que ha sido reemplazado por un cambio de paradigma . Por ejemplo, Ian Stewart citó el novedoso trabajo de Vaughan Jones sobre teoría de nudos como un ejemplo de topología que se realizó sin dependencia del sistema de Bourbaki. [228] La influencia de Bourbaki ha disminuido con el tiempo; [228] Esta disminución se ha atribuido en parte a la ausencia de ciertos temas modernos, como la teoría de categorías, en el tratado. [81] [82]
Aunque múltiples críticas han señalado deficiencias en el proyecto del colectivo, una también ha señalado su fortaleza: Bourbaki fue "víctima de su propio éxito" [195] en el sentido de que logró lo que se propuso, logrando su objetivo original. de presentar un tratado completo sobre matemáticas modernas. [229] [230] [231] Estos factores llevaron al biógrafo Maurice Mashaal a concluir su tratamiento de Bourbaki en los siguientes términos:
Una empresa así merece admiración por su amplitud, por su entusiasmo y desinterés, por su carácter fuertemente colectivo. A pesar de algunos errores, Bourbaki contribuyó un poco al "honor del espíritu humano". En una era en la que los deportes y el dinero son grandes ídolos de la civilización, ésta no es una virtud menor.
— Maurice Mashaal [232]
Otros seudónimos matemáticos colectivos
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Bourbaki sugiere que su definición del número 1 abarca unas decenas de miles de símbolos.
Mostramos que se trata de una subestimación considerable, ya que el verdadero número de símbolos es el del título, sin contar 1 179 618 517 981 enlaces entre símbolos que se necesitan para eliminar la ambigüedad de toda la expresión.