En matemáticas , un subconjunto C de un espacio vectorial real o complejo se dice que es absolutamente convexo o en disco si es convexo y equilibrado (algunas personas usan el término "en círculo" en lugar de "equilibrado"), en cuyo caso se llama disco . La carcasa en disco o la carcasa convexa absoluta de un conjunto es la intersección de todos los discos que contienen ese conjunto.
Definición
Un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo se llamadisco y se dice que esdisco ,absolutamente convexo , yconvexo equilibrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
El subconjunto convexo (respectivamente, equilibrado ) más pequeño que contiene un conjunto dado se denomina casco convexo (respectivamente, casco equilibrado) de ese conjunto y se denota por (respectivamente, ).
De manera similar, elcasco disqueado , elcasco convexo absoluto , y elLa carcasa equilibrada convexa de un conjuntose define como el disco más pequeño (con respecto ala inclusión) que contiene[1]
. La carcasa en disco dese denotará poroy es igual a cada uno de los siguientes conjuntos:
En general, esto es posible, incluso en espacios vectoriales de dimensión finita .
la intersección de todos los discos que contienen
Condiciones suficientes
La intersección de arbitrariamente muchos conjuntos absolutamente convexos es nuevamente absolutamente convexa; sin embargo, las uniones de conjuntos absolutamente convexos ya no necesitan ser absolutamente convexos.
Si hay un disco entonces está absorbiendo si y sólo si [2]
Propiedades
Si es un disco absorbente en un espacio vectorial entonces existe un disco absorbente tal que [3]
Si es un disco y y son escalares entonces y
Si es un disco acotado en un TVS y si es una secuencia en entonces las sumas parciales son Cauchy , donde para todos [4] En particular, si además es un subconjunto secuencialmente completo de entonces esta serie converge en algún punto de
El casco equilibrado convexo de contiene tanto el casco convexo de como el casco equilibrado de Además, contiene el casco equilibrado del casco convexo de así
Ejemplos
Aunque la carcasa equilibrada convexa de no es necesariamente igual a la carcasa equilibrada de la carcasa convexa de [1]
Para un ejemplo donde sea el espacio vectorial real y sea
Entonces es un subconjunto estricto de que ni siquiera es convexo; en particular, este ejemplo también muestra que el casco equilibrado de un conjunto convexo no es necesariamente convexo. El conjunto es igual al cuadrado cerrado y relleno con vértices y (esto se debe a que el conjunto balanceado debe contener ambos y donde ya también es convexo, en consecuencia debe contener el cuadrado sólido que, para este ejemplo en particular, también está balanceado, de modo que ). Sin embargo, es igual al segmento de línea cerrada horizontal entre los dos puntos, por lo que es un subconjunto cerrado en " forma de reloj de arena " que intersecta el eje exactamente en el origen y es la unión de dos triángulos isósceles cerrados y rellenos : uno cuyo los vértices son el origen junto con y el otro triángulo cuyos vértices son el origen junto con Este "reloj de arena" relleno no convexo es un subconjunto propio del cuadrado relleno
Generalizaciones
Dado un número real fijo a-Conjunto convexo es cualquier subconjuntode un espacio vectorialcon la propiedad de quesiempreyson escalares no negativos que satisfacen.
Se llama conjuntoconjunto absolutamente convexo o un-disco sisiempreyson escalares satisfactorios[5]
A-seminorma [6]es cualquier función no negativaque satisface las siguientes condiciones:
Esto generaliza la definición de seminormas ya que un mapa es una seminorma si y sólo si es una -seminorma (usando ). Existen seminormas que no son seminormas . Por ejemplo, siempre que el mapa utilizado para definir el espacio Lp sea una seminorma pero no una seminorma. [6]
Dado un espacio vectorial topológico es -seminormable (lo que significa que su topología es inducida por alguna -seminorma) si y sólo si tiene una vecindad -convexa acotada del origen. [5]
Ver también
El Wikibook Álgebra tiene una página sobre el tema: Espacios vectoriales
Conjunto absorbente : conjunto que se puede "inflar" para llegar a cualquier punto.
Vector (geométrico) : objeto geométrico que tiene longitud y dirección Pages displaying short descriptions of redirect targets, para vectores en física.
Campo vectorial : asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano
Referencias
^ ab Trèves 2006, pag. 68.
^ Narici y Beckenstein 2011, págs. 67-113.
^ Narici y Beckenstein 2011, págs. 149-153.
^ Narici y Beckenstein 2011, pag. 471.
^ ab Narici y Beckenstein 2011, pag. 174.
^ ab Narici y Beckenstein 2011, pag. 86.
Bibliografía
Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 4–6.
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.