conjunto simétrico

Propiedad de subconjuntos de grupos (matemáticas)

En matemáticas , se dice que un subconjunto S no vacío de un grupo G es simétrico si contiene las inversas de todos sus elementos.

Definición

En notación de conjuntos, un subconjunto de un grupo se llama simétrico si siempre que entonces el inverso de también pertenece a Entonces, si se escribe multiplicativamente entonces es simétrico si y solo si donde Si se escribe aditivamente entonces es simétrico si y solo si donde ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S^{-1}}$ ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=-S}$ ${\displaystyle -S:=\{-s:s\in S\}.}$

Si es un subconjunto de un espacio vectorial entonces se dice que es un conjunto simétrico si es simétrico con respecto a la estructura de grupo aditivo del espacio vectorial; es decir, si lo que ocurre si y sólo si El casco simétrico de un subconjunto es el conjunto simétrico más pequeño que contiene y es igual a El conjunto simétrico más grande contenido en es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=-S,}$ ${\displaystyle -S\subseteq S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S\cup -S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\cap -S.}$

Condiciones suficientes

Las uniones arbitrarias y las intersecciones de conjuntos simétricos son simétricas.

Cualquier subespacio vectorial en un espacio vectorial es un conjunto simétrico.

Ejemplos

En ejemplos de conjuntos simétricos hay intervalos del tipo con y los conjuntos y ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (-k,k)}$ ${\displaystyle k>0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (-1,1).}$

Si es cualquier subconjunto de un grupo, entonces y son conjuntos simétricos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\cup S^{-1}}$ ${\displaystyle S\cap S^{-1}}$

Cualquier subconjunto equilibrado de un espacio vectorial real o complejo es simétrico.

Ver también

• Conjunto absolutamente convexo  – conjunto convexo y equilibradoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Conjunto absorbente  : conjunto que se puede "inflar" para llegar a cualquier punto.
• Función equilibrada  : construcción en análisis funcionalPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Conjunto equilibrado  : constructo en análisis funcional.
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  - Generalización de la acotación
• Conjunto convexo  : en geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.
• Funcional de Minkowski  – Función hecha a partir de un conjunto
• Dominio estelar  : propiedad de conjuntos de puntos en espacios euclidianos

Referencias

• R. Cristescu, Espacios vectoriales topológicos, Noordhoff International Publishing, 1977.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

Este artículo incorpora material del conjunto simétrico de PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .