Conjunto absolutamente convexo

En matemáticas , un subconjunto C de un espacio vectorial real o complejo se dice que es absolutamente convexo o en disco si es convexo y equilibrado (algunas personas usan el término "en círculo" en lugar de "equilibrado"), en cuyo caso se llama disco . La carcasa en disco o la carcasa convexa absoluta de un conjunto es la intersección de todos los discos que contienen ese conjunto.

Definición

La zona gris clara es el casco absolutamente convexo de la cruz.

Un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo se llama ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$disco y se dice que esdisco ,absolutamente convexo , yconvexo equilibrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle S}$es un conjunto convexo y equilibrado .
2. para cualquier escalar y si entonces ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle |a|+|b|\leq 1}$ ${\displaystyle aS+bS\subseteq S.}$
3. para todos los escalares y si entonces ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle |a|+|b|\leq |c|,}$ ${\displaystyle aS+bS\subseteq cS.}$
4. para cualquier escalar y si entonces ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq |c|}$ ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.}$
5. para cualquier escalar si entonces ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ ${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1}$ ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.}$

El subconjunto convexo (respectivamente, equilibrado ) más pequeño que contiene un conjunto dado se denomina casco convexo (respectivamente, casco equilibrado) de ese conjunto y se denota por (respectivamente, ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$

De manera similar, elcasco disqueado , elcasco convexo absoluto , y elLa carcasa equilibrada convexa de un conjuntose define como el disco más pequeño (con respecto ala inclusión) que contiene^[1] . La carcasa en disco dese denotará poroy es igual a cada uno de los siguientes conjuntos: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {disk} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

1. ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$cuál es el casco convexo del casco equilibrado de ; de este modo, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$
   • En general, esto es posible, incluso en espacios vectoriales de dimensión finita . ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$
2. la intersección de todos los discos que contienen ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \left\{a_{1}s_{1}+\cdots a_{n}s_{n}~:~n\in \mathbb {N} ,\,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S,\,{\text{ and }}a_{1},\ldots ,a_{n}{\text{ are scalars satisfying }}|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1\right\}.}$

Condiciones suficientes

La intersección de arbitrariamente muchos conjuntos absolutamente convexos es nuevamente absolutamente convexa; sin embargo, las uniones de conjuntos absolutamente convexos ya no necesitan ser absolutamente convexos.

Si hay un disco entonces está absorbiendo si y sólo si ^[2] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$

Propiedades

Si es un disco absorbente en un espacio vectorial entonces existe un disco absorbente tal que ^[3] Si es un disco y y son escalares entonces y ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E+E\subseteq S.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle sD=|s|D}$ ${\displaystyle (rD)\cap (sD)=(\min _{}\{|r|,|s|\})D.}$

La cáscara absolutamente convexa de un conjunto acotado en un espacio vectorial topológico localmente convexo está nuevamente acotada.

Si es un disco acotado en un TVS y si es una secuencia en entonces las sumas parciales son Cauchy , donde para todos ^[4] En particular, si además es un subconjunto secuencialmente completo de entonces esta serie converge en algún punto de ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$

El casco equilibrado convexo de contiene tanto el casco convexo de como el casco equilibrado de Además, contiene el casco equilibrado del casco convexo de así ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S;}$

$${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$

${\displaystyle S,T\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} (\operatorname {bal} S).}$

Ejemplos

Aunque la carcasa equilibrada convexa de no es necesariamente igual a la carcasa equilibrada de la carcasa convexa de ^[1] Para un ejemplo donde sea el espacio vectorial real y sea Entonces es un subconjunto estricto de que ni siquiera es convexo; en particular, este ejemplo también muestra que el casco equilibrado de un conjunto convexo no es necesariamente convexo. El conjunto es igual al cuadrado cerrado y relleno con vértices y (esto se debe a que el conjunto balanceado debe contener ambos y donde ya también es convexo, en consecuencia debe contener el cuadrado sólido que, para este ejemplo en particular, también está balanceado, de modo que ). Sin embargo, es igual al segmento de línea cerrada horizontal entre los dos puntos, por lo que es un subconjunto cerrado en " forma de reloj de arena " que intersecta el eje exactamente en el origen y es la unión de dos triángulos isósceles cerrados y rellenos : uno cuyo los vértices son el origen junto con y el otro triángulo cuyos vértices son el origen junto con Este "reloj de arena" relleno no convexo es un subconjunto propio del cuadrado relleno ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S:=\{(-1,1),(1,1)\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (-1,1),(1,1),(-1,-1),}$ ${\displaystyle (1,-1)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {co} ((-S)\cup S),}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} ((-S)\cup S)}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$

Generalizaciones

Dado un número real fijo a ${\displaystyle 0<p\leq 1,}$ ${\displaystyle p}$-Conjunto convexo es cualquier subconjuntode un espacio vectorialcon la propiedad de quesiempreyson escalares no negativos que satisfacen. Se llama conjunto ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle rc+sd\in C}$ ${\displaystyle c,d\in C}$ ${\displaystyle r,s\geq 0}$ ${\displaystyle r^{p}+s^{p}=1.}$conjunto absolutamente ${\displaystyle p}$ convexo o un ${\displaystyle p}$-disco sisiempreyson escalares satisfactorios^[5] ${\displaystyle rc+sd\in C}$ ${\displaystyle c,d\in C}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle |r|^{p}+|s|^{p}\leq 1.}$

A ${\displaystyle p}$-seminorma ^[6]es cualquier función no negativaque satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$

1. Subaditividad / Desigualdad triangular : para todos ${\displaystyle q(x+y)\leq q(x)+q(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Homogeneidad absoluta de grado ${\displaystyle p}$ : para todos y todos los escalares ${\displaystyle q(sx)=|s|^{p}q(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$

Esto generaliza la definición de seminormas ya que un mapa es una seminorma si y sólo si es una -seminorma (usando ). Existen seminormas que no son seminormas . Por ejemplo, siempre que el mapa utilizado para definir el espacio Lp sea una seminorma pero no una seminorma. ^[6] ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p:=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle q(f)=\int _{\mathbb {R} }|f(t)|^{p}dt}$ ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle p}$

Dado un espacio vectorial topológico es -seminormable (lo que significa que su topología es inducida por alguna -seminorma) si y sólo si tiene una vecindad -convexa acotada del origen. ^[5] ${\displaystyle 0<p\leq 1,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Ver también

• Conjunto absorbente  : conjunto que se puede "inflar" para llegar a cualquier punto.
• Espacio normado auxiliar
• Conjunto equilibrado  : constructo en análisis funcional.
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  - Generalización de la acotación
• Conjunto convexo  : en geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.
• Dominio estelar  : propiedad de conjuntos de puntos en espacios euclidianos
• Conjunto simétrico  : propiedad de subconjuntos de grupos (matemáticas)
• Vector (geométrico)  : objeto geométrico que tiene longitud y dirección Pages displaying short descriptions of redirect targets, para vectores en física.
• Campo vectorial  : asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano

Referencias

1. Trèves 2006, pag. 68.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 67-113.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs. 149-153.
4. Narici y Beckenstein 2011, pag. 471.
5. Narici y Beckenstein 2011, pag. 174.
6. Narici y Beckenstein 2011, pag. 86.

Bibliografía

• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 4–6.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.