Topología de Mackey

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , la topología de Mackey , que lleva el nombre de George Mackey , es la mejor topología para un espacio vectorial topológico que aún conserva el dual continuo . En otras palabras, la topología de Mackey no hace continuas las funciones lineales que eran discontinuas en la topología predeterminada. Un espacio vectorial topológico (TVS) se denomina espacio Mackey si su topología es la misma que la topología de Mackey.

La topología de Mackey es lo opuesto a la topología débil , que es la topología más burda en un espacio vectorial topológico que preserva la continuidad de todas las funciones lineales en el dual continuo.

El teorema de Mackey-Arens establece que todas las topologías duales posibles son más finas que la topología débil y más bastas que la topología de Mackey.

Definición

Definición de pareja

Dado un emparejamiento , la topología de Mackey inducida por denotada por es la topología polar definida usando el conjunto de todos los discos compactos en ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle \tau (X,Y,b),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

Cuando esté dotado de la topología Mackey entonces se denotará por o simplemente o si no puede surgir ambigüedad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\tau (X,Y,b)}}$ ${\displaystyle X_{\tau (X,Y)}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$

Se dice que un mapa lineal es continuo de Mackey (con respecto a los emparejamientos y ) si es continuo. ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}$

Definición de un espacio vectorial topológico

La definición de la topología Mackey para un espacio vectorial topológico (TVS) es una especialización de la definición anterior de la topología Mackey de un emparejamiento. Si es un TVS con espacio dual continuo , entonces el mapa de evaluación se llama emparejamiento canónico . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle \left(x,x^{\prime }\right)\mapsto x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle X\times X^{\prime }}$

La topología de Mackey en un TVS indicada por es la topología de Mackey inducida por el emparejamiento canónico. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

Es decir, la topología de Mackey es la topología polar que se obtiene utilizando el conjunto de todos los discos compactos débiles* en Cuando está dotado de la topología de Mackey, se denotará por o simplemente si no puede surgir ambigüedad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$

Un mapa lineal entre TVS es continuo de Mackey si es continuo. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F:\left(X,\tau \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\tau \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}$

Ejemplos

Cada espacio metrizable localmente convexo con dual continuo lleva la topología de Mackey, es decir, o para decirlo de manera más sucinta, cada espacio metrizable localmente convexo es un espacio de Mackey . ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \nu =\tau \left(X,X^{\prime }\right)}$

Cada espacio localmente convexo con cañón de Hausdorff es Mackey.

Cada espacio de Fréchet lleva la topología de Mackey y la topología coincide con la topología fuerte , es decir ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \nu =\tau \left(X,X^{\prime }\right)=\beta \left(X,X^{\prime }\right).}$

Aplicaciones

La topología de Mackey tiene una aplicación en economías con una cantidad infinita de productos básicos. ^[1]

Ver también

• sistema dual
• Espacio Mackey  – Concepto matemático
• Topología polar  : topología de espacio dual de convergencia uniforme en alguna subcolección de subconjuntos acotados
• Topología fuerte
• Topologías en espacios de mapas lineales.
• Topología débil  - Término matemático

Citas

1. Bewley, TF (1972). "Existencia de equilibrios en economías con infinitas mercancías". Revista de teoría económica . 4 (3): 514–540. doi :10.1016/0022-0531(72)90136-6.

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás (1977). Espacios vectoriales topológicos . Elementos de las matemáticas. Addison-Wesley.
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Mackey, GW (1946). "Sobre espacios lineales topológicos convexos". Trans. América. Matemáticas. Soc . 60 (3). Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense, vol. 60, núm. 3: 519–537. doi :10.2307/1990352. JSTOR  1990352. PMC  1078623 .
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 62.
• Schaefer, Helmut H. (1971). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 3. Nueva York: Springer-Verlag. pag. 131.ISBN​ 0-387-98726-6.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• AI Shtern (2001) [1994], "Topología de Mackey", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press