Orden dual (análisis funcional)

En matemáticas, específicamente en teoría de orden y análisis funcional , el dual de orden de un espacio vectorial ordenado es el conjunto donde denota el conjunto de todos los funcionales lineales positivos en , donde una función lineal en se llama positiva si para todos implica ^[1] El dual de orden de se denota por . Junto con el concepto relacionado de dual de límite de orden , este espacio juega un papel importante en la teoría de espacios vectoriales topológicos ordenados . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)-\operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle f(x)\geq 0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$

Ordenamiento canónico

Un elemento del orden dual de se llama positivo si implica Los elementos positivos del orden dual forman un cono que induce un ordenamiento en llamado ordenamiento canónico . Si es un espacio vectorial ordenado cuyo cono positivo es generatriz (es decir, ), entonces el orden dual con el ordenamiento canónico es un espacio vectorial ordenado. ^[1] El orden dual es el espacio abarcado por el conjunto de funcionales lineales positivos en . ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f(x)\geq 0.}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X=C-C}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

El dual de orden está contenido en el dual de límite de orden . ^[1] Si el cono positivo de un espacio vectorial ordenado es generador y si se cumple para todos los positivos y , entonces el dual de orden es igual al dual de límite de orden, que es una red vectorial de orden completo bajo su ordenamiento canónico. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

El orden dual de una red vectorial es una red vectorial de orden completo. ^[1] El orden dual de una red vectorial puede ser de dimensión finita (posiblemente incluso ) incluso si es de dimensión infinita. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$

Orden bidual

Supóngase que es un espacio vectorial ordenado tal que el orden canónico de se convierte en un espacio vectorial ordenado. Entonces, el orden dual se define como el orden dual de y se denota por . Si el cono positivo de un espacio vectorial ordenado es generador y si se cumple para todos los positivos y , entonces es una red vectorial de orden completo y la función de evaluación es preservadora del orden. ^[1] En particular, si es una red vectorial, entonces es una red vectorial de orden completo. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X^{++}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X^{++}}$ ${\displaystyle X\to X^{++}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{++}}$

Retícula vectorial mínima

Si es una red vectorial y si es un subespacio sólido de que separa puntos en , entonces la función de evaluación definida al enviar a la función dada por , es un isomorfismo de red de sobre una subred vectorial de . ^[1] Sin embargo, la imagen de esta función en general no es de orden completo incluso si es de orden completo. De hecho, una red vectorial de orden completo y regularmente ordenada no necesita ser mapeada por la función de evaluación sobre una banda en el orden bidual. Una red vectorial de orden completo y regularmente ordenada cuya imagen canónica en su orden bidual es de orden completo se llama mínima y se dice que es de tipo mínimo . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to G^{+}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E_{x}:G^{+}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E_{x}(f):=f(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G^{+}}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Para cualquier , la red de Banach es de orden completo y de tipo mínimo; en particular, la topología normativa en este espacio es la topología localmente convexa más fina para la cual converge cada filtro convergente de orden . ^[2] ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$

Propiedades

Sea una red vectorial de orden completo de tipo mínimo. Para cualquier red vectorial de orden completo de tipo mínimo, para la cual los siguientes elementos sean equivalentes: ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x>0,}$

1. ${\displaystyle x}$es una unidad de orden débil .
2. Para cada funcional lineal positivo distinto de 0 en , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)>0.}$
3. Para cada topología en tal que es una red vectorial localmente convexa , es un punto cuasi-interior de su cono positivo. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x}$

Conceptos relacionados

Un espacio vectorial ordenado se denomina ordenado regularmente y se dice que su orden es regular si es ordenado arquimedianamente y distingue puntos en . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Espacio dual algebraico  – En matemáticas, espacio vectorial de formas linealesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Espacio dual continuo  – En matemáticas, espacio vectorial de formas lineales.Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Espacio dual  – En matemáticas, espacio vectorial de formas lineales.
• Orden dual con límite  – Concepto matemático

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs. 204-214.
2. Schaefer & Wolff 1999, págs. 234–242.

Bibliografía

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .