En topología , un espacio topológico con la topología trivial es aquel en el que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y el espacio entero. Dichos espacios se denominan comúnmente indiscretos , antidiscretos , concretos o codiscretos . Intuitivamente, esto tiene la consecuencia de que todos los puntos del espacio están "agrupados" y no se pueden distinguir por medios topológicos. Todo espacio indiscreto es un espacio pseudométrico en el que la distancia entre dos puntos cualesquiera es cero .
Detalles
La topología trivial es la topología con el menor número posible de conjuntos abiertos , es decir, el conjunto vacío y el espacio entero, ya que la definición de una topología requiere que estos dos conjuntos sean abiertos. A pesar de su simplicidad, un espacio X con más de un elemento y la topología trivial carecen de una propiedad clave deseable: no es un espacio T 0 .
Otras propiedades de un espacio indiscreto X —muchas de las cuales son bastante inusuales— incluyen:
- Los únicos conjuntos cerrados son el conjunto vacío y X.
- La única base posible de X es { X }.
- Si X tiene más de un punto, entonces, como no es T 0 , tampoco satisface ninguno de los axiomas superiores de T . En particular, no es un espacio de Hausdorff . Al no ser Hausdorff , X no es una topología de orden , ni es metrizable .
- X es, sin embargo, regular , completamente regular , normal y completamente normal ; todo ello de una manera bastante vacía, ya que los únicos conjuntos cerrados son ∅ y X.
- X es compacto y por lo tanto paracompacto , Lindelöf y localmente compacto .
- Toda función cuyo dominio es un espacio topológico y codominio X es continua .
- X está conexo por trayectorias y, por lo tanto, está conectado .
- X es segundo contable , y por lo tanto es primer contable , separable y Lindelöf .
- Todos los subespacios de X tienen la topología trivial.
- Todos los espacios cocientes de X tienen la topología trivial
- Los productos arbitrarios de espacios topológicos triviales, ya sea con topología de producto o topología de caja , tienen la topología trivial.
- Todas las secuencias en X convergen a cada punto de X. En particular, cada secuencia tiene una subsecuencia convergente (la secuencia completa o cualquier otra subsecuencia), por lo tanto X es secuencialmente compacta .
- El interior de cada conjunto excepto X está vacío.
- El cierre de todo subconjunto no vacío de X es X . Dicho de otra manera: todo subconjunto no vacío de X es denso , una propiedad que caracteriza a los espacios topológicos triviales.
- Como resultado de esto, la clausura de cada subconjunto abierto U de X es ∅ (si U = ∅) o X (en caso contrario). En particular, la clausura de cada subconjunto abierto de X es nuevamente un conjunto abierto y, por lo tanto, X es extremalmente desconectado .
- Si S es cualquier subconjunto de X con más de un elemento, entonces todos los elementos de X son puntos límite de S. Si S es un singleton , entonces cada punto de X \ S sigue siendo un punto límite de S.
- X es un espacio de Baire .
- Dos espacios topológicos que llevan la topología trivial son homeomorfos si y solo si tienen la misma cardinalidad .
En cierto sentido, el opuesto de la topología trivial es la topología discreta , en la que cada subconjunto es abierto.
La topología trivial pertenece a un espacio uniforme en el que todo el producto cartesiano X × X es el único entorno .
Sea Top la categoría de espacios topológicos con funciones continuas y Set la categoría de conjuntos con funciones. Si G : Top → Set es el funtor que asigna a cada espacio topológico su conjunto subyacente (el llamado funtor olvidadizo ), y H : Set → Top es el funtor que coloca la topología trivial en un conjunto dado, entonces H (el llamado funtor co-libre ) es adjunto derecho a G . (El llamado funtor libre F : Set → Top que coloca la topología discreta en un conjunto dado es adjunto izquierdo a G .) [1] [2]
Véase también
Notas
- ^ Keegan Smith, "Functores adjuntos en álgebra, topología y lógica matemática", 8 de agosto de 2008, pág. 13.
- ^ functor libre en nLab
Referencias
