Átomo (teoría de la medida)

Un conjunto medible con medida positiva que no contiene ningún subconjunto de medida positiva más pequeña

En matemáticas , más precisamente en la teoría de la medida , un átomo es un conjunto medible que tiene una medida positiva y no contiene ningún conjunto de medidas positivas más pequeñas. Una medida que no tiene átomos se llama no atómica o sin átomos .

Definición

Dado un espacio medible y una medida en ese espacio, un conjunto en se llama átomo si y para cualquier subconjunto medible , . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \mu (A)>0}$$ ${\displaystyle B\subset A}$ ${\displaystyle 0\in \{\mu (B),\mu (A\setminus B)\}}$

La clase de equivalencia de se define por donde es el operador de diferencia simétrica . Si es un átomo, entonces todos los subconjuntos en son átomos y se denomina clase atómica . ^[1] Si es una medida -finita, hay una cantidad contable de clases atómicas. ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle [A]:=\{B\in \Sigma :\mu (A\Delta B)=0\},}$$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Ejemplos

• Consideremos el conjunto X = {1, 2, ..., 9, 10} y sea el álgebra sigma el conjunto potencia de X. Definamos la medida de un conjunto como su cardinalidad , es decir, el número de elementos del conjunto. Entonces, cada uno de los singletons { i }, para i = 1, 2, ..., 9, 10 es un átomo. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu }$
• Consideremos la medida de Lebesgue en la línea real . Esta medida no tiene átomos.

Medidas atómicas

Una medida -finita en un espacio medible se llama atómica o puramente atómica si cada conjunto medible de medida positiva contiene un átomo. Esto es equivalente a decir que hay una partición contable de formada por átomos hasta un conjunto nulo. ^[2] La suposición de -finitud es esencial. Considérese de otro modo el espacio donde denota la medida de conteo . Este espacio es atómico, con todos los átomos siendo los singletons , pero el espacio no puede ser dividido en la unión disjunta de un número contable de átomos disjuntos, y un conjunto nulo ya que la unión contable de singletons es un conjunto contable, y la incontabilidad de los números reales muestra que el complemento tendría que ser incontable, por lo tanto su -medida sería infinita, en contradicción con que sea un conjunto nulo. La validez del resultado para espacios -finitos se sigue de la prueba para espacios de medida finita al observar que la unión contable de uniones contables es nuevamente una unión contable, y que las uniones contables de conjuntos nulos son nulas. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Medidas discretas

Una medida atómica -finita se llama discreta si la intersección de los átomos de cualquier clase atómica no está vacía. Es equivalente ^[3] a decir que es la suma ponderada de un número contable de medidas de Dirac, es decir, hay una secuencia de puntos en , y una secuencia de números reales positivos (los pesos) tales que , lo que significa que para cada . Podemos elegir que cada punto sea un punto común de los átomos en la -ésima clase atómica. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},...}$ ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$ ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Una medida discreta es atómica pero la implicación inversa falla: tomemos , el -álgebra de subconjuntos contables y co-contables, en subconjuntos contables y en subconjuntos co-contables. Entonces hay una única clase atómica, la formada por los subconjuntos co-contables. La medida es atómica pero la intersección de los átomos en la única clase atómica está vacía y no se puede poner como una suma de medidas de Dirac. ${\displaystyle X=[0,1]}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Si cada átomo es equivalente a un singleton, entonces es discreto si y solo si es atómico. En este caso, los anteriores son los singletons atómicos, por lo que son únicos. Cualquier medida finita en un espacio métrico separable proporcionado con los conjuntos de Borel satisface esta condición. ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x_{k}}$

Medidas no atómicas

Una medida que no tiene átomos se llamamedida no atómica o unamedida difusa . En otras palabras, una medidano es atómica si para cualquier conjunto medibleconexiste un subconjunto medibledetal que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)>0}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)>0.}$$

Una medida no atómica con al menos un valor positivo tiene un número infinito de valores distintos, ya que a partir de un conjunto con uno se puede construir una secuencia decreciente de conjuntos mensurables tales que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)>0}$ $${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$$ $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}$$

Esto puede no ser cierto para las medidas que tienen átomos; vea el primer ejemplo arriba.

Resulta que las medidas no atómicas tienen en realidad un continuo de valores. Se puede demostrar que si es una medida no atómica y es un conjunto medible con entonces para cualquier número real que satisfaga existe un subconjunto medible de tal que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)>0,}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \mu (B)=b.}$$

Este teorema se debe a Wacław Sierpiński . ^{[5] [6]} Recuerda al teorema del valor intermedio para funciones continuas.

Bosquejo de la prueba del teorema de Sierpiński sobre medidas no atómicas. Una afirmación ligeramente más fuerte, que sin embargo hace que la prueba sea más fácil, es que si es un espacio de medida no atómico y existe una función que es monótona con respecto a la inclusión, y una inversa derecha de Es decir, existe una familia de un parámetro de conjuntos mensurables tales que para todos La prueba se sigue fácilmente del lema de Zorn aplicado al conjunto de todas las secciones parciales monótonas a  : ordenados por inclusión de grafos, Entonces es estándar mostrar que cada cadena en tiene un límite superior en y que cualquier elemento maximalista de tiene dominio probando la afirmación. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)=c,}$ ${\displaystyle S:[0,c]\to \Sigma }$ ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,c].}$ ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq t'\leq c}$ $${\displaystyle S(t)\subseteq S(t'),}$$ $${\displaystyle \mu \left(S(t)\right)=t.}$$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,{\text{ for all }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},}$$ ${\displaystyle \mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ,}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle [0,c],}$

Véase también

• Átomo (teoría del orden) : un concepto análogo en la teoría del orden
• Función delta de Dirac
• Evento elemental , también conocido como evento atómico

Notas

1. Cadetes 2018, págs. 43, 45–46.
2. "Análisis - Partición contable en átomos".
3. "¿Por qué una medida atómica discreta debe admitir una descomposición en medidas de Dirac? Además, ¿qué es una "clase atómica"?".
4. Kadetes 2018, pág. 45.
5. Sierpinski, W. (1922). "Sobre las funciones de conjunto de aditivos y continuación" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en francés). 3 : 240–246. doi :10.4064/fm-3-1-240-246.
6. Fryszkowski, Andrzej (2005). Teoría del punto fijo para conjuntos descomponibles (Teoría del punto fijo topológico y sus aplicaciones) . Nueva York: Springer. pág. 39. ISBN. 1-4020-2498-3.

Referencias

• Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. (1997). Análisis real . Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. pág. 108. ISBN. 0-13-458886-X.
• Butnariu, Dan; Klement, EP (1993). Medidas basadas en normas triangulares y juegos con coaliciones difusas . Dordrecht: Kluwer Academic. pág. 87. ISBN 0-7923-2369-6.
• Kadets, Vladimir (2018). "Un curso de análisis funcional y teoría de la medida". Universitext . doi :10.1007/978-3-319-92004-7. ISSN  0172-5939.

Enlaces externos

• Átomo en La Enciclopedia de Matemáticas