En el campo matemático de la teoría del orden , un elemento a de un conjunto parcialmente ordenado con el menor elemento 0 es un átomo si 0 < a y no hay x tal que 0 < x < a .
De manera equivalente, se puede definir un átomo como un elemento que es mínimo entre los elementos distintos de cero, o alternativamente un elemento que cubre el elemento menor 0 .
Sea <: la relación de cobertura en un conjunto parcialmente ordenado.
Un conjunto parcialmente ordenado con un elemento mínimo 0 es atómico si cada elemento b > 0 tiene un átomo a debajo, es decir, hay algún a tal que b ≥ a :> 0 . Todo conjunto parcialmente ordenado finito con 0 es atómico, pero el conjunto de números reales no negativos (ordenados de la forma habitual) no es atómico (y de hecho no tiene átomos).
Un conjunto parcialmente ordenado es relativamente atómico (o fuertemente atómico ) si para todo a < b existe un elemento c tal que a <: c ≤ b o, equivalentemente, si cada intervalo [ a , b ] es atómico. Todo conjunto parcialmente ordenado relativamente atómico con un mínimo de elementos es atómico. Todo conjunto poset finito es relativamente atómico.
Un conjunto parcialmente ordenado con el elemento 0 como mínimo se denomina atomístico (no debe confundirse con atómico ) si cada elemento es el límite superior mínimo de un conjunto de átomos. El orden lineal con tres elementos no es atomístico (véase la figura 2).
Los átomos en conjuntos parcialmente ordenados son generalizaciones abstractas de los elementos unitarios en la teoría de conjuntos (véase la figura 1). La atomicidad (la propiedad de ser atómico) proporciona una generalización abstracta en el contexto de la teoría del orden de la capacidad de seleccionar un elemento de un conjunto no vacío.
Los términos coatom , coatomic y coatomistic se definen dualmente. Por lo tanto, en un conjunto parcialmente ordenado con el elemento mayor 1 , se dice que