Relación de cobertura

Relación matemática dentro de pedidos

El diagrama de Hasse del conjunto potencia de tres elementos, parcialmente ordenado por inclusión .

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , la relación de cobertura de un conjunto parcialmente ordenado es la relación binaria que se cumple entre elementos comparables que son vecinos inmediatos. La relación de cobertura se utiliza comúnmente para expresar gráficamente el orden parcial mediante el diagrama de Hasse .

Definición

Sea un conjunto con orden parcial . Como de costumbre, sea la relación tal que si y sólo si y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\neq y}$

Sea y sea elementos de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$

Luego cubre , escrito , si y no hay ningún elemento tal que . De manera equivalente, cubre si el intervalo es el conjunto de dos elementos . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\lessdot y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x<z<y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

Cuando , se dice que es una portada de . Algunos autores también utilizan el término cobertura para denotar cualquier par de este tipo en la relación de cobertura. ${\displaystyle x\lessdot y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Ejemplos

• En un conjunto finito linealmente ordenado {1, 2, ..., n }, i + 1 cubre i para todo i entre 1 y n − 1 (y no hay otras relaciones de cobertura).
• En el álgebra booleana del conjunto potencia de un conjunto S , un subconjunto B de S cubre un subconjunto A de S si y sólo si B se obtiene de A añadiendo un elemento que no está en A.
• En la red de Young , formada por las particiones de todos los números enteros no negativos, una partición λ cubre una partición μ si y sólo si el diagrama de Young de λ se obtiene del diagrama de Young de μ agregando una celda adicional.
• El diagrama de Hasse que representa la relación de cobertura de una red de Tamari es el esqueleto de un asociaedro .
• La relación de cobertura de cualquier red distributiva finita forma una gráfica mediana .
• En los números reales con el orden total habitual ≤, el conjunto de cobertura está vacío: ningún número cubre a otro.

Propiedades

• Si un conjunto parcialmente ordenado es finito, su relación de cobertura es la reducción transitiva de la relación de orden parcial. Por tanto, estos conjuntos parcialmente ordenados se describen completamente mediante sus diagramas de Hasse. En cambio, en un orden denso , como es el caso de los números racionales con el orden estándar, ningún elemento cubre a otro.

Referencias

• Knuth, Donald E. (2006), El arte de la programación informática , volumen 4, fascículo 4 , Addison-Wesley, ISBN 0-321-33570-8.
• Stanley, Richard P. (1997), Combinatoria enumerativa, vol. 1 (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-55309-1.
• Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002), Introducción a las celosías y al orden (2ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-78451-4, LCCN  2001043910.