Cambio de variables

Técnica matemática para simplificar

En matemáticas , un cambio de variables es una técnica básica que se utiliza para simplificar problemas en los que las variables originales se sustituyen por funciones de otras variables. La intención es que, al expresarse en nuevas variables, el problema se vuelva más simple o equivalente a un problema mejor comprendido.

El cambio de variables es una operación relacionada con la sustitución . Sin embargo, se trata de operaciones diferentes, como se puede observar al considerar la diferenciación ( regla de la cadena ) o la integración ( integración por sustitución ).

Un ejemplo muy simple de un cambio de variable útil se puede ver en el problema de encontrar las raíces del polinomio de sexto grado:

${\displaystyle x^{6}-9x^{3}+8=0.}$

Las ecuaciones polinómicas de sexto grado son generalmente imposibles de resolver en términos de radicales (véase el teorema de Abel-Ruffini ). Sin embargo, esta ecuación en particular puede escribirse

${\displaystyle (x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0}$

(este es un caso simple de descomposición polinómica ). Por lo tanto, la ecuación se puede simplificar definiendo una nueva variable . Sustituyendo x por en el polinomio se obtiene ${\displaystyle u=x^{3}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{u}}}$

${\displaystyle u^{2}-9u+8=0,}$

que es simplemente una ecuación cuadrática con las dos soluciones:

${\displaystyle u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.}$

Las soluciones en términos de la variable original se obtienen sustituyendo x ³ por u , lo que da

${\displaystyle x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.}$

Entonces, suponiendo que uno está interesado sólo en soluciones reales , las soluciones de la ecuación original son

${\displaystyle x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.}$

Ejemplo sencillo

Consideremos el sistema de ecuaciones

${\displaystyle xy+x+y=71}$

${\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880}$

donde y son números enteros positivos con . (Fuente: AIME 1991 ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x>y}$

Resolver esto normalmente no es muy difícil, pero puede volverse un poco tedioso. Sin embargo, podemos reescribir la segunda ecuación como . Haciendo las sustituciones y se reduce el sistema a . Resolviendo esto obtenemos y . Sustituyendo hacia atrás el primer par ordenado obtenemos , que da la solución Sustituyendo hacia atrás el segundo par ordenado obtenemos , que no da soluciones. Por lo tanto, la solución que resuelve el sistema es . ${\displaystyle xy(x+y)=880}$ ${\displaystyle s=x+y}$ ${\displaystyle t=xy}$ ${\displaystyle s+t=71,st=880}$ ${\displaystyle (s,t)=(16,55)}$ ${\displaystyle (s,t)=(55,16)}$ ${\displaystyle x+y=16,xy=55,x>y}$ ${\displaystyle (x,y)=(11,5).}$ ${\displaystyle x+y=55,xy=16,x>y}$ ${\displaystyle (x,y)=(11,5)}$

Introducción formal

Sean , variedades suaves y sea un - difeomorfismo entre ellas, es decir: es una función biyectiva de a veces continuamente diferenciable con inversa de a veces continuamente diferenciable . Aquí puede ser cualquier número natural (o cero), ( suave ) o ( analítico ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Phi :A\rightarrow B}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega }$

El mapa se denomina transformación de coordenadas regular o sustitución de variable regular , donde regular se refiere a la -idad de . Por lo general, se escribirá para indicar el reemplazo de la variable por la variable sustituyendo el valor de en cada ocurrencia de . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x=\Phi (y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Otros ejemplos

Transformación de coordenadas

Algunos sistemas se pueden resolver más fácilmente al cambiar a coordenadas polares . Consideremos, por ejemplo, la ecuación

${\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}$

Esta puede ser una función de energía potencial para algún problema físico. Si no se ve una solución de inmediato, se puede intentar la sustitución

${\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )}$dado por ${\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).}$

Tenga en cuenta que si se ejecuta fuera de un intervalo de longitud de , por ejemplo, , la función ya no es biyectiva. Por lo tanto, debe limitarse a, por ejemplo , . Observe cómo se excluye , ya que no es biyectiva en el origen ( puede tomar cualquier valor, el punto se asignará a (0, 0)). Luego, reemplazando todas las ocurrencias de las variables originales por las nuevas expresiones prescritas por y usando la identidad , obtenemos ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$

${\displaystyle V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.}$

Ahora las soluciones se pueden encontrar fácilmente: , por lo que o . Aplicando la inversa de se muestra que esto es equivalente a mientras que . De hecho, vemos que para la función se anula, excepto para el origen. ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle x\not =0}$ ${\displaystyle y=0}$

Nótese que, si hubiéramos permitido , el origen también habría sido una solución, aunque no es una solución al problema original. Aquí la biyectividad de es crucial. La función siempre es positiva (para ), de ahí los valores absolutos. ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

Diferenciación

La regla de la cadena se utiliza para simplificar la diferenciación complicada. Por ejemplo, considere el problema de calcular la derivada

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).}$

Dejar con Entonces: ${\displaystyle y=\sin u}$ ${\displaystyle u=x^{2}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}}$

Integración

Las integrales difíciles pueden evaluarse a menudo cambiando las variables; esto es posible gracias a la regla de sustitución y es análogo al uso de la regla de la cadena antes mencionada. Las integrales difíciles también pueden resolverse simplificando la integral utilizando un cambio de variables dado por la matriz jacobiana y el determinante correspondientes . ^[1] El uso del determinante jacobiano y el cambio de variable correspondiente que proporciona es la base de los sistemas de coordenadas, como los sistemas de coordenadas polares, cilíndricos y esféricos.

Fórmula de cambio de variables en términos de la medida de Lebesgue

El siguiente teorema permite relacionar integrales respecto de la medida de Lebesgue con una integral equivalente respecto de la medida de pullback bajo una parametrización G. ^[2] La prueba se debe aproximaciones del contenido de Jordan.

Supongamos que es un subconjunto abierto de y es un difeomorfismo. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

• Si es una función medible de Lebesgue en , entonces es Lebesgue medible en . Si o entonces . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G(\Omega )}$ ${\displaystyle f\circ G}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(G(\Omega ),m),}$ ${\displaystyle \int _{G(\Omega )}f(x)dx=\int _{\Omega }f\circ G(x)|{\text{det}}D_{x}G|dx}$
• Si y es medible según Lebesgue, entonces es medible según Lebesgue, entonces . ${\displaystyle E\subset \Omega }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G(E)}$ ${\displaystyle m(G(E))=\int _{E}|{\text{det}}D_{x}G|dx}$

Como corolario de este teorema, podemos calcular las derivadas de Radon-Nikodym de las medidas de retroceso y avance de bajo . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$

Fórmula de transformación y medida de retroceso

La medida de retroceso en términos de una transformación se define como . La fórmula de cambio de variables para las medidas de retroceso es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}\mu :=\mu (T(A))}$

${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu }$.

Fórmula de transformación y medida de empuje hacia adelante

La medida de empuje hacia adelante en términos de una transformación se define como . La fórmula de cambio de variables para medidas de empuje hacia adelante es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{*}\mu :=\mu (T^{-1}(A))}$

${\displaystyle \int _{\Omega }g\circ Td\mu =\int _{T(\Omega )}gdT_{*}\mu }$.

Como corolario de la fórmula de cambio de variables para la medida de Lebesgue, tenemos que

• Derivada de Radon-Nikodym del pullback con respecto a la medida de Lebesgue: ${\displaystyle {\frac {dT^{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T|}$
• Derivada de Radon-Nikodym del empuje hacia adelante con respecto a la medida de Lebesgue: ${\displaystyle {\frac {dT_{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|}$

De donde podemos obtener

• La fórmula del cambio de variables para la medida de retroceso: ${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gdm=\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}m=\int _{\Omega }g\circ T|{\text{det}}D_{x}T|dm(x)}$
• La fórmula de cambio de variables para la medida de empuje hacia adelante: ${\displaystyle \int _{\Omega }gdm=\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}dT_{*}m=\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|dm(x)}$

Ecuaciones diferenciales

Los cambios de variables para la diferenciación y la integración se enseñan en el cálculo elemental y los pasos rara vez se llevan a cabo en su totalidad.

El uso muy amplio de los cambios de variable es evidente cuando se consideran ecuaciones diferenciales, donde las variables independientes pueden cambiarse utilizando la regla de la cadena o las variables dependientes se cambian dando como resultado alguna diferenciación que se debe realizar. Los cambios exóticos, como la mezcla de variables dependientes e independientes en transformaciones puntuales y de contacto , pueden ser muy complicados pero permiten mucha libertad.

Muy a menudo, se sustituye una forma general de un cambio en un problema y se eligen parámetros a lo largo del camino para simplificar mejor el problema.

Escalado y desplazamiento

Probablemente el cambio más simple es el escalado y desplazamiento de las variables, es decir, su sustitución por nuevas variables que se "estiran" y "mueven" en cantidades constantes. Esto es muy común en aplicaciones prácticas para obtener parámetros físicos de los problemas. Para una derivada de ^orden n , el cambio simplemente da como resultado

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}}$

dónde

${\displaystyle x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}}$

${\displaystyle y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.}$

Esto se puede demostrar fácilmente mediante la regla de la cadena y la linealidad de la diferenciación. Este cambio es muy común en aplicaciones prácticas para obtener parámetros físicos de problemas, por ejemplo, el problema del valor límite.

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad ;\quad u(0)=u(L)=0}$

describe el flujo de fluido paralelo entre paredes sólidas planas separadas por una distancia δ; μ es la viscosidad y el gradiente de presión , ambas constantes. Al escalar las variables, el problema se convierte en ${\displaystyle dp/dx}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0}$

dónde

${\displaystyle y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.}$

El escalamiento es útil por muchas razones. Simplifica el análisis, ya que reduce la cantidad de parámetros y simplemente hace que el problema sea más claro. Un escalamiento adecuado puede normalizar las variables, es decir, hacer que tengan un rango razonable sin unidades, como de 0 a 1. Por último, si un problema exige una solución numérica, cuantos menos parámetros haya, menor será la cantidad de cálculos.

Momento vs. velocidad

Consideremos un sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}}$

para una función dada . La masa puede eliminarse mediante la sustitución (trivial) . Claramente, se trata de una función biyectiva de a . Con la sustitución, el sistema se convierte en ${\displaystyle H(x,v)}$ ${\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v=\Phi (p)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}}$

Mecánica lagrangiana

Dado un campo de fuerza , las ecuaciones de movimiento de Newton son ${\displaystyle \varphi (t,x,v)}$

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).}$

Lagrange examinó cómo estas ecuaciones de movimiento cambian bajo una sustitución arbitraria de variables . ${\displaystyle x=\Psi (t,y)}$ ${\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.}$

Descubrió que las ecuaciones

${\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}}$

son equivalentes a las ecuaciones de Newton para la función , donde T es la energía cinética y V la energía potencial. ${\displaystyle L=T-V}$

De hecho, cuando la sustitución se elige bien (explotando por ejemplo las simetrías y restricciones del sistema) estas ecuaciones son mucho más fáciles de resolver que las ecuaciones de Newton en coordenadas cartesianas.

Véase también

• Cambio de variables (PDE)
• Cambio de variables para densidades de probabilidad
• Propiedad de sustitución de la igualdad
• Instanciación universal

Referencias

1. Kaplan, Wilfred (1973). "Cambio de variables en integrales". Cálculo avanzado (segunda edición). Lectura: Addison-Wesley. págs. 269-275.
2. Folland, GB (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. pp. 74–75. ISBN 0-471-31716-0.OCLC 39849337  .