Cambio de variables (PDE)

Técnica en la evaluación diferencial parcial

A menudo, una ecuación diferencial parcial se puede reducir a una forma más simple con una solución conocida mediante un cambio adecuado de variables .

El artículo analiza el cambio de variable para las EDP a continuación de dos maneras:

1. con el ejemplo;
2. dando la teoría del método.

Explicación con un ejemplo

Por ejemplo, la siguiente forma simplificada de la EDP de Black-Scholes

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+S{\frac {\partial V}{\partial S}}-V=0.}$

es reducible a la ecuación del calor

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

por el cambio de variables:

${\displaystyle V(S,t)=v(x(S),\tau (t))}$

${\displaystyle x(S)=\ln(S)}$

${\displaystyle \tau (t)={\frac {1}{2}}(T-t)}$

${\displaystyle v(x,\tau )=\exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )}$

en estos pasos:

• Reemplace por y aplique la regla de la cadena para obtener ${\displaystyle V(S,t)}$ ${\displaystyle v(x(S),\tau (t))}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(-2v(x(S),\tau )+2{\frac {\partial \tau }{\partial t}}{\frac {\partial v}{\partial \tau }}+S\left(\left(2{\frac {\partial x}{\partial S}}+S{\frac {\partial ^{2}x}{\partial S^{2}}}\right){\frac {\partial v}{\partial x}}+S\left({\frac {\partial x}{\partial S}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}\right)\right)=0.}$

• Reemplazar y por y para obtener ${\displaystyle x(S)}$ ${\displaystyle \tau (t)}$ ${\displaystyle \ln(S)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(T-t)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(-2v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))-{\frac {\partial v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))}{\partial \tau }}+{\frac {\partial v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(T-t))}{\partial x^{2}}}\right)=0.}$

• Reemplace y por y y divida ambos lados por para obtener ${\displaystyle \ln(S)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(T-t)}$ ${\displaystyle x(S)}$ ${\displaystyle \tau (t)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle -2v-{\frac {\partial v}{\partial \tau }}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}=0.}$

• Reemplace por y divida por para obtener la ecuación de calor. ${\displaystyle v(x,\tau )}$ ${\displaystyle \exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )}$ ${\displaystyle -\exp(-(1/2)x-(9/4)\tau )}$

El matemático J. Michael Steele ofrece consejos sobre la aplicación del cambio de variable a las ecuaciones en derivadas parciales : ^[1]

"No hay nada particularmente difícil en cambiar variables y transformar una ecuación en otra, pero hay un elemento de tedio y complejidad que nos hace ir más lentos. No hay un remedio universal para este efecto de melaza, pero los cálculos parecen ir más rápido si uno sigue un plan bien definido. Si sabemos que satisface una ecuación (como la ecuación de Black-Scholes) tenemos la garantía de que podemos hacer un buen uso de la ecuación en la derivación de la ecuación para una nueva función definida en términos de la antigua si escribimos la antigua V como una función de la nueva v y escribimos la nueva y x como funciones de las antiguas t y S . Este orden de cosas pone todo en la línea de fuego directa de la regla de la cadena; las derivadas parciales , y son fáciles de calcular y al final, la ecuación original está lista para su uso inmediato." ${\displaystyle V(S,t)}$ ${\displaystyle v(x,t)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial S}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}}$

Técnica en general

Supongamos que tenemos una función y un cambio de variables tales que existen funciones tales que ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle a(x,t),b(x,t)}$

${\displaystyle x_{1}=a(x,t)}$

${\displaystyle x_{2}=b(x,t)}$

y funciona de tal manera que ${\displaystyle e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle x=e(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle t=f(x_{1},x_{2})}$

y además tal que

${\displaystyle x_{1}=a(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))}$

${\displaystyle x_{2}=b(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))}$

y

${\displaystyle x=e(a(x,t),b(x,t))}$

${\displaystyle t=f(a(x,t),b(x,t))}$

En otras palabras, es útil que haya una biyección entre el antiguo conjunto de variables y el nuevo, o de lo contrario hay que

• Restringir el dominio de aplicabilidad de la correspondencia a un sujeto del plano real que sea suficiente para una solución del problema práctico en cuestión (donde nuevamente debe ser una biyección), y
• Enumerar la (lista finita cero o más) de excepciones (polos) donde la biyección en caso contrario falla (y decir por qué estas excepciones no restringen la aplicabilidad de la solución de la ecuación reducida a la ecuación original)

Si no existe una biyección, entonces la solución de la ecuación en forma reducida no será en general una solución de la ecuación original.

Estamos analizando el cambio de variable en ecuaciones diferenciales parciales. Una ecuación diferencial parcial se puede expresar como un operador diferencial aplicado a una función. Supongamos que es un operador diferencial tal que ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}u(x,t)=0}$

Entonces también es el caso que

${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0}$

dónde

${\displaystyle v(x_{1},x_{2})=u(e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))}$

y operamos de la siguiente manera para ir de a ${\displaystyle {\mathcal {L}}u(x,t)=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0:}$

• Aplique la regla de la cadena a y desarrolle la ecuación . ${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1}(x,t),x_{2}(x,t))=0}$ ${\displaystyle e_{1}}$
• Sustituya y por en y expanda hacia afuera dando la ecuación . ${\displaystyle a(x,t)}$ ${\displaystyle x_{1}(x,t)}$ ${\displaystyle b(x,t)}$ ${\displaystyle x_{2}(x,t)}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$
• Reemplace las ocurrencias de by y by para obtener , que estará libre de y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

En el contexto de las EDP, Weizhang Huang y Robert D. Russell definen y explican en detalle las diferentes transformaciones posibles dependientes del tiempo. ^[2]

Coordenadas del ángulo de acción

A menudo, la teoría puede establecer la existencia de un cambio de variables, aunque la fórmula en sí no se puede expresar explícitamente. Para un sistema hamiltoniano integrable de dimensión , con y , existen integrales . Existe un cambio de variables de las coordenadas a un conjunto de variables , en el que las ecuaciones de movimiento se convierten en , , donde las funciones son desconocidas, pero dependen solo de . Las variables son las coordenadas de acción, las variables son las coordenadas de los ángulos. El movimiento del sistema puede visualizarse así como una rotación sobre toros. Como ejemplo particular, considere el oscilador armónico simple, con y , con hamiltoniano . Este sistema puede reescribirse como , , donde y son las coordenadas polares canónicas: y . Véase VI Arnold , `Métodos matemáticos de la mecánica clásica', para más detalles. ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\partial H/\partial p_{j}}$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-\partial H/\partial x_{j}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n},p_{1},\dots ,p_{n}\}}$ ${\displaystyle \{I_{1},\dots I_{n},\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\}}$ ${\displaystyle {\dot {I}}_{i}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{i}=\omega _{i}(I_{1},\dots ,I_{n})}$ ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$ ${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=2p}$ ${\displaystyle {\dot {p}}=-2x}$ ${\displaystyle H(x,p)=x^{2}+p^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {I}}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}=1}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle I=p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle \tan(\varphi )=p/x}$

Referencias

1. J. Michael Steele , Cálculo estocástico y aplicaciones financieras , Springer, Nueva York, 2001
2. Huang, Weizhang; Russell, Russell (2011). Métodos de malla móvil adaptativos . Springer Nueva York. pág. 141.
3. VI Arnold , Métodos matemáticos de la mecánica clásica , Textos de posgrado en matemáticas, v. 60, Springer-Verlag, Nueva York, 1989