En el análisis matemático , el teorema de Rademacher , llamado así por Hans Rademacher , establece lo siguiente: Si U es un subconjunto abierto de R n y f : U → R m es continua en el sentido de Lipschitz , entonces f es diferenciable casi en todas partes en U ; es decir, los puntos en U en los que f no es diferenciable forman un conjunto de medida de Lebesgue cero. La diferenciabilidad aquí se refiere a la aproximabilidad infinitesimal por una función lineal, que en particular afirma la existencia de las derivadas parciales por coordenadas.
El caso unidimensional del teorema de Rademacher es un resultado estándar en los textos introductorios sobre análisis de la teoría de la medida. [1] En este contexto, es natural demostrar la afirmación más general de que cualquier función de una sola variable con variación acotada es diferenciable casi en todas partes. (Esta generalización unidimensional del teorema de Rademacher no se extiende a dimensiones superiores).
Una de las pruebas estándar del teorema general de Rademacher fue encontrada por Charles Morrey . [2] A continuación, sea u una función Lipschitz-continua en R n . El primer paso de la prueba es mostrar que, para cualquier vector unitario fijo v , la derivada v -direccional de u existe casi en todas partes. Esto es una consecuencia de un caso especial del teorema de Fubini : un conjunto medible en R n tiene medida de Lebesgue cero si su restricción a cada línea paralela a v tiene medida de Lebesgue (unidimensional) cero. Considerando en particular el conjunto en R n donde la derivada v -direccional de u no existe (que debe probarse que es medible), la última condición se cumple debido al caso unidimensional del teorema de Rademacher.
El segundo paso de la prueba de Morrey establece la dependencia lineal de la derivada direccional v de u respecto de v . Esto se basa en la siguiente identidad:
Utilizando el supuesto de Lipschitz sobre u , se puede aplicar el teorema de convergencia dominada para reemplazar los dos cocientes de diferencia en la expresión anterior por las derivadas v -direccionales correspondientes. Luego, con base en la dependencia lineal conocida de la derivada v -direccional de ζ sobre v , se puede demostrar lo mismo de u mediante el lema fundamental del cálculo de variaciones .
En este punto de la prueba, se garantiza que el gradiente (definido como la n -tupla de derivadas parciales) existe casi en todas partes; para cada v , el producto escalar con v es igual a la derivada v -direccional casi en todas partes (aunque quizás en un conjunto más pequeño). Por lo tanto, para cualquier colección contable de vectores unitarios v 1 , v 2 , ... , hay un único conjunto E de medida cero tal que el gradiente y cada derivada v i -direccional existen en todas partes en el complemento de E , y están vinculados por el producto escalar. Al seleccionar v 1 , v 2 , ... como denso en la esfera unitaria, es posible utilizar la condición de Lipschitz para demostrar la existencia de cada derivada direccional en todas partes en el complemento de E , junto con su representación como el producto escalar del gradiente con la dirección.
La prueba de Morrey también puede ponerse en el contexto de derivadas generalizadas . [3] Otra prueba, también mediante una reducción al caso unidimensional, utiliza la tecnología de límites aproximados . [4]
El teorema de Rademacher se puede utilizar para demostrar que, para cualquier p ≥ 1 , el espacio de Sobolev W 1, p (Ω) se conserva bajo una transformación bi-Lipschitz del dominio, y la regla de la cadena se cumple en su forma estándar. [5] Con la modificación apropiada, esto también se extiende a los espacios de Sobolev más generales W k , p (Ω) . [6]
El teorema de Rademacher también es significativo en el estudio de la teoría de la medida geométrica y los conjuntos rectificables , ya que permite el análisis de la geometría diferencial de primer orden, específicamente los planos tangentes y los vectores normales . [7] Los conceptos de orden superior, como la curvatura , siguen siendo más sutiles, ya que sus definiciones habituales requieren más diferenciabilidad que la que se logra con el teorema de Rademacher. En presencia de convexidad , la diferenciabilidad de segundo orden se logra mediante el teorema de Alexandrov , cuya prueba puede modelarse sobre la del teorema de Rademacher. En algunos casos especiales, el teorema de Rademacher incluso se utiliza como parte de la prueba. [8]
Alberto Calderón demostró el hecho más general de que si Ω es un conjunto abierto y acotado en R n entonces toda función en el espacio de Sobolev W 1, p (Ω) es diferenciable casi en todas partes, siempre que p > n . [9] El teorema de Calderón es un corolario relativamente directo del teorema de diferenciación de Lebesgue y del teorema de incrustación de Sobolev . El teorema de Rademacher es un caso especial, debido al hecho de que cualquier función de Lipschitz en Ω es un elemento del espacio W 1,∞ (Ω) . [9]
Existe una versión del teorema de Rademacher que se aplica a las funciones de Lipschitz desde un espacio euclidiano a un espacio métrico arbitrario en términos de diferenciales métricas en lugar de la derivada habitual.
Fuentes
