Teorema maestro de Glasser

En cálculo integral , el teorema maestro de Glasser explica cómo una cierta clase amplia de sustituciones puede simplificar ciertas integrales en todo el intervalo de a Es aplicable en casos en los que las integrales deben interpretarse como valores principales de Cauchy y, a fortiori, es aplicable cuando la integral converge absolutamente . Recibe su nombre en honor a M. L. Glasser, quien lo introdujo en 1983. ^[1] ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty .}$

Un caso especial: la transformación de Cauchy-Schlömilch

Cauchy conocía un caso especial llamado sustitución de Cauchy-Schlömilch o transformación de Cauchy-Schlömilch ^[2] a principios del siglo XIX. ^[3] Establece que si

${\displaystyle u=x-{\frac {1}{x}}\,}$

entonces

${\displaystyle \operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,dx\qquad ({\text{Note: }}F(u)\,dx,{\text{ not }}F(u)\,du)}$

donde PV denota el valor principal de Cauchy.

El teorema maestro

Si , , y son números reales y ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle u=x-a-\sum _{n=1}^{N}{\frac {|a_{n}|}{x-b_{n}}}}$

entonces

${\displaystyle \operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,dx.}$

Ejemplos

 

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}\,dx}{x^{4}+1}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{\left(x-{\frac {1}{x}}\right)^{2}+2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+2}}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}.}$

Referencias

1. Glasser, ML "Una propiedad notable de las integrales definidas". Matemáticas de la computación 40, 561–563, 1983.
2. T. Amdeberhnan, ML Glasser, MC Jones, VH Moll, R. Posey y D. Varela, "La transformación de Cauchy-Schlömilch", arxiv.org/pdf/1004.2445.pdf
3. AL Cauchy, "Sur una fórmula general relativa a la transformación de integrales simples precios entre los límites 0 y ∞ de la variable". Oeuvres completes , serie 2, Journal de l'ecole Polytechnique , XIX cahier, tomo XIII, 516–519, 1:275–357, 1823

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema maestro de Glasser". MathWorld .