ادغام

په ریاضیاتو کې ، یو انټیګرل د مجموعې دوامداره انلاګ دی ، کوم چې د ساحې ، حجمونو ، او د دوی عمومي کولو لپاره کارول کیږي . ادغام، د انټیګرل د کمپیوټري کولو پروسه، د محاسبې د دوو بنسټیزو عملیاتو څخه یو دی ، ^[الف] بل توپیر دی . ادغام په پیل کې په ریاضیاتو او فزیک کې د ستونزو د حل لپاره کارول کیده ، لکه د منحني ساحې موندل ، یا د سرعت څخه د بې ځایه کیدو معلومول. د ادغام کارول بیا وروسته په مختلفو ساینسي برخو کې پراخ شول.

یو ټاکلی ضمیمه په الوتکه کې د سیمې لاسلیک شوې ساحه محاسبه کوي چې په ریښتیني کرښه کې د دوه ټکو تر مینځ د ورکړل شوي فنکشن ګراف لخوا پابند وي . په دودیز ډول، د الوتکې د افقی محور څخه پورته سیمې مثبت دي پداسې حال کې چې لاندې سیمې منفي دي. Integrals د antiderivative مفکورې ته هم اشاره کوي ، یو فنکشن چې مشتق یې ورکړل شوی فعالیت دی؛ په دې حالت کې، دوی د غیر معین ادغام په نوم هم یادیږي . د محاسبې بنسټیز تیورم د توپیر سره د مشخص ادغام سره تړاو لري او د فعالیت د ټاکلي بشپړتیا محاسبه کولو لپاره میتود چمتو کوي کله چې د هغې ضد ضد پیژندل کیږي؛ توپیر او ادغام متضاد عملیات دي.

که څه هم د ساحو او حجمونو د محاسبې میتودونه د لرغوني یوناني ریاضیاتو څخه تیر شوي ، د ادغام اصول په خپلواکه توګه د 17 پیړۍ په وروستیو کې د اسحاق نیوټن او ګوتفریډ ویلهیم لیبنز لخوا جوړ شوي ، چا چې د منحني ساحه د لامحدود پراخو مستطیلونو لامحدود مجموعې په توګه فکر کاوه. . برنارډ ریمن وروسته بیا د ادغامونو یو سخت تعریف ورکړ، کوم چې د محدودې کړنالرې پر بنسټ والړ دی چې د منحل شوي سیمې ساحه په غیر محدود ډوله عمودی عمودی سلیبونو ویشلو سره نږدې کوي. د شلمې پیړۍ په لومړیو کې، هینري لیبیسګو د ریمان فارمولیشن د هغه څه په معرفي کولو سره عمومي کړ چې اوس د لیبیسګ انټیګرل په نوم یادیږي ؛ دا د ریمان په پرتله ډیر عمومي دی په دې معنی چې د دندو پراخه طبقه د لیبیسګو سره یوځای کیدونکي دي.

ادغام ممکن د فعالیت ډول او همدارنګه هغه ډومین پورې اړه ولري چې ادغام ترسره کیږي. د مثال په توګه، د لاین انټیګرل د دوو یا ډیرو متغیرونو دندو لپاره تعریف شوی، او د ادغام وقفه د یو منحني سره بدلیږي چې په فضا کې دوه ټکي سره نښلوي. د سطحې په انضمام کې ، وکر په درې اړخیزه فضا کې د سطحې د یوې ټوټې سره بدلیږي .

لومړنی مستند شوی سیستماتیک تخنیک چې د ادغامونو د ټاکلو وړتیا لري د لرغوني یوناني ستورپوه ایوډوکسوس او فیلسوف ډیموکریتس ( c. 370 BC) د ستړیا طریقه ده چې د ساحې او حجمونو موندلو په لټه کې و چې دوی یې په بې شمیره ویشونو ویشلي. ساحه یا حجم معلوم و. ^[1] دا طریقه په دریمه پیړۍ کې د آرکیمیډیز لخوا نوره پراختیا او کار واخیستل شوه او د یوې دایرې مساحت ، د سطحې مساحت او حجم ، د بیضوي مساحت ، د پارابولا لاندې ساحه ، د حجم حجم محاسبه کولو لپاره کارول کیده. د انقلاب د پارابولایډ یوه برخه ، د انقلاب د هایپربولایډ د یوې برخې حجم ، او د سرپل ساحه . ^[2]

ورته طریقه په چین کې د دریمې پیړۍ په شاوخوا کې د لیو هوی لخوا په خپلواکه توګه رامینځته شوه چې د دایرې د ساحې موندلو لپاره یې کارولې. دا طریقه وروسته په پنځمه پیړۍ کې د چینایي پلار او زوی ریاضی پوهانو زو چونګزی او زو ګنګ لخوا د یوې ساحې حجم موندلو لپاره وکارول شوه. ^[3]

په منځني ختیځ کې، حسن ابن الهيثم، چې په لاتیني ژبه د الحازن په نوم یادیږي ( ج.  965  – c.  1040 AD) د څلورم ځواک  د مجموعې لپاره یو فورمول اخیستی . ^[۴] الهزین د معادلې په واسطه تړل شوې ساحې محاسبه کولو لپاره معادلې ټاکلې چې د (کوم چې په معاصر نوټیشن کې انټیګرل ته ژباړل کیږي ) لخوا نمایش شوي ، د کوم غیر منفي انټیجر ارزښت لپاره . ^[5] هغه پایلې د دې لپاره وکارولې چې اوس به د دې فعالیت ادغام په نوم یادیږي ، چیرې چې د بشپړ مربع او څلورم ځواک د مقدارونو فورمول هغه ته اجازه ورکړه چې د پارابولایډ حجم محاسبه کړي . ^[6]${\displaystyle y=x^{k}}$${\displaystyle \int x^{k}\,dx}$${\displaystyle k}$

په بشپړ حساب کې راتلونکي مهم پرمختګونه تر 17 پیړۍ پورې څرګند شوي ندي. په دې وخت کې، د Cavalieri کار د هغه د نه ویشلو طریقې سره ، او د Fermat لخوا کار ، د عصري محاسبې بنسټ ایښودل پیل کړل، ^[7] چې Cavalieri د Cavalieri د کواډریچر فارمول کې د x ⁿ تر درجې n = 9 پورې د انضمام محاسبه کوله . ^[8] قضیه n = −1 د فنکشن اختراع ته اړتیا لري ، هایپربولیک لوګاریتم ، چې په 1647 کې د هایپربولا د چوکۍ له لارې ترلاسه شوی.

نور ګامونه د 17 پیړۍ په لومړیو کې د بارو او توریسیلي لخوا ترسره شوي ، چا چې د ادغام او توپیر ترمنځ د ارتباط لومړنۍ نښې وړاندې کړې . بارو د محاسبې د بنسټیز تیورم لومړی ثبوت وړاندې کړ . ^والیس د Cavalieri طریقه عمومي کړه، په عمومي ځواک کې د x د ضمیمې محاسبه کول، په شمول د منفي ځواک او جزوی ځواک . ^[10]

په ادغام کې لوی پرمختګ په 17 پیړۍ کې د لیبنز او نیوټن لخوا د محاسبې د بنسټیز تیورم خپلواک کشف سره راغی . ^[11] تیورم د ادغام او توپیر ترمنځ اړیکه ښیي. دا اړیکه، د توپیر د پرتله کولو آسانتیا سره یوځای، د بشپړتیا محاسبه کولو لپاره کارول کیدی شي. په ځانګړې توګه، د محاسبې بنسټیز تیورم یو چا ته اجازه ورکوي چې د ډیرو پراخه طبقو ستونزې حل کړي. په اهمیت کې مساوي جامع ریاضیاتي چوکاټ دی چې لیبنیز او نیوټن دواړو رامینځته کړی. د لامحدود محاسبې نوم ته په پام سره، دا د دوامداره ډومینونو سره د دندو دقیق تحلیل لپاره اجازه ورکوي. دا چوکاټ په نهایت کې عصري محاسبه شوه ، چې د ادغام لپاره نښه یې مستقیم د لیبنز له کار څخه اخستل شوې.

په داسې حال کې چې نیوټن او لیبنز د ادغام لپاره یو سیستماتیک چلند وړاندې کړ، د دوی کار د سختۍ کچه نه درلوده . بشپ برکلي په یادګاري توګه د نیوټن لخوا کارول شوي ورک شوي زیاتوالي باندې برید وکړ او دوی یې " د وتلو مقدارونو روح " وبلل. ^{[۱۲] کیلکولس د} حدودو په پراختیا سره یو قوي پښه ترلاسه کړه . ادغام لومړی د ریمان لخوا د محدودیتونو په کارولو سره په کلکه رسمي شو . که څه ^هم ټول بند شوي ټوټه ټوټه پرله پسې افعال د ریمان په یوه محدود وقفه کې د ادغام وړ دي، وروسته بیا نور عمومي افعال په پام کې ونیول شول - په ځانګړې توګه د فویریر تحلیل په شرایطو کې - چې د ریمان تعریف نه پلي کیږي، او لیبیسګ د انټیګرل مختلف تعریف جوړ کړ، د اندازه کولو تیوري کې تاسیس شوی (د ریښتینې تحلیل فرعي ساحه ). د ادغام نور تعریفونه، د ریمان او لیبیسګو طریقې پراخول، وړاندیز شوي. د ریښتیني شمیرې سیسټم پراساس دا طریقې نن ورځ خورا عام دي، مګر بدیل طریقې شتون لري، لکه د انټیګرل تعریف د لامحدود ریمان سمال د معیاري برخې په توګه، د هایپر ریل شمیرې سیسټم پراساس .

د غیرمستقیم ادغام لپاره یادښت په 1675 کې د ګوتفریډ ویلهیم لیبنز لخوا معرفي شو. ^[14] هغه د بشپړتیا سمبول ∫ د ſ ( اوږده s ) له لیک څخه جوړ کړ ، د summa لپاره ولاړ ( د ſumma په توګه لیکل شوی ؛ په لاتین کې د "مجموعه" یا "مجموعه" لپاره . مجموعه"). د ټاکلي انضمام لپاره عصري نوټیشن، د بشپړتیا نښه پورته او لاندې محدودیتونو سره، د لومړي ځل لپاره د جوزف فویریر لخوا د 1819-1820 په شاوخوا کې د فرانسې د اکاډمۍ په میمویر کې کارول شوی و، د 1822 په خپل کتاب کې بیا چاپ شو ^.

اسحاق نیوټن د متغیر څخه پورته یو کوچنی عمودی بار کارولی ترڅو ادغام څرګند کړي، یا متغیر په یوه بکس کې ځای پرځای کړي. عمودی بار په اسانۍ سره ګډوډ شوی و.xیا x ′ ، کوم چې د توپیر څرګندولو لپاره کارول کیږي، او د بکس نوټیشن د چاپګرانو لپاره بیا تولید ستونزمن و، نو دا نښې په پراخه توګه نه منل شوي. ^[16]

اصطلاح په لومړي ځل په 1690 کې د جیکب برنولي لخوا په لاتین کې چاپ شوه : "Ergo et horum Integralia aequantur". ^[17]

په عموم کې، د ریښتیني ارزښت لرونکي فنکشن انضمام f ( x ) د ریښتیني متغیر x په اړه په وقفه کې [ a , b ] لیکل کیږي

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

د ادغام نښه ∫ د ادغام استازیتوب کوي. د dx سمبول ، چې د متغیر x د توپیر په نوم یادیږي ، په ګوته کوي چې د ادغام متغیر x دی . فنکشن f ( x ) د ادغام په نوم یادیږي ، ټکي a او b د ادغام حدود (یا حدود) بلل کیږي، او انټیګرل د وقفې [ a , b ] په نوم یادیږي ، د ادغام وقفه بلل کیږي. ^[18] یو فنکشن ته ویل کیږي چې یوځای کیدونکی ويکه چیرې د هغې ډومین په بشپړ ډول محدود وي. که محدودیتونه مشخص شي، انټیګرل یو مشخص انټیګرل بلل کیږي.

کله چې حدود پریښودل شي، لکه څنګه چې په کې

${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$

انټیګرل د انډیفینیټ انټیګرل په نوم یادیږي، کوم چې د دندو د یوې ټولګې استازیتوب کوي ( انټيډیریویټیو ) چې مشتق یې انټیګرنډ دی. ^[19] د محاسبې بنسټیز تیورم د ټاکلي بشپړتیا ارزونه د غیر معین انټیګرالونو سره تړاو لري. د ادغام لپاره د نوټیشن ډیری توسیعونه شتون لري ترڅو په غیر محدود ډومینونو کې ادغام او/یا په څو ابعادو کې شامل شي (د دې مقالې وروسته برخې وګورئ).

په پرمختللو ترتیباتو کې، دا غیر معمولي نه ده چې dx پریږدئ کله چې یوازې ساده ریمن انټیګرل کارول کیږي، یا د بشپړ ډول بشپړ ډول غیر ضروري وي. د مثال په توګه، یو څوک کولی شي د بشپړتیا خطي څرګندولو لپاره ولیکي ، یو ملکیت چې د ریمن انټیګرل لخوا شریک شوی او د هغې ټول عمومي کول. ^[20]${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$

ادغام په ډیری عملی حالتونو کې څرګندیږي. د بېلګې په توګه، د لامبو حوض د اوږدوالي، عرض او ژوروالي څخه چې مستطیل دی د فلیټ لاندې سره، یو څوک کولی شي د اوبو حجم، د هغې د سطحې مساحت، او د هغې د غاړې اوږدوالی معلوم کړي. مګر که دا د ګردي لاندې سره بیضوي وي، د دې مقدارونو لپاره دقیق او سخت ارزښت موندلو لپاره انټیګرلز ته اړتیا ده. په هر حالت کې، یو څوک کولی شي غوښتل شوي مقدار په لامحدود ډیری لامحدود ټوټو وویشي، بیا د دقیق اندازې ترلاسه کولو لپاره ټوټې راټول کړئ.

د بل مثال په توګه، د سیمې د ساحې موندلو لپاره چې د فنکشن د ګراف لخوا تړل شوي f ( x ) = د x = 0 او x = 1 ترمنځ ، یو څوک کولی شي وقفه په پنځو ټوټو وویشي ( 0, 1/5, 2/5 , ..., 1 )، بیا د هرې ټوټې د ښي پای لوړوالي په کارولو سره مستطیلونه جوړ کړئ (په دې توګه √ 0 , √ 1/5 , √ 2/5 , ..., √ 1 ) او د دوی ساحو راټول کړئ ترڅو نږدېوالی ترلاسه کړي ${\textstyle {\sqrt {x}}}$

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497,}$

کوم چې د دقیق ارزښت څخه لوی دی. په بدیل سره، کله چې دا فرعي وقفې د هرې برخې د کیڼ پای لوړوالي سره د یو په واسطه ځای په ځای کړئ، د هغه نږدېوالی خورا ټیټ دی: د دولسو فرعي وقفو سره نږدې ساحه یوازې 0.6203 ده. په هرصورت، کله چې د ټوټو شمیر لامحدود ته لوړ شي، دا به هغه حد ته ورسیږي چې د غوښتل شوي ساحې دقیق ارزښت دی (په دې حالت کې، 2/3 ). یو لیکي

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},}$

دا پدې مانا ده چې 2/3 د فعالیت ارزښتونو د وزن لرونکې مجموعې پایله ده، √ x ، د لامحدود مرحلې پلنوالی لخوا ضرب شوی، په وقفه کې د dx لخوا ښودل شوی [0, 1] .

په رسمي توګه د بشپړتیا تعریف کولو ډیری لارې شتون لري، چې ټول یې مساوي ندي. توپیرونه اکثرا د مختلف ځانګړو قضیو سره معامله کولو لپاره شتون لري کوم چې ممکن د نورو تعریفونو لاندې مدغم نشي ، مګر کله ناکله د تدریسي دلیلونو لپاره هم شتون لري. ترټولو عام کارول شوي تعریفونه د Riemann integrals او Lebesgue integrals دي.

د ریمن انټیګرل د ریمان د دندو د مجموعو له مخې د وقفې د ټاګ شوي برخې په اړه تعریف شوی . ^[21] په ریښتیني کرښه کې د تړل شوي وقفې [ a , b ] نښه شوې برخه یو محدود ترتیب دی

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

دا وقفه [ a , b ] په n فرعي وقفو [ x _{i −1} , x _i ] د i لخوا ترتیب شوی ، چې هر یو یې د ځانګړي ټکي سره " ټګ شوی" دی t _i ∈ [ x _{i −1} , x _i ] . د دې ډول ټګ شوي برخې په اړه د ریمان د فنکشن f په توګه تعریف شوی

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};}$

په دې توګه د مجموعې هره اصطلاح د مستطیل ساحه ده چې د ټاکل شوي فرعي وقفې په ټاکل شوي نقطه کې د فعالیت ارزښت سره مساوي لوړوالی لري، او عرض یې د فرعي وقفې د عرض په څیر دی، Δ _i = x _i − x _{i -1} . د دې ډول ټګ شوي ویش میش د لوی فرعي وقفې عرض دی چې د برخې لخوا رامینځته شوی، max i _{= 1... n} Δ _i . په وقفه [ a , b ] کې د یوه فنکشن ریمان انټیګرل د S سره مساوي دی که: ^[22]

د ټولو لپاره داسې شتون لري چې د هرې ټاګ شوي برخې لپاره له میش څخه کم وي ،${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

کله چې غوره شوي ټاګونه په هر وقفه کې د فعالیت اعظمي (په ترتیب سره، لږترلږه) ارزښت وي، د ریمن مجموعه د ډاربوکس مجموعه پورته (په ترتیب سره، ټیټ) کیږي، چې د ریمان انټیګرل او ډاربوکس انټیګرل ترمنځ نږدې اړیکه وړاندیز کوي .

دا اکثرا د ګټو وي، دواړه په تیوري او غوښتنلیکونو کې، د بشپړتیا لاندې حد ته د تیریدو وړ وي. د مثال په توګه، د دندو یو سلسله په مکرر ډول رامینځته کیدی شي چې نږدې ، په مناسب معنی کې ، د ستونزې حل وي. بیا د حل فنکشن ادغام باید د نږدې کیدو د ادغام حد وي. په هرصورت، ډیری دندې چې د محدودیتونو په توګه ترلاسه کیدی شي د ریمان انټیګریبل ندي، او له همدې امله دا ډول محدودیت نظرونه د ریمن انټیګرل سره ندي. له همدې امله، دا خورا مهم دی چې د بشپړتیا تعریف ولرئ چې د پراخو ټولګیو دندو ادغام ته اجازه ورکوي. ^[۲۳]

دا ډول انټیګرل د لیبیسګو انټیګرل دی، چې د ادغام وړ دندو د ټولګي د پراخولو لپاره د لاندې حقیقت څخه کار اخلي: که چیرې د فنکشن ارزښتونه په ډومین کې بیا تنظیم شي، د فنکشن ادغام باید یو شان پاتې شي. په دې توګه هینري لیبیسګو د خپل نوم سره انټیګرل معرفي کړ، دا ضمیمه یې په دې توګه د پاول مونټیل په لیک کې تشریح کړه : ^[24]

زه باید یوه اندازه پیسې ورکړم، کوم چې ما په خپل جیب کې راټول کړي دي. زه بیلونه او سکې له خپل جیب څخه واخلم او پور ورکوونکي ته یې په ترتیب سره ورکړم چې زه یې ومومم تر هغه چې زه ټول مقدار ته ورسیدم. دا د ریمن انټیګرل دی. مګر زه کولی شم په بل ډول پرمخ لاړ شم. وروسته له دې چې ما له خپل جیب څخه ټولې پیسې واخیستې زه بیلونه او سکې د ورته ارزښتونو سره سم ترتیبوم او بیا زه پور ورکوونکي ته یو په بل پسې څو ټوټي ورکوم. دا زما ضمیمه ده.

لکه څنګه چې فولانډ دا لیکي، "د f د ریمن انټیګرل محاسبه کولو لپاره ، یو ډومین [ a ، b ] په فرعي وقفو کې ویشي"، پداسې حال کې چې په لیبیسګ انټیګرل کې، "یو په اغیزمنه توګه د f سلسله ویشل کیږي ". ^[25] په دې توګه د لیبسګو انټیګرل تعریف د اندازه کولو سره پیل کیږي ، μ. په ساده حالت کې، د لیبیسګو اندازه μ ( A ) د وقفې A = [ a , b ] د هغې عرض، b − a دی ، نو د لیبیسګو انټیګرل د (مناسب) ریمن انټیګرل سره موافق دی کله چې دواړه شتون ولري. ^[26] په ډیرو پیچلو قضیو کې، هغه سیټونه چې اندازه کیږي کیدای شي ډیره ټوټه ټوټه شي، پرته له کوم تسلسل او وقفې سره ورته والی نلري.

د فلسفې په کارولو سره د " f د سلسلې ویشل " فلسفه، د غیر منفي فعالیت بشپړول f  : R → R باید د y = t او y = t + dt ترمنځ د پتلی افقی پټو تر مینځ د ساحو مجموعه وي . دا سیمه یوازې μ { x  : f ( x ) > t }  dt ده . اجازه راکړئ f ^∗ ( t ) = μ { x  : f ( x ) > t } . د f د لیبیسګ انضمام بیا د دې لخوا تعریف شوی

${\displaystyle \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt}$

چیرې چې په ښي اړخ کې انټیګرل یو عادي ناسم ریمان انټیګرل دی ( f ^∗ په کلکه کم شوی مثبت فعالیت دی، او له همدې امله یو ښه تعریف شوی ناسم ریمان انټیګرل لري). ^[27] د مناسبو ټولګیو دندو لپاره (د اندازه کولو وړ افعال ) دا د لیبسګو انټیګرل تعریفوي.

د عمومي اندازه کولو وړ فنکشن f د لیبیسګو - ادغام وړ دی که چیرې د f او x - محور ګراف تر مینځ د سیمو د مطلق ارزښتونو مجموعه محدوده وي: ^[28]

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .}$

په دې حالت کې، ضمیمه ده، لکه څنګه چې د ریمانین په قضیه کې، د ایکس محور څخه پورته ساحې او د ایکس محور لاندې ساحې ترمنځ توپیر دی : ^[29]

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu }$

چیرته

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}}$

که څه هم د ریمن او لیبیسګو انټیګرل د انټیګرل ترټولو پراخه کارول شوي تعریفونه دي، یو شمیر نور شتون لري، په شمول:

• د ډاربوکس انټیګرل ، کوم چې د ډاربوکس مجموعو لخوا تعریف شوی (محدود Riemann sums) بیا هم د ریمان انټیګرل سره برابر دی . یو فنکشن Darboux-integrable دی که چیرې او یوازې که دا د Riemann-integrable وي. Darboux integrals دا ګټه لري چې د ریمان انټیګرلز په پرتله تعریف کول اسانه دي.
• د Riemann-Stieltjes integral ، د ریمان انټیګرل غزول چې د متغیر په مقابل کې د فعالیت په اړه مدغم کیږي.
• د Lebesgue – Stieltjes Integral ، نور د جوهان راډون لخوا رامینځته شوی ، کوم چې د ریمان – سټیلټجیس او لیبیسګو انټیګرالونه عمومي کوي.
• د ډینیل انټیګرل ، کوم چې د لیبیسګو انټیګرل او لیبیسګو – سټیلټجیس انټیګرل پرته له دې چې اقداماتو پورې اړه ولري .
• د هار انټیګرل ، په محلي توګه د کمپیکٹ ټوپولوژیکي ګروپونو د ادغام لپاره کارول کیږي، چې په 1933 کې د الفریډ هار لخوا معرفي شوی.
• د Henstock-Kurzweil Integral ، په مختلفو ډولونو د ارناؤډ ډینجوی ، اوسکار پیرون ، او (ډیری په زړه پوری، د ګیج انټیګرل په توګه) جاروسلاو کورزویل لخوا تعریف شوی ، او د رالف هینسټیک لخوا رامینځته شوی .
• د خنچین بشپړتیا ، د الکساندر خنچین په نوم نومول شوی .
• د Itô integral او Stratonovich integral ، کوم چې د سیمیمارټینګیلونو لکه براونین حرکت په اړه ادغام تعریفوي .
• د ځوان انټیګرل ، کوم چې د بې حده تغیراتو د ځانګړو دندو په پام کې نیولو سره د ریمان – سټیلټجیس یو ډول دی .
• د روف لار انټیګرل، کوم چې د ځینې اضافي "کچه لارې" جوړښت سره سمبال شوي دندو لپاره تعریف شوي او د دواړو سیمیمارټینګیلونو او پروسو په وړاندې د سټوچیسټیک ادغام عمومي کوي لکه د فرکشن براونین حرکت .
• د چوکیټ انټیګرل ، یو فرعي اضافه یا سوپر اډیټیو انټیګرل دی چې په 1953 کې د فرانسوي ریاضي پوه ګوستاو چوکیټ لخوا رامینځته شوی.
• د بوچنر انټیګرل ، د لیبیسګو انټیګرل عمومي کول د هغو دندو لپاره چې ارزښتونه یې د بانچ په ځای کې اخلي .

په یوه تړلي وقفه کې د Riemann-Integrable افعالو ټولګه [ a , b ] د یوه ویکتور ځای جوړوي چې د یوې اسکالر پواسطه د نقطې په واسطه د اضافه کولو او ضرب کولو عملیات او د ادغام عملیات دي.

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx}$

په دې ویکتور ځای کې یو خطي فعالیت دی. په دې توګه د ادغام وړ افعالو ټولګه د خطي ترکیبونو په اخیستلو سره تړل کیږي ، او د خطي ترکیب ادغام د ادغامونو خطي ترکیب دی: ^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}$

په ورته ډول، د ریښتیني ارزښت لرونکي لیبیسګو - انټیګریبل افعالونو سیټ په ټاکل شوي اندازه کولو ځای E سره د اندازه μ سره د خطي ترکیبونو په اخیستلو سره تړل کیږي او له همدې امله د ویکتور ځای رامینځته کوي ، او لیبیسګ انټیګرل.

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu }$

په دې ویکتور ځای کې یو خطي فعالیت دی، نو دا چې: ^[29]

${\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .}$

په عموم ډول، د اندازه کولو ځای ( E ، μ ) کې د ټولو اندازه کولو وړ دندو د ویکتور ځای په پام کې ونیسئ ، په محلي ډول کمپیکٹ بشپړ ټوپیولوژیکي ویکتور ځای V کې ارزښتونه په محلي ډول کمپیکٹ ټوپولوژیکي ساحه K , f  : E → V . بیا یو څوک کولی شي د خلاصې ادغام نقشه تعریف کړي چې هر فنکشن ته د V عنصر یا سمبول ∞ ،

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,}$

چې د خطي ترکیبونو سره مطابقت لري. ^{[31] په دې حالت کې، خطي د دندو د فرعي ځای لپاره ساتل کیږي چې بشپړتیا یې د} V عنصر دی (یعنې "متحد"). تر ټولو مهمې ځانګړې قضیې هغه وخت رامنځته کیږي کله چې K د R ، C ، یا د p-adic شمیرو Q _p د ساحې محدود توسیع وي ، او V د K په اړه یو محدود ابعادي ویکتور ځای وي ، او کله چې K = C او V یو پیچلي وي. د هیلبرټ ځای

خطيتوب، د ځینې طبیعي تسلسل ملکیتونو سره یوځای او د "ساده" دندو د یوې ځانګړې طبقې لپاره نورمال کولو سره، ممکن د بشپړتیا بدیل تعریف وړاندې کولو لپاره وکارول شي. دا د ډینیل کړنلاره ده چې د ریښتیني ارزښت لرونکي افعالو قضیې لپاره د X په سیټ کې ، د نیکولاس بورباکي لخوا په سیمه ایز ډول کمپیکٹ ټوپولوژیکي ویکتور ځای کې د ارزښتونو سره د فعالیتونو لپاره عمومي شوی. د انټیګرل د محوری ځانګړتیا لپاره هیلډبرنډټ 1953 وګورئ.

یو شمیر عمومي نابرابرۍ د ریمان - ادغام وړ دندو لپاره لري چې په تړل شوي او محدود وقفه کې تعریف شوي [ a ، b ] او د انټیګرل نورو مفکورو (لیبیسګو او ډینیل) ته عمومي کیدی شي.

• پورتنۍ او ښکته حدونه. په [ a , b ] کې د یوځای کیدونکي فعالیت f په لازمي ډول په دې وقفه پورې تړلی دی . په دې توګه په [ a , b ] کې د ټولو x لپاره m او M ریښتینې شمیرې شتون لري ترڅو m ≤ f  ( x ) ≤ M. څرنګه چې د f [ a , b ] ښکته او پورتنۍ مقدارونه په ترتیب سره د m ( b − a ) او M ( b − a ) پورې تړلي دي ، دا په لاندې ډول دي. $${\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).}$$
• د دندو تر منځ نابرابري. ^[32] که f ( x ) ≤ g ( x ) په [ a , b ] کې د هر x لپاره وي نو د f پورتنۍ او ښکته مجموعې هر یو په ترتیب سره د پورتنۍ او ښکته مقدارونو سره تړل کیږي . په دې توګه دا د پورتنیو نابرابریو عمومي کول دي، ځکه چې M ( b − a ) د دوامداره فعالیت انسجام دی چې د M په ارزښت [ a , b ] سره . برسېره پر دې، که د دندو تر منځ نابرابري سخته وي، نو د ادغامونو ترمنځ نابرابري هم سخته ده. يعنې که f ( x ) < g ( x ) په [ a , b ] کې د هر x لپاره ، نو$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$
• فرعي وقفې. که [ c , d ] د [ a , b ] subinterval وي او f  ( x ) د ټولو x لپاره غیر منفي وي نو بیا$${\displaystyle \int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$
• محصولات او د دندو مطلق ارزښتونه. که f او g دوه دندې وي، نو موږ کولی شو د دوی نقطه محصولات او ځواک، او مطلق ارزښتونه په پام کې ونیسو : که f په [ a , b ] کې د ریمان سره یوځای کیدونکی وي نو د | f | او برسېره پر دې، که f او g دواړه د Riemann-integrable وي نو fg هم د Riemann-Integrable وي، او دا نابرابري، چې د Cauchy-Schwarz نابرابرۍ په نامه یادېږي، د هیلبرټ د خلا تیوري کې مهم رول لوبوي ، چیرته چې کیڼ اړخ ورته تشریح شوی. په وقفه کې د دوه مربع سره یوځای کیدونکي افعال f او g داخلي محصول [ a , b ] .$${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.}$$$${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$$$${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).}$$
• د هولډر نابرابري ^[33] فرض کړئ چې p او q دوه اصلي شمیرې دي، 1 ≤ p ، q ≤ ∞ سره1/مخ+​​1/q⁠ = 1 ، او f او g دوه د ریمان سره یوځای کیدونکي دندې دي. بیا دندې | f | ^p او | g | ^q هم مدغم کېدونکي دي او لاندې د هولډر نابرابرۍ لري: د p = q = 2 لپاره، د هولډر نابرابرۍ د Cauchy-Schwarz نابرابرۍ بدلیږي.$${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$$
• مینکوسکي نابرابري فرض کړئ چې p ≥ 1 ^یو ریښتینی شمیر دی او f او g د ریمان سره یوځای کیدونکي افعال دي. بیا | f | ^p , | g | ^p او | f + g | ^p هم د Riemann-integrable دي او لاندې Minkowski نابرابرۍ لري: د دې نابرابرۍ یو انالوګ د لیبیسګو انټیګرل لپاره ^د Lp ځایونو په جوړولو کې کارول کیږي . $${\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$$

په دې برخه کې، f یو ریښتیني ارزښت لرونکی رییمان - یوځای کیدونکی فعالیت دی . بشپړتیا

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

په وقفه کې [ a , b ] تعریف شوی که چیرې a < b . دا پدې مانا ده چې د f فنکشن پورتنۍ او ټیټې برخې په یوه برخه کې ارزول کیږي a = x ₀ ≤ x ₁ ≤. . . ≤ x _n = b چې ارزښت یې x _i مخ په زیاتیدو دی. په جیومیټریک ډول، دا په ګوته کوي چې ادغام د "کیڼ څخه ښیې" ترسره کیږي، په وقفو کې د f ارزونه [ x _i  , x _{i  +1} ] چیرې چې یو وقف د لوړ شاخص سره د ټیټ شاخص سره د یو ښي خوا ته وي. د a او b ارزښتونه ، د وقفې پای ټکي ، د f د ادغام حدود بلل کیږي . ادغام هم تعریف کیدی شي که a > b : ^[18]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}$

د a = b سره ، دا معنی لري:

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}$

لومړی کنوانسیون د [ a , b ] د فرعي وقفو په اړه د ادغام اخیستلو په پام کې نیولو سره اړین دی . دویمه وايي چې یو انټیګرل په یوه تخریب شوي وقفه کې اخیستل کیږي، یا یو ټکی باید صفر وي . د لومړي کنوانسیون یو دلیل دا دی چې په وقفه [ a ، b ] کې د f ادغامیت پدې معنی دی چې f په هر فرعي وقفه کې مدغم کیدونکی دی [ c , d ] ، مګر په ځانګړي توګه ادغام دا ملکیت لري چې که c د [ a] عنصر وي . , b ] ، بیا : ^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$

د لومړي کنوانسیون سره، پایله شوې اړیکه

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

بیا د a , b , او c د هر ډول سایکلیک ترتیب لپاره ښه تعریف شوی .

د محاسبې بنسټیز تیورم هغه بیان دی چې توپیر او ادغام متضاد عملیات دي: که چیرې یو دوامداره فعالیت لومړی مدغم شي او بیا توپیر وکړي ، اصلي فعالیت بیرته ترلاسه کیږي. یوه مهمه پایله چې کله ناکله د حساب دوهم بنسټیز تیورم په نوم یادیږي ^، یو چا ته اجازه ورکوي چې د ادغام کولو لپاره د فنکشن ضد ضد کارونې په کارولو سره انټیګرالونه محاسبه کړي. ^[۳۵]

اجازه راکړئ چې f یو دوامداره ریښتیني ارزښت لرونکی فعالیت وي چې په تړل شوي وقفه کې تعریف شوی [ a , b ] . اجازه راکړئ چې F هغه فنکشن وي چې د ټولو x لپاره په [ a , b ] کې د ^[36] لخوا تعریف شوی.

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

بیا، F په [ a , b ] کې دوام لري ، په خلاص وقف ( a , b ) کې د توپیر وړ دی ، او

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

د ټولو x لپاره په ( a , b ) کې .

اجازه راکړئ f یو ریښتینی ارزښت لرونکی فعالیت وي چې په تړل شوي وقفه کې تعریف شوی [ a , b ] چې په [ a , b ] کې د ضد ضد F اعتراف کوي . يعنې f او F داسې افعال دي چې د ټولو x لپاره په [ a , b ] ,

${\displaystyle f(x)=F'(x).}$

که f په [ a , b ] کې مدغم شي نو بیا

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

د "مناسب" ریمان انټیګرل داسې انګیرل کیږي چې ادغام په یو تړل شوي او محدود وقفه کې تعریف شوی او محدود دی، د ادغام د محدودیتونو لخوا بریکٹ شوی. یو ناسم ادغام هغه وخت رامینځته کیږي کله چې د دې شرایطو څخه یو یا ډیر مطمئن نه وي. په ځینو مواردو کې دا ډول ادغامونه په تدریجي ډول په لویو وقفو کې د مناسبو ریمان انټیګرلز د سلسلې حد په پام کې نیولو سره تعریف کیدی شي .

که وقفه بې حده وي، د بیلګې په توګه په پورتنۍ پای کې، نو ناسم انډول هغه حد دی ځکه چې پای ټکی انفینیت ته ځي: ^[37]

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

که انټیګرینډ یوازې په نیم خلاص وقف کې تعریف شوی یا محدود وي، د بیلګې په توګه ( a ، b ] ، نو بیا یو حد ممکن یو محدود پایله وړاندې کړي: ^[38]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)\,dx.}$

دا دی، ناسم ادغام د مناسبو ادغامونو حد دی ځکه چې د ادغام د وقفې یوه پای نقطه یا یو مشخص حقیقي شمیره ، یا ∞ ، یا −∞ . په ډیرو پیچلو قضیو کې، په دواړو پایو، یا داخلي نقطو کې محدودیتونه اړین دي.

لکه څنګه چې د یو متغیر د مثبت فعالیت ټاکلی ضمیمه د فنکشن د ګراف او x - محور ترمنځ د سیمې ساحه څرګندوي ، د دوه متغیرونو د مثبت فعالیت دوه ګونی انضمام د سطحې ترمنځ د سیمې حجم څرګندوي. د فنکشن او الوتکې لخوا چې د هغې ډومین لري. ^[39] د مثال په توګه، په دوو ابعادو کې یو فعالیت په دوو اصلي متغیرونو، x او y پورې اړه لري، او د مستطیل R په وړاندې د فنکشن f انضمام د دوو وقفو د کارټیزین محصول په توګه لیکل کیدی شي. ${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$

${\displaystyle \int _{R}f(x,y)\,dA}$

چیرته چې توپیر dA په ګوته کوي چې ادغام د ساحې په اړه اخیستل کیږي. دا دوه ګونی ادغام د Riemann sums په کارولو سره تعریف کیدی شي ، او د z = f ( x , y ) د ډومین R په ګراف کې د ( لاسلیک شوي) حجم استازیتوب کوي . ^[40] د مناسبو شرایطو لاندې (د مثال په توګه، که f دوامدار وي)، د فوبیني تیورم وايي چې دا بشپړتیا د مساوي تکرار شوي انټیګرل په توګه بیان کیدی شي ^[41]

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.}$

دا د یو ابعادي انټیګرل کمپیوټري کولو لپاره د دوه اړخیز انډول کولو ستونزه کموي. د دې له امله، د R څخه د بشپړتیا لپاره یو بل یادښت د دوه اړخیز انډول نښه کاروي: ^[40]

${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA.}$

په نورو عمومي ډومینونو کې ادغام ممکن دی. د فکشن بشپړتیا ، د حجم په پام کې نیولو سره، د D په نیمه ابعادي سیمه کې د سمبولونو لخوا ښودل کیږي لکه: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.}$

د ادغام مفهوم د ادغام نور عمومي ډومینونو ته غزول کیدی شي، لکه منحل شوي کرښې او د لوړو ابعادو ځایونو دننه سطحې. دا ډول ادغامونه په ترتیب سره د لاین ادغام او سطحي ادغام په نوم پیژندل کیږي. دا په فزیک کې مهم غوښتنلیکونه لري، لکه څنګه چې د ویکتور ساحو سره معامله کوي .

د لاین انټیګرل (کله ناکله د path integral په نوم یادیږي ) یو انټیګرل دی چیرې چې د مدغم کیدو فعالیت د وکر سره ارزول کیږي . ^[42] مختلف مختلف لاین انضمامونه په کار وړل کیږي. د تړل شوي وکر په حالت کې دې ته د کنټور انټیګرل هم ویل کیږي .

هغه فعالیت چې مدغم کیږي ممکن د سکالر ساحه یا د ویکتور ساحه وي . د لاین انټیګرل ارزښت د منحني په ټولو ټکو کې د ساحې د ارزښتونو مجموعه ده چې په منحني برخه کې د ځینې سکیلر فنکشن لخوا وزن کیږي (عموما د آرک اوږدوالی یا د ویکتور ساحې لپاره، د ویکتور ساحې سکیلر محصول د توپیر سره په وکر کې ویکتور). ^{[۴۳] دا وزن} د انټروالونو په اړه تعریف شوي ساده انټیګرلونو څخه د لاین بشپړتیا توپیر کوي . په فزیک کې ډیری ساده فورمولونه د لاین ادغامونو له مخې طبیعي دوامداره انلاګونه لري؛ د مثال په توګه، دا حقیقت چې کار د ځواک سره مساوي دی ، F ، د بې ځایه کیدو سره ضرب شوی، s ، کیدای شي څرګند شي (د ویکتور مقدارونو له مخې) لکه: ^[44]

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .}$

د یو څیز لپاره چې د ویکتور فیلډ F کې د C لارې په اوږدو کې حرکت کوي لکه بریښنایی ساحه یا د جاذبې ساحه ، ټول هغه کار چې په څیز باندې د ساحې لخوا ترسره کیږي د s څخه s + d s ته په حرکت کې د توپیري کار په لنډولو سره ترلاسه کیږي . . دا کرښه بشپړوي ^[45]

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .}$

د سطحي انضمام په سطحه د ادغام لپاره دوه ګوني ادغامونه عمومي کوي (کوم چې ممکن په خلا کې منحل سیټ وي )؛ دا د لاین انټیګرل دوه اړخیز انلاګ په توګه فکر کیدی شي . هغه فعالیت چې مدغم کیږي ممکن د سکالر ساحه یا د ویکتور ساحه وي . د سطحې انضمام ارزښت د سطحې په ټولو ټکو کې د ساحې مجموعه ده. دا د سطحي عناصرو په ویشلو سره ترلاسه کیدی شي، کوم چې د ریمن مقدارونو لپاره ویش چمتو کوي. ^[۴۶]

د سطحي ادغامونو د غوښتنلیک د مثال لپاره، په سطحه S د ویکتور ساحه په پام کې ونیسئ ؛ یعنې په S کې د هر ټکي x لپاره ، v ( x ) یو ویکتور دی. تصور وکړئ چې یو مایع د S له لارې تیریږي ، داسې چې v ( x ) په x کې د مایع سرعت ټاکي . فلکس د مایع مقدار په توګه تعریف شوی چې د S له لارې بهیږي د وخت په واحد مقدار کې. د فلکس موندلو لپاره، یو څوک باید په هره نقطه کې S ته د واحد سطح نورمال سره د v د نقطې محصول واخلي ، چې دا به یو سکیلر ساحه ورکړي، کوم چې د سطحې سره یوځای کیږي: ^[47]

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.}$

پدې مثال کې د مایع جریان ممکن د فزیکي مایع څخه وي لکه اوبه یا هوا، یا د بریښنا یا مقناطیسي جریان څخه. په دې توګه د سطحې ادغامونه په فزیک کې غوښتنلیکونه لري، په ځانګړې توګه د برقی مقناطیسي تیوري سره .

په پیچلي تحلیل کې ، انټیګرینډ د ریښتیني متغیر x د اصلي فعالیت پرځای د پیچلي متغیر z پیچلي ارزښت لرونکی فعالیت دی . کله چې یو پیچلي فعالیت په پیچلي الوتکه کې د منحني سره مدغم شي ، انټیګرل په لاندې ډول پیژندل کیږي ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz.}$

دا د کنټور انټیګرل په نوم پیژندل کیږي .

د تفریق بڼه د څو متغیر کیلکولوس ، ډیفرنشل ټوپولوژی ، او ټینسرونو په برخو کې ریاضیاتی مفهوم دی . توپیرونه د درجې له مخې تنظیم شوي. د مثال په توګه، یو شکل د همغږۍ د توپیرونو وزن لرونکی مجموعه ده، لکه:

${\displaystyle E(x,y,z)\,dx+F(x,y,z)\,dy+G(x,y,z)\,dz}$

چیرته چې E , F , G په دریو ابعادو کې فعالیت کوي. یو توپیر لرونکی یو فورمه په یوه متمرکزه لار کې مدغم کیدی شي، او پایله لرونکي انټیګرل د لاین انټیګرل لیکلو بله لاره ده. دلته بنسټیز توپیرونه dx ، dy ، dz د دریو همغږي محورونو سره موازي لامحدود متقابل اوږدوالی اندازه کوي.

یو توپیر دوه شکله د فورمې مجموعه ده

${\displaystyle G(x,y,z)\,dx\wedge dy+E(x,y,z)\,dy\wedge dz+F(x,y,z)\,dz\wedge dx.}$

دلته بنسټیز دوه بڼې د همغږي دوه الوتکو سره موازي موقعیت اندازه کوي. سمبول د ویج محصول ته اشاره کوي ، کوم چې د کراس محصول سره ورته دی په دې معنی چې د دوه شکلونو د ویج محصول چې د متمرکز اوږدوالی استازیتوب کوي د متمرکز ساحې استازیتوب کوي. دوه شکله کیدای شي په یو متقابل سطح کې مدغم شي، او پایله لرونکي انټیګرل د سطحي انټیګرل سره مساوي وي چې د فلکس ورکوي . ${\displaystyle dx\wedge dy,dz\wedge dx,dy\wedge dz}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle E\mathbf {i} +F\mathbf {j} +G\mathbf {k} }$

د کراس محصول، او د درې اړخیز ویکتور حسابونو برخلاف، د ویج محصول او د توپیري بڼو محاسبه په خپل سري ابعاد او په نورو عمومي څو اړخیزو (منحنونو، سطحو، او د دوی لوړ ابعادي انلاګونو) کې معنی لري. خارجي مشتق د ویکتور کیلکولوس د تدریجي او curl رول لوبوي ، او د سټوکس تیورم په ورته وخت کې د ویکتور کیلکولوس درې تیورمونه عمومي کوي: د انحراف تیورم ، د ګرین تیورم ، او د کیلوین - سټوکس تیورم .

د ادغام جلا معادل لنډیز دی . لنډیزونه او ادغامونه د لیبیسګو انټیګرلز یا د وخت پیمانه محاسبې تیوري په کارولو سره په ورته بنسټونو کې کیدی شي .

یو ادغام چې د یو متغیر (یا په فزیک کې، د ځای یا وخت په ابعاد کې) نه ترسره کیږي، مګر د دندو په ځای کې ترسره کیږي، د فعال انټیګرل په توګه راجع کیږي .

Integrals په ډیری برخو کې په پراخه کچه کارول کیږي. د مثال په توګه، د احتمال په تیوري کې، انټیګرلز د یو ټاکلي حد کې د ځینې تصادفي تغیراتو احتمال ټاکلو لپاره کارول کیږي . ^{برسېره پردې، د ټول} احتمالي کثافت فعالیت الندې ضمیمه باید د 1 سره مساوي وي، کوم چې دا ازموینه وړاندې کوي چې ایا کوم فعالیت چې هیڅ منفي ارزښت نلري د کثافت فعالیت وي که نه. ^[۴۹]

Integrals د دوه اړخیزه سیمې د ساحې محاسبه کولو لپاره کارول کیدی شي چې منحل حد لري، په بیله بیا د درې اړخیز اعتراض حجم محاسبه کولو لپاره چې منحل حد لري. د دوه اړخیزې سیمې ساحه د پورته ذکر شوي قطعي بشپړتیا په کارولو سره محاسبه کیدی شي. ^[50] د دری اړخیز څیز حجم لکه ډیسک یا واشر د سلنډر حجم لپاره د مساوات په کارولو سره د ډیسک ادغام له لارې محاسبه کیدی شي ، شعاع چیرې ده. د ساده ډیسک په صورت کې چې د x - محور په اړه د وکر په څرخولو سره رامینځته شوی، وړانګه د f ( x ) لخوا ورکول کیږي ، او لوړوالی یې توپیر dx دی . د a او b حدونو سره د انټیګرل په کارولو سره د ډیسک حجم مساوي دی: ^[51] انټیګرالونه په فزیک کې هم کارول کیږي ، د کایناتیک په څیر برخو کې د مقدار موندلو لپاره لکه بې ځایه کیدل ، وخت او سرعت . د مثال په توګه، په مستطیل حرکت کې ، د وخت په وقفه کې د شیانو بې ځایه کیدل د ${\displaystyle \pi r^{2}h}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx.}$$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,}$

چیرته چې سرعت د وخت د فعالیت په توګه څرګند شوی. ^[52] هغه کار چې د ځواک لخوا ترسره کیږي (د موقعیت د فعالیت په توګه ورکول کیږي) له لومړني حالت څخه وروستي حالت ته : ^[53]${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.}$

Integrals په ترموډینامیک کې هم کارول کیږي ، چیرته چې د تودوډینامیک ادغام د دوو ورکړل شویو حالتونو ترمنځ د وړیا انرژي توپیر محاسبه کولو لپاره کارول کیږي.

د یو ریښتیني متغیر د ټاکلو انډولونو محاسبه کولو لپاره ترټولو بنسټیز تخنیک د محاسبې د بنسټیز تیورم پر بنسټ والړ دی . اجازه راکړئ چې f ( x ) د x فعالیت وي چې په یوه ټاکل شوي وقفه کې مدغم شي [ a , b ] . بیا، د f یو ضد اختصاص پیدا کړئ ؛ یعني، یو فنکشن F داسې دی چې F ′ = f په وقفه کې. په دې شرط چې ادغام او ادغام د محاسبې د بنسټیز تیورم له مخې د ادغام په لاره کې هیڅ واحد نه وي،

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

ځینې ​​​​وختونه دا اړینه ده چې د ډیری تخنیکونو څخه یو وکاروئ چې د ادغامونو ارزولو لپاره رامینځته شوي. ډیری دا تخنیکونه یو بشپړ د مختلف په توګه بیا لیکي کوم چې امید لري ډیر د پام وړ وي. په تخنیکونو کې د بدیل په واسطه ادغام ، د برخو په واسطه ادغام ، د مثلثاتو د ځای په ځای کولو سره ادغام ، او د جزوی برخو ادغام شامل دي .

د ډیرو پیچلو ادغامونو محاسبه کولو لپاره بدیل میتودونه شتون لري. ډیری غیر ابتدايي ادغامونه د ټیلر لړۍ کې پراخ کیدی شي او د اصطلاح په واسطه مدغم شوي. ځینې ​​​​وختونه، پایله لرونکې لامحدود لړۍ په تحلیلي ډول خلاصه کیدی شي. د Meijer G-functions په کارولو سره د کنولوشن طریقه هم کارول کیدی شي، داسې انګیرل کیږي چې انټیګرینډ د میجر جی - فنکشن د محصول په توګه لیکل کیدی شي. د مشخصو ادغامونو محاسبه کولو لپاره ډیری لږ عام لارې هم شتون لري؛ د مثال په توګه، د پارسیوال پیژندنه د یو مستطیل سیمې څخه د یو انټیګرل په لامحدود مقدار بدلولو لپاره کارول کیدی شي. کله ناکله، یو ضمیمه د چال لخوا ارزول کیدی شي؛ د دې مثال لپاره، وګورئ Gaussian integral .

د انقلاب د جامدونو حجمونو محاسبه معمولا د ډیسک ادغام یا شیل ادغام سره ترسره کیدی شي .

ځانګړې پایلې چې د بیلابیلو تخنیکونو لخوا کار شوي د بشپړولو په لیست کې راټول شوي .

په ریاضیاتو، فزیک او انجینرۍ کې ډیری ستونزې ادغام پکې شاملې دي چیرې چې د ادغام لپاره څرګند فارمول غوښتل کیږي. د دې هدف لپاره د کلونو په اوږدو کې د ادغامونو پراخه جدولونه تالیف شوي او خپاره شوي. د کمپیوټر د خپریدو سره، ډیری مسلکیان، ښوونکي، او زده کونکي د کمپیوټر الجبرا سیسټمونو ته مخه کړې چې په ځانګړې توګه د ادغام په ګډون د ستونزمن یا ستړیو کارونو ترسره کولو لپاره ډیزاین شوي. سمبولیک ادغام د لومړي داسې سیسټمونو لکه میکسیما او میپل د پراختیا لپاره یو له هڅونو څخه و .

په سمبولیک ادغام کې یوه لویه ریاضياتي ستونزه دا ده چې په ډیری قضیو کې، نسبتا ساده فنکشن انضمام نلري چې په تړل شوي بڼه کې څرګند شي چې یوازې ابتدايي دندې پکې شاملې دي ، منطقي او توضیحي دندې، لوګاریتم ، مثلثي دندې او د برعکس مثلثومیتریک افعال شامل دي ، او د ضرب او ترکیب عملیات. د Risch الګوریتم یو عمومي معیار وړاندې کوي ترڅو معلومه کړي چې ایا د ابتدايي فعالیت ضد ضد عنصر ابتدايي دی او د بشپړتیا محاسبه کول که ابتدايي وي. په هرصورت، د انټيډیریویټیو تړل شوي بیانونه استثنا دي، او په پایله کې، د کمپیوټر شوي الجبرا سیسټمونه هیڅ امید نلري چې د تصادفي جوړ شوي ابتدايي فعالیت لپاره د ضد ضد پیدا کولو توان ولري. په مثبت اړخ کې، که د انټيډیریویټیو لپاره د 'ودانۍ بلاکونه' مخکې له مخکې ټاکل شوي وي، دا لاهم ممکنه ده چې پریکړه وشي چې ایا د ورکړل شوي فنکشن ضد ضد د دې بلاکونو او د ضرب او ترکیب عملیاتونو په کارولو سره څرګند شي او سمبولیک ځواب ومومي. هرکله چې شتون ولري. د Risch الګوریتم، چې په ریاضي ، میپل او نورو کمپیوټري الجبرا سیسټمونو کې پلي کیږي ، یوازې دا د دندو او ضد ضد عناصرو لپاره کوي چې د منطقي افعالاتو، رادیکالونو ، لوګاریتم، او توزیعي افعالاتو څخه جوړ شوي.

ځینې ​​ځانګړي ادغامونه ډیری وختونه د ځانګړي مطالعې تضمین کولو لپاره کافي پیښیږي. په ځانګړې توګه، دا ممکن ګټور وي چې د انټيډیریویټیو په سیټ کې، ځانګړي دندې ولري (لکه د Legendre افعال ، د هایپرجیومیټریک فعالیت ، د ګاما فعالیت ، د ګاما نیمګړتیا او داسې نور). د دې ډول دندو شاملولو لپاره د Risch الګوریتم پراخول ممکن دي مګر ننګونې دي او د څیړنې یوه فعاله موضوع وه.

په دې وروستیو کې یوه نوې طریقه راڅرګنده شوې ده، د D -finite افعالو په کارولو سره، کوم چې د پولینیم کوفیفینس سره د خطي توپیري مساواتو حلونه دي . ډیری ابتدايي او ځانګړي دندې D -finite دي، او د D -finite فنکشن بشپړتیا هم د D -finite فعالیت دی. دا یو الګوریتم چمتو کوي ترڅو د D -finite فعالیت ضد ضد توضیحي د توپیر مساوي حل په توګه څرګند کړي. دا تیوري یو کس ته دا اجازه هم ورکوي چې د D -function ټاکلی بشپړتیا د لومړي کوفیفینټ لخوا ورکړل شوي سلسلې مجموعې په توګه محاسبه کړي او د هر ضمیمه محاسبه کولو لپاره الګوریتم چمتو کوي.

د قواعدو پر بنسټ د ادغام سیسټمونه ادغام ته لاره هواروي. روبي، د کمپیوټر د الجبرا سیسټم د قواعدو پر اساس ادغام کونکی، نمونه د سمبولیک ادغام قواعدو پراخه سیسټم سره سمون لري ترڅو د یو پراخ ډول ادغام سره یوځای شي. دا سیسټم د انسجام محاسبه کولو لپاره له 6600 څخه ډیر ادغام قواعد کاروي. ^[۵۴] د قوسونو طریقه د رامانوجان د ماسټر تیورم عمومي کول دي چې په پراخه کچه غیر متغیر او څو اړخیز ادغامونو باندې پلي کیدی شي. د ضمیمې ټاکلو لپاره د انټیګرنډ د بریښنا سلسلې پراخولو لپاره د ضمیمو او توضیحي شرایطو لپاره یو لړ مقررات پلي کیږي. دا طریقه د میلین بدلون سره نږدې تړاو لري . ^[۵۵]

ټاکلی ادغامونه کیدای شی د شمیری ادغام د ډیری میتودونو په کارولو سره اټکل شی . د مستطیل طریقه د فنکشن لاندې ساحه په یو لړ مستطیلونو ویشلو باندې تکیه کوي چې د فعالیت ارزښتونو سره مطابقت لري او د مجموعې موندلو لپاره د مرحلې پلنوالي سره ضرب کوي. یو غوره طریقه، د trapezoidal قاعده ، د مستطیلونو ځای نیسي چې د ریمن په مجموعه کې کارول کیږي د trapezoids سره. د trapezoidal قاعده لومړی او وروستي ارزښتونه د یو نیم په اندازه وزن کوي، بیا د مرحلې پلنوالی سره ضرب کوي ترڅو غوره اټکل ترلاسه کړي. د ^trapezoidal قاعدې تر شا دا مفکوره، چې د فنکشن لپاره ډیر دقیق اټکلونه د انټیګرل سره ښه نږدې والی پیدا کوي، نور هم پرمخ وړل کیدی شي: د سمپسن قاعده د ټوټو په څیر څلور اړخیزه فعالیت سره یوځای کیږي. ^[۵۷]

د ریمان مجموعه، د ټراپیزایډل قاعده، او د سمپسن قاعده د quadrature قواعدو د کورنۍ مثالونه دي چې د نیوټن – کوټس فارمول په نوم یادیږي . د نیوټن درجې – کوټس quadrature قاعده په هر فرعي فاصله کې پولینومیل د درجې n پولینومیل سره نږدې کوي. دا پولی نومیال په وقفه کې د فنکشن ارزښتونو مینځلو لپاره غوره شوی. ^{[58] د نیوټن – کوټز د لوړې درجې اټکل ډیر دقیق کیدی شي، مګر دوی د فعالیت ارزونې ته اړتیا لري، او دوی کولی شي} د Runge د پیښې له امله د عددي غلطۍ سره مخ شي . د دې ستونزې یو حل د Clenshaw-Curtis quadrature دی، په کوم کې چې د چیبیشیف پولینومیالونو له مخې د پراخولو له لارې یوځای کول نږدې کیږي .

د رومبرګ طریقه په تدریجي ډول د مرحلې پلنوالی نیمایي کوي، د T ( h ₀ ) , T ( h ₁ ) او داسې نورو لخوا د trapezoid اټکلونه وړاندې کوي ، چیرته چې h _{k +1 د} h _k نیمایي وي . د هر نوي ګام اندازې لپاره، یوازې نیمایي نوي فعالیت ارزښتونو ته اړتیا لري؛ نور د پخوانۍ اندازې څخه تیریږي. دا بیا د اټکلونو له لارې یو پولینومیل انټرپول کوي ، او T (0) ته اضافه کوي . Gaussian quadrature د اورتوګونل پولینومیالونو د یوې سیټ په ریښو کې فعالیت ارزوي . ^[59] د n -point Gaussian طريقه تر 2 n - 1 پورې د پولي نوميالونو لپاره دقيقه ده .

د لوړ ابعادي ادغامونو محاسبه (د مثال په توګه د حجم محاسبه) د مونټ کارلو ادغام په څیر د ورته بدیلونو مهم کارول کیږي . ^[۶۰]

د دوه اړخیز شکل ساحه د اندازه کولو وسیلې په کارولو سره ټاکل کیدی شي چې پلانیمیټر نومیږي . د غیر منظم شیانو حجم د بیځایه شوي مایع لخوا د دقیقیت سره اندازه کیدی شي ځکه چې اعتراض ډوب شوی.

ساحه ځینې وختونه د مساوي مربع د جیومیټریک کمپاس او مستقیم جوړښتونو له لارې موندل کیدی شي .

کیمف، جیکسن او مورالز د ریاضیاتو اړیکې وښودلې چې یو بشپړتیا ته اجازه ورکوي چې د توپیر له لارې محاسبه شي . د دوی په محاسبه کې د ډیرک ډیلټا فعالیت او جزوی مشتق آپریټر شامل دی . دا په فعاله ادغامونو کې هم پلي کیدی شي ، دوی ته اجازه ورکوي چې د فعال توپیر له مخې محاسبه شي . ^[۶۱]${\displaystyle \partial _{x}}$

د محاسبې بنسټیز تیورم د بنسټیزو دندو مستقیم محاسبې ته اجازه ورکوي:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx=-\cos(x){\big |}_{x=0}^{x=\pi }=-\cos(\pi )-{\big (}-\cos(0){\big )}=2.}$

• انسجام معادلې  – د یو بشپړ نښان لاندې د نامعلوم فعالیت سره مساوات
• انټیګرل سمبول  - د ریاضیاتو سمبول د انټیګرل او ضد ضد عناصرو د څرګندولو لپاره کارول کیږي
• د ادغامونو لیست

ویکي بوکس د دې موضوع په اړه یو کتاب لري: Calculus

• "انټیګرل"، د ریاضیاتو پوهنځی ، EMS پریس ، 2001 [1994]
• آنلاین انټیګرل کیلکولیټر، ولفرام الفا .

• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An A Aproach Useing Infinitesimals, University of Wisconsin
• Stroyan، KD، د انفینټیسیمال حسابونو لنډه پیژندنه، د آیوا پوهنتون
• Mauch, Sean, Sean's Applyed Math Book, CIT، یو آنلاین درسي کتاب چې د محاسبې بشپړ پیژندنه پکې شامله ده
• کرویل، بنیامین، کیلکولس، فلرټون کالج، یو آنلاین درسي کتاب
• ګیرټ، پاول، د لومړي کال حسابونو یادونه
• حسین، فراز، پوهه محاسبه، یو آنلاین درسي کتاب
• جانسن، ویلیم وولسي (1909) د انټیګرل کیلکولس په اړه ابتدايي مقاله، د هیت ټرسټ څخه لینک .
• کووالک، WP، د ادغام تیوري، د اولډنبرګ پوهنتون. د زړې ستونزې لپاره نوی مفهوم. آنلاین درسي کتاب
• سلاوټر، ډان، د توپیر مساواتو ته توپیر، د محاسبې پیژندنه
• د هولیسټیک عددي میتودونو انسټیټیوټ کې د ادغام شمیري میتودونه
• PS وانګ، د سمبولیک لاسوهنې (1972) لخوا د ټاکلو بشپړتیا ارزونه - د قطعي بشپړ تخنیکونو د پخلي کتاب