Notación de Leibniz

morir

d ²años

dx2

La primera y segunda derivadas de y con respecto a x , en la notación de Leibniz.

En cálculo , la notación de Leibniz , llamada así en honor al filósofo y matemático alemán del siglo XVII Gottfried Wilhelm Leibniz , utiliza los símbolos $dx$ y $dy$ para representar incrementos infinitamente pequeños (o infinitesimales ) de $x$ e $y$ , respectivamente, así como $Δ x$ y $Δ y$ representan incrementos finitos de $x$ e $y$ , respectivamente. ^[1]

Considere $y$ como una función de una variable $x$ , o $y$ = $f (x)$ . Si este es el caso, entonces la derivada de $y$ con respecto a $x$ , que más tarde llegó a considerarse como el límite

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},

era, según Leibniz, el cociente de un incremento infinitesimal de $y$ por un incremento infinitesimal de $x$ , o

{\frac {dy}{dx}}=f'(x),

donde el lado derecho es la notación de Joseph-Louis Lagrange para la derivada de $f$ en $x$ . Los incrementos infinitesimales se denominan diferenciales . Relacionada con esto está la integral en la que se suman los incrementos infinitesimales (por ejemplo, para calcular longitudes, áreas y volúmenes como sumas de partes diminutas), para la que Leibniz también proporcionó una notación estrechamente relacionada que involucra las mismas diferenciales, una notación cuya eficiencia resultó decisiva en el desarrollo de las matemáticas de Europa continental.

El concepto de infinitesimales de Leibniz, considerado durante mucho tiempo demasiado impreciso para ser utilizado como base del cálculo, fue finalmente reemplazado por conceptos rigurosos desarrollados por Weierstrass y otros en el siglo XIX. En consecuencia, la notación de cociente de Leibniz fue reinterpretada para representar el límite de la definición moderna. Sin embargo, en muchos casos, el símbolo pareció actuar como lo haría un cociente real y su utilidad lo mantuvo popular incluso frente a varias notaciones en competencia. En el siglo XX se desarrollaron varios formalismos diferentes que pueden dar un significado riguroso a las nociones de infinitesimales y desplazamientos infinitesimales, incluido el análisis no estándar , el espacio tangente , la notación O y otros.

Las derivadas e integrales del cálculo pueden empaquetarse en la teoría moderna de formas diferenciales , en la que la derivada es genuinamente un cociente de dos diferenciales, y la integral también se comporta de acuerdo exactamente con la notación de Leibniz. Sin embargo, esto requiere que la derivada y la integral se definan primero por otros medios, y como tal expresa la autoconsistencia y la eficacia computacional de la notación de Leibniz en lugar de darle una nueva base.

Historia

El enfoque de Newton-Leibniz para el cálculo infinitesimal se introdujo en el siglo XVII. Mientras Newton trabajaba con fluxiones y fluxiones, Leibniz basó su enfoque en generalizaciones de sumas y diferencias. ^[2] Leibniz adaptó el símbolo integral de la s alargada inicial de la palabra latina ſ umma ("suma") como se escribía en ese momento. Al considerar las diferencias como la operación inversa de la suma, ^[3] utilizó el símbolo $d$ , la primera letra del latín differentia , para indicar esta operación inversa. ^[2] Leibniz era meticuloso con la notación, habiendo pasado años experimentando, ajustando, rechazando y correspondiéndose con otros matemáticos sobre ellas. ^[4] Las notaciones que utilizó para la diferencial de $y$ variaron sucesivamente desde $ω$ , $l$ y $⁠$ $\textstyle \int$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}y/d⁠$ hasta que finalmente se decidió por $dy$ .^[5] Su signo integral apareció públicamente por primera vez en el artículo " De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum " ("Sobre una geometría oculta y análisis de indivisibles e infinitos"), publicado en Acta Eruditorum en junio de 1686,^[6]^[7] pero lo había estado usando en manuscritos privados al menos desde 1675.^[8]^[9]^[10] Leibniz usó por primera vez $dx$ en el artículo " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " también publicado en Acta Eruditorum en 1684.^[11] Mientras que el símbolo $⁠$ $Dx / morir ⁠ sí$ aparece en manuscritos privados de 1675,^[12]^[13] no aparece en esta forma en ninguna de las obras publicadas mencionadas anteriormente. Sin embargo, Leibniz utilizó formas como $dy ad dx$ y $dy : dx$ en forma impresa.^[11]

A finales del siglo XIX, los seguidores de Weierstrass dejaron de tomar literalmente la notación de Leibniz para derivadas e integrales. Es decir, los matemáticos sintieron que el concepto de infinitesimales contenía contradicciones lógicas en su desarrollo. Varios matemáticos del siglo XIX (Weierstrass y otros) encontraron formas lógicamente rigurosas de tratar las derivadas e integrales sin infinitesimales utilizando límites como se muestra arriba, mientras que Cauchy explotó tanto los infinitesimales como los límites (véase Cours d'Analyse ). No obstante, la notación de Leibniz todavía se usa de manera general. Aunque no es necesario tomarla literalmente, suele ser más simple que las alternativas cuando se utiliza la técnica de separación de variables en la solución de ecuaciones diferenciales. En aplicaciones físicas, se puede, por ejemplo, considerar que f ( x ) se mide en metros por segundo y d x en segundos, de modo que f ( x ) d x está en metros, y también lo está el valor de su integral definida. De este modo, la notación de Leibniz está en armonía con el análisis dimensional .

Notación de Leibniz para diferenciación

Supongamos que una variable dependiente $y$ representa una función $f$ de una variable independiente $x$ , es decir,

y=f(x).

Entonces la derivada de la función $f$ , en la notación de Leibniz para diferenciación , se puede escribir como

{\frac {dy}{dx}}\,{\text{ o }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ o }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.

La expresión de Leibniz, que a veces también se escribe $dy / dx$ , es una de las diversas notaciones que se utilizan para derivadas y funciones derivadas. Una alternativa común es la notación de Lagrange.

{\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).

Otra alternativa es la notación de Newton , a menudo utilizada para derivadas con respecto al tiempo (como la velocidad ), que requiere colocar un punto sobre la variable dependiente (en este caso, $x$ ):

{\frac {dx}{dt}}={\punto {x}}.

La notación de " primos " de Lagrange es especialmente útil en las discusiones sobre funciones derivadas y tiene la ventaja de tener una forma natural de denotar el valor de la función derivada en un valor específico. Sin embargo, la notación de Leibniz tiene otras virtudes que la han mantenido popular a través de los años.

En su interpretación moderna, la expresión $⁠$ $morir / Dx ⁠$ no debe leerse como la división de dos cantidades $dx$ y $dy$ (como Leibniz lo había imaginado); más bien, toda la expresión debe verse como un símbolo único que es una abreviatura de

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}

(nótese $Δ$ vs. $d$ , donde $Δ$ indica una diferencia finita).

La expresión también puede considerarse como la aplicación del operador diferencial $.$ $d / Dx ⁠$ (de nuevo, un solo símbolo) a $y$ , considerado como una función de $x$ . Este operador se escribe $D$ en la notación de Euler . Leibniz no utilizó esta forma, pero su uso del símbolo $d$ se corresponde bastante con este concepto moderno.

Aunque tradicionalmente no hay división implícita en la notación (pero véase Análisis no estándar ), la notación similar a la división es útil ya que en muchas situaciones, el operador de derivada se comporta como una división, lo que hace que algunos resultados sobre derivadas sean fáciles de obtener y recordar. ^[14] Esta notación debe su longevidad al hecho de que parece llegar al corazón mismo de las aplicaciones geométricas y mecánicas del cálculo. ^[15]

Notación de Leibniz para derivadas superiores

Si $y = f (x)$ , la derivada $n- ésima de$ $f$ en notación de Leibniz está dada por, ^[16]

f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.

Esta notación, para la segunda derivada , se $obtiene$ utilizando $d / Dx ⁠$ como operador de la siguiente manera,^[16]

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\izquierda({\frac {dy}{dx}}\derecha).

Una tercera derivada, que podría escribirse como,

{\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,

se puede obtener de

{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right).

De manera similar, las derivadas superiores pueden obtenerse inductivamente.

Si bien es posible, con definiciones cuidadosamente elegidas, interpretar $⁠$ $morir / Dx ⁠$ como cociente de diferenciales , esto no debería hacerse con las formas de orden superior.^{[17] Sin embargo, una}notación alternativa de Leibnizde órdenes superiores lo permite.^{[ cita requerida ]}

Sin embargo, Leibniz no utilizó esta notación. En su forma impresa no utilizó notación de varios niveles ni exponentes numéricos (antes de 1695). Para escribir $x 3$ , por ejemplo, escribía $xxx$ , como era común en su tiempo. El cuadrado de una diferencial, como podría aparecer en una fórmula de longitud de arco , por ejemplo, se escribía como $dxdx$ . Sin embargo, Leibniz utilizó su notación $d$ como utilizaríamos hoy los operadores, es decir, escribía una segunda derivada como $ddy$ y una tercera derivada como $dddy$ . En 1695 Leibniz comenzó a escribir $d 2 \cdot x$ y $d 3 \cdot x$ para $ddx$ y $dddx$ respectivamente, pero l'Hôpital , en su libro de texto sobre cálculo escrito en la misma época, utilizó las formas originales de Leibniz. ^[18]

Uso en diversas fórmulas

Una razón por la que las notaciones de Leibniz en cálculo han perdurado tanto tiempo es que permiten recordar fácilmente las fórmulas apropiadas utilizadas para la diferenciación y la integración. Por ejemplo, la regla de la cadena : supongamos que la función $g$ es diferenciable en $x$ y $que y = f (u)$ es diferenciable en $u = g (x)$ . Entonces, la función compuesta $y = f (g (x))$ es diferenciable en $x$ y su derivada se puede expresar en notación de Leibniz como, ^[19]

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.

Esto se puede generalizar para tratar con los compuestos de varias funciones apropiadamente definidas y relacionadas, $u 1, u 2, ..., u n$ y se expresaría como,

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.

Además, la fórmula de integración por sustitución puede expresarse mediante ^[20]

\int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,

donde $x$ se considera como una función de una nueva variable $u$ y la función $y$ a la izquierda se expresa en términos de $x$ mientras que a la derecha se expresa en términos de $u$ .

Si $y = f (x)$ donde $f$ es una función diferenciable que es invertible , la derivada de la función inversa, si existe, puede darse por, ^[21]

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},

donde se agregan los paréntesis para enfatizar el hecho de que la derivada no es una fracción.

Sin embargo, al resolver ecuaciones diferenciales, es fácil pensar en $dy$ y $dx$ como separables. Uno de los tipos más simples de ecuaciones diferenciales es ^[22]

M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,

donde $M$ y $N$ son funciones continuas. La solución (implícita) de dicha ecuación se puede realizar examinando la ecuación en su forma diferencial ,

M(x)dx+N(y)dy=0

e integrar para obtener

\int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.

Reescribir, cuando sea posible, una ecuación diferencial en esta forma y aplicar el argumento anterior se conoce como la técnica de separación de variables para resolver dichas ecuaciones.

En cada uno de estos casos, la notación de Leibniz para una derivada parece actuar como una fracción, aunque en su interpretación moderna no lo es.

Justificación moderna de los infinitesimales

En la década de 1960, basándose en trabajos anteriores de Edwin Hewitt y Jerzy Łoś , Abraham Robinson desarrolló explicaciones matemáticas para los infinitesimales de Leibniz que eran aceptables según los estándares de rigor contemporáneos y desarrolló un análisis no estándar basado en estas ideas. Los métodos de Robinson son utilizados por solo una minoría de matemáticos. Jerome Keisler escribió un libro de texto de cálculo de primer año, Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal , basado en el enfoque de Robinson.

Desde el punto de vista de la teoría infinitesimal moderna, $Δ x$ es un incremento infinitesimal $de x$ $, Δ y es el incremento$ $y$ correspondiente , y la derivada es la parte estándar de la relación infinitesimal:

f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}

Luego se establece , , de modo que por definición, es la relación de $dy$ por $dx$ . $dx=\Delta x$ $dy=f'(x)dx$ $f'(x)$

De manera similar, aunque la mayoría de los matemáticos ahora consideran que una integral

\int f(x)\,dx

como un límite

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,

donde $Δ x$ es un intervalo que contiene $x i$ , Leibniz lo consideró como la suma (el signo integral denotaba sumatoria para él) de infinitas cantidades infinitesimales $f (x) dx$ . Desde el punto de vista del análisis no estándar, es correcto considerar la integral como la parte estándar de tal suma infinita.

El equilibrio necesario para obtener la precisión de estos conceptos es que el conjunto de números reales debe extenderse al conjunto de números hiperreales .

Otras notaciones de Leibniz

Leibniz experimentó con muchas notaciones diferentes en diversas áreas de las matemáticas. Creía que una buena notación era fundamental para el desarrollo de las matemáticas. En una carta a l'Hôpital en 1693, dice: ^[23]

Uno de los secretos del análisis consiste en la característica, es decir, en el arte del empleo hábil de los signos disponibles, y usted observará, señor, por el pequeño anexo [sobre los determinantes] que Vieta y Descartes no han conocido todos los misterios.

Con el tiempo, fue refinando sus criterios de buena notación y se dio cuenta del valor de "adoptar simbolismos que pudieran colocarse en una línea como los tipos ordinarios, sin necesidad de ampliar los espacios entre líneas para hacer lugar a símbolos con partes extensas". ^[24] Por ejemplo, en sus primeros trabajos utilizó mucho un vinculum para indicar la agrupación de símbolos, pero más tarde introdujo la idea de utilizar pares de paréntesis para este propósito, apaciguando así a los tipógrafos que ya no tenían que ampliar los espacios entre líneas en una página y haciendo que las páginas parecieran más atractivas. ^[25]

Muchos de los más de 200 nuevos símbolos introducidos por Leibniz todavía se utilizan hoy en día. ^[26] Además de las diferenciales $dx$ , $dy$ y el signo integral (∫) ya mencionados, también introdujo los dos puntos (:) para la división, el punto medio (⋅) para la multiplicación, los signos geométricos para semejanza (~) y congruencia (≅), el uso del signo igual de Recorde (=) para proporciones (reemplazando la notación :: de Oughtred ) y la notación de doble sufijo ^[^{aclaración necesaria}^] para determinantes. ^[23]

Véase también

La controversia del cálculo de Leibniz y Newton

Notas

^ Stewart, James (2008). Cálculo: trascendentales tempranos (6.ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
^ de Katz 1993, pág. 524
^ Katz 1993, pág. 529
^ Mazur 2014, pág. 166
^ Cajori 1993, vol. II, pág. 203, nota al pie 4
^ Swetz, Frank J., Tesoro matemático: Documentos de Leibniz sobre cálculo - Cálculo integral, convergencia, Asociación Matemática de América , consultado el 11 de febrero de 2017
^ Stillwell, John (1989). Matemáticas y su historia . Springer. pág. 110.
^ Leibniz, GW (2005) [1920]. Los primeros manuscritos matemáticos de Leibniz . Traducido por Child, JM Dover. pp. 73–74, 80. ISBN 978-0-486-44596-0.
^ Leibniz, GW, Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676 , Berlín: Akademie Verlag, 2008, págs. 288–295 Archivado el 9 de octubre de 2021 en Wayback Machine (“ Analyseos tetragonisticae pars secunda ”, 29 de octubre de 1675) y 321–331 (“ Methodi tangentium”) inversae exempla ", 11 de noviembre de 1675).
^ Aldrich, John. "Usos más antiguos de los símbolos del cálculo" . Consultado el 20 de abril de 2017 .
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^ Cajori 1993, vol. II, pág. 186
^ Jordan, DW; Smith, P. (2002). Técnicas matemáticas: Introducción a las ciencias de la ingeniería, la física y las matemáticas . Oxford University Press. pág. 58.
^ Cajori 1993, vol. II, pág. 262
^ de Briggs & Cochran 2010, pág. 141
^ Swokowski 1983, pág. 135
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^ Briggs y Cochran 2010, pág. 176
^ Swokowski 1983, pág. 257
^ Swokowski 1983, pág. 369
^ Swokowski 1983, pág. 895
^ Ab Cajori 1993, vol. II, pág. 185
^ Cajori 1993, vol. II, pág. 184
^ Mazur 2014, págs. 167-168
^ Mazur 2014, pág. 167

Referencias

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Cajori, Florian (1993) [1928], Una historia de las notaciones matemáticas, Nueva York: Dover, ISBN 0-486-67766-4
Katz, Victor J. (1993), Una historia de las matemáticas / Una introducción (2.ª ed.), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
Mazur, Joseph (2014), Símbolos esclarecedores / Una breve historia de la notación matemática y sus poderes ocultos , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-17337-5
Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (edición alternativa), Prindle, Weber y Schmidt, ISBN 0-87150-341-7