Extensión lineal continua

Método matemático en el análisis funcional

En el análisis funcional , suele ser conveniente definir una transformación lineal en un espacio vectorial completo y normalizado definiendo primero una transformación lineal en un subconjunto denso de y luego extendiéndola continuamente a todo el espacio mediante el teorema siguiente. La extensión resultante sigue siendo lineal y acotada y, por lo tanto, es continua , lo que la convierte en una extensión lineal continua . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$

Este procedimiento se conoce como extensión lineal continua .

Teorema

Toda transformación lineal acotada de un espacio vectorial normado a un espacio vectorial normado completo se puede extender de forma única a una transformación lineal acotada desde la finalización de hasta Además, la norma del operador de es si y solo si la norma de es ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\widehat {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\widehat {L}}}$ ${\displaystyle c.}$

Este teorema a veces se denomina teorema BLT .

Solicitud

Consideremos, por ejemplo, la definición de la integral de Riemann . Una función escalonada en un intervalo cerrado es una función de la forma: donde son números reales, y denota la función indicadora del conjunto El espacio de todas las funciones escalonadas en normado por la norma (véase espacio Lp ), es un espacio vectorial normado que denotamos por Definimos la integral de una función escalonada por: como una función es una transformación lineal acotada de en ^[1] ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f\equiv r_{1}\mathbf {1} _{[a,x_{1})}+r_{2}\mathbf {1} _{[x_{1},x_{2})}+\cdots +r_{n}\mathbf {1} _{[x_{n-1},b]}}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{S}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$ $${\displaystyle I\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}\mathbf {1} _{[x_{i-1},x_{i})}\right)=\sum _{i=1}^{n}r_{i}(x_{i}-x_{i-1}).}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Sea el espacio de funciones acotadas, continuas por partes en que son continuas desde la derecha, junto con la norma. El espacio es denso en por lo que podemos aplicar el teorema BLT para extender la transformación lineal a una transformación lineal acotada de a Esto define la integral de Riemann de todas las funciones en ; para cada ${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {PC}},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\widehat {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {PC}},}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx={\widehat {I}}(f).}$

El teorema de Hahn-Banach

El teorema anterior se puede utilizar para extender una transformación lineal acotada a una transformación lineal acotada de a si es denso en Si no es denso en entonces el teorema de Hahn-Banach se puede utilizar a veces para demostrar que existe una extensión . Sin embargo, la extensión puede no ser única. ${\displaystyle T:S\to Y}$ ${\displaystyle {\bar {S}}=X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$

Véase también

• Teorema de grafos cerrados (análisis funcional)  : teoremas que conectan la continuidad con el cierre de grafos
• Operador lineal continuo
• Operador densamente definido  : función que está definida casi en todas partes (matemáticas)
• Teorema de Hahn-Banach  – Teorema sobre la extensión de funcionales lineales acotados
• Extensión lineal (álgebra lineal)  – Función matemática, en álgebra linealPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función parcial  – Función cuyo dominio real de definición puede ser menor que su dominio aparente
• Teoremas de Hahn-Banach con valores vectoriales

Referencias

1. Aquí, también es un espacio vectorial normado; es un espacio vectorial porque satisface todos los axiomas del espacio vectorial y está normado por la función de valor absoluto . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Reed, Michael; Barry Simon (1980). Métodos de física matemática moderna, vol. 1: Análisis funcional . San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.