En matemáticas y física , un espacio vectorial (también llamado espacio lineal ) es un conjunto cuyos elementos, a menudo llamados vectores , pueden sumarse y multiplicarse ("escalarse") por números llamados escalares . Los escalares suelen ser números reales , pero pueden ser números complejos o, más generalmente, elementos de cualquier campo . Las operaciones de suma de vectores y multiplicación escalar deben satisfacer ciertos requisitos, llamados axiomas vectoriales . El espacio vectorial real y el espacio vectorial complejo son tipos de espacios vectoriales basados en diferentes tipos de escalares: espacio de coordenadas real o espacio de coordenadas complejo .
Los espacios vectoriales se caracterizan por su dimensión , que, en términos generales, especifica el número de direcciones independientes en el espacio. Esto significa que, para dos espacios vectoriales sobre un campo dado y con la misma dimensión, las propiedades que dependen sólo de la estructura del espacio vectorial son exactamente las mismas (técnicamente los espacios vectoriales son isomorfos ). Un espacio vectorial es de dimensión finita si su dimensión es un número natural . De lo contrario, es de dimensión infinita y su dimensión es un cardinal infinito . Los espacios vectoriales de dimensión finita ocurren naturalmente en geometría y áreas relacionadas. Los espacios vectoriales de dimensión infinita ocurren en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, los anillos polinomiales son espacios vectoriales contablemente de dimensión infinita, y muchos espacios funcionales tienen la cardinalidad del continuo como dimensión.
En este artículo, los vectores se representan en negrita para distinguirlos de los escalares. [nota 1] [1]
Un espacio vectorial sobre un campo F es un conjunto V no vacío junto con una operación binaria y una función binaria que satisfacen los ocho axiomas que se enumeran a continuación. En este contexto, a los elementos de V se les llama comúnmente vectores , y a los elementos de F se les llama escalares . [2]
La operación binaria, llamada suma de vectores o simplemente suma , asigna a dos vectores cualesquiera v y w en V un tercer vector en V que comúnmente se escribe como v + w y se llama suma de estos dos vectores.
La función binaria, llamada multiplicación escalar , asigna a cualquier escalar a en F y a cualquier vector v en V otro vector en V , que se denota como v . [nota 2]
Para tener un espacio vectorial, se deben satisfacer los ocho axiomas siguientes para cada u , v y w en V , y a y b en F. [3]
Cuando el campo escalar son los números reales , el espacio vectorial se llama espacio vectorial real , y cuando el campo escalar son los números complejos , el espacio vectorial se llama espacio vectorial complejo . [4] Estos dos casos son los más comunes, pero también se consideran comúnmente espacios vectoriales con escalares en un campo arbitrario F. Tal espacio vectorial se llama espacio vectorial F o espacio vectorial sobre F . [5]
Se puede dar una definición equivalente de espacio vectorial, que es mucho más concisa pero menos elemental: los primeros cuatro axiomas (relacionados con la suma de vectores) dicen que un espacio vectorial es un grupo abeliano bajo suma, y los cuatro axiomas restantes (relacionados con la multiplicación escalar) dicen que esta operación define un homomorfismo de anillo del campo F al anillo de endomorfismo de este grupo. [6]
La resta de dos vectores se puede definir como
Las consecuencias directas de los axiomas incluyen que, para todos y cada uno de nosotros
implica o
De manera aún más concisa, un espacio vectorial es un módulo sobre un campo . [7]
Se dice que los elementos de un subconjunto G de un espacio vectorial F V son linealmente independientes si ningún elemento de G puede escribirse como una combinación lineal de los otros elementos de G. De manera equivalente, son linealmente independientes si dos combinaciones lineales de elementos de G definen el mismo elemento de V si y sólo si tienen los mismos coeficientes. También de manera equivalente, son linealmente independientes si una combinación lineal da como resultado el vector cero si y solo si todos sus coeficientes son cero. [9]
Un subespacio lineal o subespacio vectorial W de un espacio vectorial V es un subconjunto no vacío de V que está cerrado bajo suma de vectores y multiplicación escalar; es decir, la suma de dos elementos de W y el producto de un elemento de W por un escalar pertenecen a W. [10] Esto implica que toda combinación lineal de elementos de W pertenece a W. Un subespacio lineal es un espacio vectorial para la suma inducida y la multiplicación escalar; esto significa que la propiedad de cierre implica que se satisfacen los axiomas de un espacio vectorial. [11] La propiedad de cierre también implica que cada intersección de subespacios lineales es un subespacio lineal. [11]
Dado un subconjunto G de un espacio vectorial V , el tramo lineal o simplemente el tramo de G es el subespacio lineal más pequeño de V que contiene a G , en el sentido de que es la intersección de todos los subespacios lineales que contienen a G. El lapso de G es también el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de G. Si W es el tramo de G , se dice que G abarca o genera W , y que G es un conjunto generador o generador de W. [12]
Un subconjunto de un espacio vectorial es una base si sus elementos son linealmente independientes y abarcan el espacio vectorial. [13] Todo espacio vectorial tiene al menos una base, o muchas en general (ver Bases (álgebra lineal) § Demostración de que todo espacio vectorial tiene una base ). [14] Además, todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad , que se denomina dimensión del espacio vectorial (ver Teorema de dimensión para espacios vectoriales ). [15] Esta es una propiedad fundamental de los espacios vectoriales, que se detalla en el resto de la sección.
Las bases son una herramienta fundamental para el estudio de espacios vectoriales, especialmente cuando la dimensión es finita. En el caso de dimensión infinita, la existencia de bases infinitas, a menudo llamadas bases de Hamel , depende del axioma de elección . De ello se deduce que, en general, ninguna base puede describirse explícitamente. [16] Por ejemplo, los números reales forman un espacio vectorial de dimensión infinita sobre los números racionales , para el cual no se conoce ninguna base específica.
Considere una base de un espacio vectorial V de dimensión n sobre un campo F. La definición de base implica que cada una puede escribirse.
La correspondencia uno a uno entre los vectores y sus vectores de coordenadas asigna la suma de vectores a la suma de vectores y la multiplicación escalar a la multiplicación escalar. Se trata, pues, de un isomorfismo del espacio vectorial , que permite traducir razonamientos y cálculos sobre vectores en razonamientos y cálculos sobre sus coordenadas. [17]
Un subespacio lineal o subespacio vectorial W de un espacio vectorial V es un subconjunto no vacío de V que está cerrado bajo suma de vectores y multiplicación escalar; es decir, la suma de dos elementos de W y el producto de un elemento de W por un escalar pertenecen a W. [10] Esto implica que toda combinación lineal de elementos de W pertenece a W. Un subespacio lineal es un espacio vectorial para la suma inducida y la multiplicación escalar; esto significa que la propiedad de cierre implica que se satisfacen los axiomas de un espacio vectorial. La propiedad de cierre también implica que cada intersección de subespacios lineales es un subespacio lineal. [11]
Historia
Los espacios vectoriales surgen de la geometría afín , mediante la introducción de coordenadas en el plano o espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses René Descartes y Pierre de Fermat fundaron la geometría analítica identificando soluciones a una ecuación de dos variables con puntos en una curva plana . [18] Para lograr soluciones geométricas sin utilizar coordenadas, Bolzano introdujo, en 1804, ciertas operaciones sobre puntos, rectas y planos, que son predecesores de los vectores. [19] Möbius (1827) introdujo la noción de coordenadas baricéntricas . [20] Bellavitis (1833) introdujo una relación de equivalencia en segmentos de línea dirigidos que comparten la misma longitud y dirección a la que llamó equipolencia . [21] Un vector euclidiano es entonces una clase de equivalencia de esa relación. [22]
En 1857, Cayley introdujo la notación matricial que permite la armonización y simplificación de mapas lineales . Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Imaginó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones. [24] En su obra están presentes los conceptos de independencia lineal y dimensión , así como productos escalares . El trabajo de Grassmann de 1844 también excede el marco de los espacios vectoriales, ya que su consideración de la multiplicación lo llevó a lo que hoy se llama álgebras . El matemático italiano Peano fue el primero en dar la definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888, [25] aunque los llamó "sistemas lineales". [26] La axiomatización de Peano permitía espacios vectoriales con dimensión infinita, pero Peano no desarrolló más esa teoría. En 1897, Salvatore Pincherle adoptó los axiomas de Peano e hizo sus primeros avances en la teoría de los espacios vectoriales de dimensión infinita. [27]
El primer ejemplo de un espacio vectorial consta de flechas en un plano fijo , comenzando en un punto fijo. Esto se utiliza en física para describir fuerzas o velocidades . [30] Dadas dos de estas flechas, v y w , el paralelogramo abarcado por estas dos flechas contiene una flecha diagonal que también comienza en el origen. Esta nueva flecha se llama suma de las dos flechas y se denota v + w . En el caso especial de dos flechas en la misma recta, su suma es la flecha de esta recta cuya longitud es la suma o la diferencia de las longitudes, dependiendo de si las flechas tienen la misma dirección. Otra operación que se puede hacer con flechas es el escalado: dado cualquier número real positivo a , la flecha que tiene la misma dirección que v , pero se dilata o encoge al multiplicar su longitud por a , se llama multiplicación de v por a . Se denota como v . Cuando a es negativo, a v se define como la flecha que apunta en la dirección opuesta. [31]
A continuación se muestran algunos ejemplos: si a = 2 , el vector resultante a w tiene la misma dirección que w , pero se estira hasta el doble de longitud de w (la segunda imagen). De manera equivalente, 2 w es la suma w + w . Además, (−1) v = − v tiene la dirección opuesta y la misma longitud que v (vector azul apuntando hacia abajo en la segunda imagen).
pares ordenados de números
Un segundo ejemplo clave de un espacio vectorial lo proporcionan los pares de números reales x e y . El orden de los componentes xey es significativo , por lo que dicho par también se denomina par ordenado . Tal par se escribe como ( x , y ) . La suma de dos de estos pares y la multiplicación de un par por un número se define de la siguiente manera: [32]
El primer ejemplo anterior se reduce a este ejemplo si una flecha está representada por un par de coordenadas cartesianas de su punto final.
Espacio de coordenadas
El ejemplo más simple de un espacio vectorial sobre un campo F es el propio campo F (ya que es un grupo abeliano para la suma, parte de los requisitos para ser un campo ), equipado con su suma (se convierte en suma vectorial) y multiplicación. (Se convierte en multiplicación escalar). De manera más general, todas las n -tuplas (secuencias de longitud n )
a iFF nespacio de coordenadas[33]n = 1FF = Rn = 2R 2
Números complejos y otras extensiones de campo.
El conjunto de números complejos C , números que se pueden escribir en la forma x + iy para los números reales x e y donde i es la unidad imaginaria , forman un espacio vectorial sobre los reales con la suma y multiplicación habitual: ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b ) y c ⋅ ( x + iy ) = ( c ⋅ x ) + i ( c ⋅ y ) para números reales x , y , a , b y C . Los diversos axiomas de un espacio vectorial se derivan del hecho de que las mismas reglas se aplican a la aritmética de números complejos. El ejemplo de números complejos es esencialmente el mismo (es decir, es isomorfo ) al espacio vectorial de pares ordenados de números reales mencionado anteriormente: si pensamos que el número complejo x + i y representa el par ordenado ( x , y ) en el plano complejo entonces vemos que las reglas para la suma y la multiplicación escalar corresponden exactamente a las del ejemplo anterior.
De manera más general, las extensiones de campo proporcionan otra clase de ejemplos de espacios vectoriales, particularmente en álgebra y teoría algebraica de números : un campo F que contiene un campo más pequeño E es un E -espacio vectorial, según las operaciones de multiplicación y suma dadas de F. [ 34] Por ejemplo, los números complejos son un espacio vectorial sobre R , y la extensión del campo es un espacio vectorial sobre Q.
Espacios funcionales
Las funciones de cualquier conjunto fijo Ω a un campo F también forman espacios vectoriales, realizando la suma y la multiplicación escalar puntualmente. Es decir, la suma de dos funciones f y g es la función dada por
donde es la matriz que contiene los coeficientes de las ecuaciones dadas, es el vector que denota el producto matricial y es el vector cero. De manera similar, las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas forman espacios vectoriales. Por ejemplo,
La relación de dos espacios vectoriales se puede expresar mediante aplicación lineal o transformación lineal . Son funciones que reflejan la estructura del espacio vectorial, es decir, conservan sumas y multiplicaciones escalares:
[37]
Un isomorfismo es una aplicación lineal f : V → W tal que existe una aplicación inversa g : W → V , que es una aplicación tal que las dos posibles composiciones f ∘ g : W → W y g ∘ f : V → V son mapas de identidad . De manera equivalente, f es tanto uno a uno ( inyectivo ) como sobre ( sobreyectivo ). [38] Si existe un isomorfismo entre V y W , se dice que los dos espacios son isomorfos ; entonces son esencialmente idénticos a los espacios vectoriales, ya que todas las identidades que se mantienen en V son, vía f , transportadas a otras similares en W , y viceversa vía g .
Por ejemplo, las flechas en el plano y los pares ordenados de espacios vectoriales de números en la introducción anterior (ver § Ejemplos) son isomórficos: una flecha plana v que parte del origen de algún sistema de coordenadas (fijo) se puede expresar como un par ordenado. considerando las componentes x e y de la flecha, como se muestra en la imagen de la derecha. Por el contrario, dado un par ( x , y ) , la flecha que pasa por x hacia la derecha (o hacia la izquierda, si x es negativa) y y hacia arriba (hacia abajo, si y es negativa) hace retroceder la flecha v . [39]
Los mapas lineales V → W entre dos espacios vectoriales forman un espacio vectorial Hom F ( V , W ) , también denotado L ( V , W ) o 𝓛 ( V , W ) . [40] El espacio de aplicaciones lineales de V a F se llama espacio vectorial dual , denotado V ∗ . [41] A través del mapa natural inyectivo V → V ∗∗ , cualquier espacio vectorial puede incrustarse en su bidual ; el mapa es un isomorfismo si y sólo si el espacio es de dimensión finita. [42]
Una vez que se elige una base de V , los mapas lineales f : V → W se determinan completamente especificando las imágenes de los vectores base, porque cualquier elemento de V se expresa únicamente como una combinación lineal de ellos. [43] Si tenue V = tenue W , una correspondencia 1 a 1 entre bases fijas de V y W da lugar a un mapa lineal que asigna cualquier elemento base de V al elemento base correspondiente de W. Es un isomorfismo, por su propia definición. [44] Por lo tanto, dos espacios vectoriales sobre un campo dado son isomorfos si sus dimensiones coinciden y viceversa. Otra forma de expresar esto es que cualquier espacio vectorial sobre un campo dado está completamente clasificado ( hasta el isomorfismo) por su dimensión, un solo número. En particular, cualquier espacio vectorial F n -dimensional V es isomorfo a F n . Sin embargo, no existe un isomorfismo "canónico" o preferido; un isomorfismo φ : F n → V es equivalente a la elección de una base de V , mapeando la base estándar de F n a V , vía φ .
matrices
Las matrices son una noción útil para codificar mapas lineales. [45] Están escritos como una matriz rectangular de escalares como en la imagen de la derecha. Cualquier matriz m por n da lugar a un mapa lineal de F n a F m , por la siguiente
Además, después de elegir las bases de V y W , cualquier aplicación lineal f : V → W se representa de forma única mediante una matriz mediante esta asignación. [46]
El determinante det ( A ) de una matriz cuadrada A es un escalar que indica si la aplicación asociada es un isomorfismo o no: para serlo es suficiente y necesario que el determinante sea distinto de cero. [47] La transformación lineal de R n correspondiente a una matriz real n por n conserva la orientación si y sólo si su determinante es positivo.
Valores propios y vectores propios
Los endomorfismos , aplicaciones lineales f : V → V , son particularmente importantes ya que en este caso los vectores v se pueden comparar con su imagen bajo f , f ( v ) . Cualquier vector v distinto de cero que satisfaga λ v = f ( v ) , donde λ es un escalar, se denomina vector propio de f con valor propio λ . [48] De manera equivalente, v es un elemento del núcleo de la diferencia f − λ · Id (donde Id es el mapa de identidad V → V ) . Si V es de dimensión finita, esto se puede reformular usando determinantes: f que tiene un valor propio λ es equivalente a
Además de los ejemplos concretos anteriores, hay una serie de construcciones algebraicas lineales estándar que producen espacios vectoriales relacionados con los dados.
Subespacios y espacios cocientes
Un subconjunto no vacío de un espacio vectorial que está cerrado bajo suma y multiplicación escalar (y por lo tanto contiene el vector de ) se llama subespacio lineal de , o simplemente subespacio de , cuando el espacio ambiental es inequívocamente un espacio vectorial. [51] [nb 4] Los subespacios de son espacios vectoriales (sobre el mismo campo) por derecho propio. La intersección de todos los subespacios que contienen un conjunto dado de vectores se llama tramo y es el subespacio más pequeño que contiene el conjunto . Expresado en términos de elementos, el lapso es el subespacio que consta de todas las combinaciones lineales de elementos de . [52]
El subespacio lineal de dimensión 1 y 2 se denomina línea y plano respectivamente. Si W es un espacio vectorial de n dimensiones, cualquier subespacio de dimensión 1 menor, es decir, de dimensión, se llama hiperplano . [53]
La contraparte de los subespacios son los espacios vectoriales cocientes . [54] Dado cualquier subespacio , el espacio cociente (" módulo ") se define de la siguiente manera: como conjunto, consta de
El núcleo de un mapa lineal consta de vectores que se asignan en . [55] El núcleo y la imagen son subespacios de y , respectivamente. [56]
Un ejemplo importante es el núcleo de una aplicación lineal para alguna matriz fija . El núcleo de este mapa es el subespacio de vectores tales que , que es precisamente el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneas pertenecientes a . Este concepto también se extiende a las ecuaciones diferenciales lineales.
El producto directo de espacios vectoriales y la suma directa de espacios vectoriales son dos formas de combinar una familia indexada de espacios vectoriales en un nuevo espacio vectorial.
El producto directo de una familia de espacios vectoriales consiste en el conjunto de todas las tuplas , que especifican para cada índice en algún conjunto de índices un elemento de . [59] La suma y la multiplicación escalar se realizan por componentes. Una variante de esta construcción es la suma directa (también llamada coproducto y denotada ), donde solo se permiten tuplas con un número finito de vectores distintos de cero. Si el conjunto de índices es finito, las dos construcciones concuerdan, pero en general son diferentes.
Producto tensorial
El producto tensorial o simplemente de dos espacios vectoriales es una de las nociones centrales del álgebra multilineal que se ocupa de extender nociones como aplicaciones lineales a varias variables. Una aplicación del producto cartesiano se llama bilineal si es lineal en ambas variables y es decir, para fija la aplicación es lineal en el sentido anterior y de igual manera para fija
El producto tensorial es un espacio vectorial particular que es un receptor universal de mapas bilineales como se muestra a continuación. Se define como el espacio vectorial que consta de sumas finitas (formales) de símbolos llamados tensores.
Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se entienden completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial sobre un campo dado se caracteriza, hasta el isomorfismo, por su dimensión. Sin embargo, los espacios vectoriales per se no ofrecen un marco para abordar la cuestión, crucial para el análisis, de si una secuencia de funciones converge en otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada para tratar con series infinitas , ya que la operación de suma sólo permite sumar un número finito de términos. Por tanto, las necesidades del análisis funcional requieren considerar estructuras adicionales. [62]
A un espacio vectorial se le puede dar un orden parcial bajo el cual se pueden comparar algunos vectores. [63] Por ejemplo, el espacio real -dimensional se puede ordenar comparando sus vectores por componentes. Los espacios vectoriales ordenados , por ejemplo los espacios de Riesz , son fundamentales para la integración de Lebesgue , que se basa en la capacidad de expresar una función como una diferencia de dos funciones positivas.
[64]
Espacios vectoriales normados y espacios de producto internos
La "medición" de vectores se realiza especificando una norma , un dato que mide las longitudes de los vectores, o mediante un producto interno , que mide los ángulos entre vectores. Las normas y los productos internos se denotan y respectivamente. El dato de un producto interno implica que las longitudes de los vectores también se pueden definir, definiendo la norma asociada. Los espacios vectoriales dotados de tales datos se conocen como espacios vectoriales normados y espacios de producto interno , respectivamente. [sesenta y cinco]
El espacio de coordenadas se puede equipar con el producto escalar estándar :
Las cuestiones de convergencia se tratan considerando espacios vectoriales que llevan una topología compatible , una estructura que permite hablar de elementos que están cerca unos de otros . [67] Compatible aquí significa que la suma y la multiplicación escalar tienen que ser mapas continuos . Aproximadamente, si y in , y in varían en una cantidad acotada, entonces también lo hacen y [nb 6] Para que tenga sentido especificar la cantidad que cambia un escalar, el campo también debe tener una topología en este contexto; una elección común son los números reales o los complejos.
En tales espacios vectoriales topológicos se pueden considerar series de vectores. la suma infinita
Una forma de asegurar la existencia de límites de ciertas series infinitas es restringir la atención a espacios donde cualquier secuencia de Cauchy tiene un límite; dicho espacio vectorial se llama completo . Aproximadamente, un espacio vectorial es completo siempre que contenga todos los límites necesarios. Por ejemplo, el espacio vectorial de polinomios en el intervalo unitario equipado con la topología de convergencia uniforme no está completo porque cualquier función continua puede aproximarse uniformemente mediante una secuencia de polinomios, según el teorema de aproximación de Weierstrass . [69] Por el contrario, el espacio de todas las funciones continuas con la misma topología es completo. [70] Una norma da lugar a una topología al definir que una secuencia de vectores converge si y sólo si
Desde un punto de vista conceptual, todas las nociones relacionadas con espacios vectoriales topológicos deben coincidir con la topología. Por ejemplo, en lugar de considerar todos los mapas lineales (también llamados funcionales ), se requiere que los mapas entre espacios vectoriales topológicos sean continuos. [72] En particular, el espacio dual (topológico) consta de funcionales continuos (o to ). El teorema fundamental de Hahn-Banach se ocupa de separar subespacios de espacios vectoriales topológicos apropiados mediante funcionales continuos. [73]
Un primer ejemplo es el espacio vectorial que consta de infinitos vectores con entradas reales
cuya norma está dada por
Las topologías en el espacio de dimensión infinita no son equivalentes para diferentes Por ejemplo, la secuencia de vectores en la que están los primeros componentes y los siguientes converge al vector cero para pero no para
De manera más general que las secuencias de números reales, las funciones están dotadas de una norma que reemplaza la suma anterior por la integral de Lebesgue.
Estos espacios están completos. [75] (Si en su lugar se utiliza la integral de Riemann , el espacio no está completo, lo que puede verse como una justificación de la teoría de la integración de Lebesgue. [nb 8] ) Concretamente, esto significa que para cualquier secuencia de funciones integrables de Lebesgue que satisfagan la condición
Imponer condiciones de acotación no sólo a la función, sino también a sus derivadas conduce a espacios de Sobolev . [76]
Espacios de Hilbert
Los espacios de producto internos completos se conocen como espacios de Hilbert , en honor a David Hilbert . [77] El espacio de Hilbert con producto interior dado por
Por definición, en un espacio de Hilbert, cualquier secuencia de Cauchy converge hacia un límite. Por el contrario, encontrar una secuencia de funciones con propiedades deseables que se aproximen a una función límite dada es igualmente crucial. Los primeros análisis, bajo la forma de la aproximación de Taylor , establecieron una aproximación de funciones diferenciables por polinomios. [79] Según el teorema de Stone-Weierstrass , cada función continua puede aproximarse tanto como se desee mediante un polinomio. [80] Una técnica de aproximación similar mediante funciones trigonométricas se denomina comúnmente expansión de Fourier y se aplica mucho en ingeniería. De manera más general y conceptual, el teorema produce una descripción simple de qué "funciones básicas" o, en espacios abstractos de Hilbert, qué vectores básicos son suficientes para generar un espacio de Hilbert en el sentido de que el cierre de su intervalo (es decir, finito combinaciones lineales y límites de ellas) es todo el espacio. Este conjunto de funciones se denomina base y su cardinalidad se conoce como dimensión del espacio de Hilbert . [nb 10] El teorema no solo exhibe funciones de base adecuadas como suficientes para propósitos de aproximación, sino que también, junto con el proceso de Gram-Schmidt , permite construir una base de vectores ortogonales . [81] Tales bases ortogonales son la generalización del espacio de Hilbert de los ejes de coordenadas en el espacio euclidiano de dimensión finita .
Las soluciones de varias ecuaciones diferenciales se pueden interpretar en términos de espacios de Hilbert. Por ejemplo, muchos campos de la física y la ingeniería conducen a este tipo de ecuaciones y, con frecuencia, se utilizan soluciones con propiedades físicas particulares como funciones base, a menudo ortogonales. [82] Como ejemplo de la física, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en mecánica cuántica describe el cambio de las propiedades físicas en el tiempo mediante una ecuación diferencial parcial , cuyas soluciones se denominan funciones de onda . [83] Los valores definidos de propiedades físicas como la energía o el momento corresponden a valores propios de un determinado operador diferencial (lineal) y las funciones de onda asociadas se denominan estados propios . El teorema espectral descompone un operador compacto lineal que actúa sobre funciones en términos de estas funciones propias y sus valores propios. [84]
Álgebras sobre campos
Los espacios vectoriales generales no poseen multiplicación entre vectores. Un espacio vectorial equipado con un operador bilineal adicional que define la multiplicación de dos vectores es un álgebra sobre un campo (o F -álgebra si se especifica el campo F ). [85]
Otro ejemplo crucial son las álgebras de Lie , que no son conmutativas ni asociativas, pero el hecho de no serlo está limitado por las restricciones ( denota el producto de y ):
Los ejemplos incluyen el espacio vectorial de matrices -por- , con el conmutador de dos matrices y dotado del producto cruzado .
El álgebra tensorial es una forma formal de sumar productos a cualquier espacio vectorial para obtener un álgebra. [88] Como espacio vectorial, está abarcado por símbolos, llamados tensores simples.
Un paquete de vectores es una familia de espacios vectoriales parametrizados continuamente por un espacio topológico X. [90] Más precisamente, un paquete de vectores sobre X es un espacio topológico E equipado con un mapa continuo
Las propiedades de ciertos paquetes de vectores proporcionan información sobre el espacio topológico subyacente. Por ejemplo, el paquete tangente consiste en la colección de espacios tangentes parametrizados por los puntos de una variedad diferenciable. El paquete tangente del círculo S 1 es globalmente isomorfo a S 1 × R , ya que hay un campo vectorial global distinto de cero en S 1 . [nb 12] Por el contrario, según el teorema de la bola peluda , no existe un campo vectorial (tangente) en la 2 esfera S 2 que sea distinto de cero en todas partes. [92] La teoría K estudia las clases de isomorfismo de todos los paquetes de vectores en algún espacio topológico. [93] Además de profundizar el conocimiento topológico y geométrico, tiene consecuencias puramente algebraicas, como la clasificación de álgebras de división real de dimensión finita : R , C , los cuaterniones H y los octoniones O.
Los módulos son a los anillos lo que los espacios vectoriales son a los campos: los mismos axiomas, aplicados a un anillo R en lugar de a un campo F , producen módulos. [94] La teoría de los módulos, en comparación con la de los espacios vectoriales, se complica por la presencia de elementos anulares que no tienen inversos multiplicativos . Por ejemplo, los módulos no necesitan tener bases, como lo muestra el módulo Z (es decir, el grupo abeliano ) Z /2 Z ; aquellos módulos que lo hacen (incluidos todos los espacios vectoriales) se conocen como módulos libres . Sin embargo, un espacio vectorial se puede definir de forma compacta como un módulo sobre un anillo que es un campo , y los elementos se denominan vectores. Algunos autores utilizan el término espacio vectorial para referirse a módulos sobre un anillo de división . [95] La interpretación álgebro-geométrica de anillos conmutativos a través de su espectro permite el desarrollo de conceptos tales como módulos localmente libres , la contraparte algebraica de los haces de vectores.
Espacios afines y proyectivos
En términos generales, los espacios afines son espacios vectoriales cuyos orígenes no están especificados. [96] Más precisamente, un espacio afín es un conjunto con una acción espacial vectorial transitiva libre . En particular, un espacio vectorial es un espacio afín sobre sí mismo, según el mapa
El conjunto de subespacios unidimensionales de un espacio vectorial fijo de dimensión finita V se conoce como espacio proyectivo ; puede usarse para formalizar la idea de líneas paralelas que se cruzan en el infinito. [98] Los Grassmannianos y las variedades de banderas generalizan esto parametrizando subespacios lineales de dimensión fija k y banderas de subespacios, respectivamente.
Notas
^ También es común, especialmente en física, indicar vectores con una flecha en la parte superior: también es común, especialmente en matemáticas superiores, no utilizar ningún método tipográfico para distinguir vectores de otros objetos matemáticos.
^ La multiplicación escalar no debe confundirse con el producto escalar , que es una operación adicional en algunos espacios vectoriales específicos, llamados espacios de producto internos . La multiplicación escalar es la multiplicación de un vector por un escalar que produce un vector, mientras que el producto escalar es una multiplicación de dos vectores que produce un escalar.
^ Este axioma no es una propiedad asociativa , ya que se refiere a dos operaciones diferentes, la multiplicación escalar y la multiplicación de campos. Por tanto, es independiente de la asociatividad de la multiplicación de campos, que se asume en los axiomas de campos.
^ Este suele ser el caso cuando un espacio vectorial también se considera un espacio afín . En este caso, un subespacio lineal contiene el vector cero , mientras que un subespacio afín no necesariamente lo contiene.
^ Algunos autores, como Roman (2005), optan por comenzar con esta relación de equivalencia y derivar la forma concreta de de ella.
^ Este requisito implica que la topología da lugar a una estructura uniforme , Bourbaki (1989), loc = ch. II.
^
"Muchas funciones de la medida de Lebesgue, al ser ilimitadas, no se pueden integrar con la integral de Riemann clásica. Por lo tanto, los espacios de funciones integrables de Riemann no estarían completos en la norma y la descomposición ortogonal no se aplicaría a ellos. Esto muestra una de las ventajas de la integración de Lebesgue.", Dudley (1989), §5.3, p. 125.
^ Porque no es un espacio de Hilbert.
^ Una base de un espacio de Hilbert no es lo mismo que una base de un álgebra lineal. Para distinguirlo, una base de álgebra lineal para un espacio de Hilbert se llama base de Hamel .
^ Es decir, existe un homeomorfismo de π −1 ( U ) a V × U que se restringe a isomorfismos lineales entre fibras.
^ Un paquete de líneas, como el paquete tangente de S 1 es trivial si y sólo si hay una sección que no desaparece en ninguna parte, ver Husemoller (1994), Corolario 8.3. Las secciones del paquete tangente son solo campos vectoriales .
Citas
^ Lang 2002.
^ Marrón 1991, pag. 86.
^ Romano 2005, cap. 1, pág. 27.
^ Marrón 1991, pag. 87.
^ Springer 2000, pag. 185; Marrón 1991, pág. 86.
^ Atiyah y Macdonald 1969, pág. 17.
^ Bourbaki 1998, §1.1, Definición 2.
^ Marrón 1991, pag. 94.
^ Marrón 1991, págs. 99-101.
^ ab Brown 1991, pág. 92.
^ a b C Stoll y Wong 1968, pág. 14.
^ Romano 2005, págs. 41–42.
^ Lang 1987, pag. 10–11; Antón y Rorres 2010, pág. 212.
Brown, William A. (1991), Matrices y espacios vectoriales , Nueva York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
Grillet, Pierre Antoine (2007), Álgebra abstracta , vol. 242, Springer Science & Business Media, doi :10.1007/978-0-387-71568-1, ISBN 978-0-387-71568-1
Halmos, Paul R. (1948), Espacios vectoriales de dimensiones finitas , vol. 7, Prensa de la Universidad de Princeton
Heil, Christopher (2011), Introducción a la teoría básica: edición ampliada , análisis armónico numérico y aplicado, Birkhäuser, doi :10.1007/978-0-8176-4687-5, ISBN 978-0-8176-4687-5
Jain, MC (2001), Espacios vectoriales y matrices en física, CRC Press, ISBN 978-0-8493-0978-6
Joshi, KD (1989), Fundamentos de las matemáticas discretas , John Wiley & Sons
Kreyszig, Erwin (2020), Matemáticas de ingeniería avanzada, John Wiley & Sons, ISBN 978-1-119-45592-9
Lang, Serge (1987), Álgebra lineal , Textos universitarios en matemáticas (3.ª ed.), Springer, doi :10.1007/978-1-4757-1949-9, ISBN 978-1-4757-1949-9
Braun, Martin (1993), Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones: una introducción a las matemáticas aplicadas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97894-9
Dennery, Philippe; Krzywicki, Andre (1996), Matemáticas para físicos , Publicaciones Courier Dover, ISBN 978-0-486-69193-0
Dudley, Richard M. (1989), Análisis real y probabilidad , The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-10050-6
Folland, Gerald B. (1992), Análisis de Fourier y sus aplicaciones , Brooks-Cole, ISBN 978-0-534-17094-3
Gasquet, Claude; Witomski, Patrick (1999), Análisis y aplicaciones de Fourier: filtrado, computación numérica, wavelets , textos de matemáticas aplicadas, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98485-8
Ifeachor, Emmanuel C.; Jervis, Barrie W. (2001), Procesamiento de señales digitales: un enfoque práctico (2ª ed.), Harlow, Essex, Inglaterra: Prentice-Hall (publicado en 2002), ISBN 978-0-201-59619-9
Krantz, Steven G. (1999), Un panorama del análisis armónico , Carus Mathematical Monographs, Washington, DC: Asociación Matemática de América, ISBN 978-0-88385-031-2
Rudin, Walter (1991), Análisis funcional (2 ed.), McGraw-Hill, ISBN 0070542368
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Banach, Stefan (1922), "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (Sobre operaciones en conjuntos abstractos y su aplicación a ecuaciones integrales)" (PDF) , Fundamenta Mathematicae (en francés), 3 : 133– 181, doi :10.4064/fm-3-1-133-181, ISSN 0016-2736
Bolzano, Bernard (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Consideraciones de algunos aspectos de la geometría elemental) (en alemán)
Bellavitis, Giuso (1833), "Sopra alcune applicazioni di un nuovo metodo di geometria analitica", Il poligrafo giornale di scienze, lettre ed arti , Verona, 13 : 53–61.
Bourbaki, Nicolas (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Elementos de la historia de las matemáticas) (en francés), París: Hermann
Dorier, Jean-Luc (1995), "Un esquema general de la génesis de la teoría del espacio vectorial", Historia Mathematica , 22 (3): 227–261, doi : 10.1006/hmat.1995.1024 , MR 1347828
Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur (en francés), Chez Firmin Didot, père et fils
Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (en alemán), O. Wigand, reimpresión: Grassmann, Hermann (2000), Kannenberg, LC (ed.), Extension Theory , traducido por Kannenberg, Lloyd C., Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2031-5
Guo, Hongyu (16 de junio de 2021), ¿Qué son exactamente los tensores? , World Scientific, ISBN 978-981-12-4103-1
Möbius, August Ferdinand (1827), Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Cálculo baricéntrico: una nueva utilidad para un tratamiento analítico de la geometría) (en alemán), archivado desde el original el 23 de noviembre de 2006
Moore, Gregory H. (1995), "La axiomatización del álgebra lineal: 1875-1940", Historia Mathematica , 22 (3): 262–303, doi : 10.1006/hmat.1995.1025
Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geométrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (en italiano), Turín{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
Blass, Andreas (1984), "La existencia de bases implica el axioma de elección" (PDF) , Teoría de conjuntos axiomáticos , Matemáticas contemporáneas volumen 31, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 31–33, ISBN 978-0-8218-5026-8, señor 0763890
Eisenberg, Murray; Guy, Robert (1979), "Una prueba del teorema de la bola peluda", The American Mathematical Monthly , 86 (7): 572–574, doi :10.2307/2320587, JSTOR 2320587
Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013), Cálculo: único y multivariable (6 ed.), John Wiley & Sons , ISBN 978-0470-88861-2
Wallace, GK (febrero de 1992), "El estándar de compresión de imágenes fijas JPEG" (PDF) , IEEE Transactions on Consumer Electronics , 38 (1): xviii–xxxiv, CiteSeerX 10.1.1.318.4292 , doi :10.1109/30.125072, ISSN 0098 -3063, archivado desde el original (PDF) el 13 de enero de 2007 , consultado el 25 de octubre de 2017
Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. SEÑOR 1269324. OCLC 36131259.
enlaces externos
El Wikibook Álgebra lineal tiene una página sobre el tema: Espacios vectoriales reales
El Wikilibro Álgebra lineal tiene una página sobre el tema: Espacios vectoriales