Geometría analítica

Estudio de geometría mediante un sistema de coordenadas.

En matemáticas , la geometría analítica , también conocida como geometría de coordenadas o geometría cartesiana , es el estudio de la geometría utilizando un sistema de coordenadas . Esto contrasta con la geometría sintética .

La geometría analítica se utiliza en física e ingeniería , y también en aviación , cohetes , ciencia espacial y vuelos espaciales . Es la base de la mayoría de los campos modernos de la geometría, incluida la geometría algebraica , diferencial , discreta y computacional .

Por lo general, el sistema de coordenadas cartesiano se aplica para manipular ecuaciones de planos, líneas rectas y círculos, a menudo en dos y a veces en tres dimensiones. Geométricamente se estudia el plano euclidiano (dos dimensiones) y el espacio euclidiano. Como se enseña en los libros escolares, la geometría analítica se puede explicar de manera más simple: se ocupa de definir y representar formas geométricas de forma numérica y extraer información numérica de las definiciones y representaciones numéricas de las formas. Que el álgebra de los números reales pueda emplearse para producir resultados sobre el continuo lineal de la geometría se basa en el axioma de Cantor-Dedekind .

Historia

Antigua Grecia

El matemático griego Menecmo resolvió problemas y demostró teoremas utilizando un método que tenía un gran parecido con el uso de coordenadas y en ocasiones se ha sostenido que había introducido la geometría analítica. ^[1]

Apolonio de Perga , en Sobre la sección determinada , abordó los problemas de una manera que podría denominarse geometría analítica de una dimensión; con la cuestión de encontrar puntos en una línea que estuvieran en proporción con los demás. ^[2] Apolonio en las Cónicas desarrolló aún más un método que es tan similar a la geometría analítica que a veces se piensa que su trabajo se anticipó al trabajo de Descartes en unos 1800 años. Su aplicación de líneas de referencia, un diámetro y una tangente no es esencialmente diferente de nuestro uso moderno de un sistema de coordenadas, donde las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. Además, desarrolló relaciones entre las abscisas y las ordenadas correspondientes que son equivalentes a ecuaciones retóricas (expresadas en palabras) de curvas. Sin embargo, aunque Apolonio estuvo cerca de desarrollar la geometría analítica, no logró hacerlo ya que no tenía en cuenta las magnitudes negativas y en todos los casos el sistema de coordenadas se superponía a una curva dada a posteriori en lugar de a priori . Es decir, las ecuaciones estaban determinadas por curvas, pero las curvas no estaban determinadas por ecuaciones. Coordenadas, variables y ecuaciones eran nociones subsidiarias aplicadas a una situación geométrica específica. ^[3]

Persia

El matemático persa del siglo XI Omar Khayyam vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra y se movía en la dirección correcta cuando ayudó a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y geométrica ^[4] con su solución geométrica de las ecuaciones cúbicas generales , ^[5] pero el paso decisivo llegó más tarde con Descartes. ^[4] A Omar Khayyam se le atribuye la identificación de los fundamentos de la geometría algebraica , y su libro Tratado sobre demostraciones de problemas de álgebra (1070), que estableció los principios de la geometría analítica, es parte del cuerpo de matemáticas persa que finalmente se transmitió. a Europa. ^[6] Debido a su minucioso enfoque geométrico de las ecuaciones algebraicas, Khayyam puede considerarse un precursor de Descartes en la invención de la geometría analítica. ^{[7] : 248}

Europa Oriental

La geometría analítica fue inventada de forma independiente por René Descartes y Pierre de Fermat , ^{[8] [9]} aunque a veces se le da crédito exclusivo a Descartes. ^{[10] [11]} Geometría cartesiana , el término alternativo utilizado para la geometría analítica, lleva el nombre de Descartes.

Descartes hizo avances significativos con los métodos en un ensayo titulado La Géométrie (Geometría) , uno de los tres ensayos adjuntos (apéndices) publicado en 1637 junto con su Discurso sobre el método para dirigir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias , comúnmente denominado Discurso sobre el método .La Geometrie , escrita en su lengua nativa francesa , y sus principios filosóficos, proporcionaron una base para el cálculo en Europa. Inicialmente, el trabajo no fue bien recibido, debido, en parte, a las muchas lagunas en los argumentos y a las complicadas ecuaciones. Sólo después de la traducción al latín y la adición del comentario de van Schooten en 1649 (y posteriores trabajos) la obra maestra de Descartes recibió el debido reconocimiento. ^[12]

Pierre de Fermat también fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica. Aunque no se publicó durante su vida, un manuscrito de Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a los lugares planos y sólidos) circulaba en París en 1637, justo antes de la publicación del Discurso de Descartes . ^{[13] [14] [15]} Claramente escrita y bien recibida, la Introducción también sentó las bases para la geometría analítica. La diferencia clave entre los tratamientos de Fermat y Descartes es una cuestión de punto de vista: Fermat siempre comenzó con una ecuación algebraica y luego describió la curva geométrica que la satisfacía, mientras que Descartes comenzó con curvas geométricas y produjo sus ecuaciones como una de varias propiedades de las curvas. . ^[12] Como consecuencia de este enfoque, Descartes tuvo que lidiar con ecuaciones más complicadas y tuvo que desarrollar los métodos para trabajar con ecuaciones polinómicas de mayor grado. Fue Leonhard Euler quien aplicó por primera vez el método de coordenadas en un estudio sistemático de curvas y superficies espaciales.

Coordenadas

Ilustración de un plano de coordenadas cartesianas. Cuatro puntos están marcados y etiquetados con sus coordenadas: (2,3) en verde, (−3,1) en rojo, (−1.5,−2.5) en azul y el origen (0,0) en violeta.

En geometría analítica, al plano se le da un sistema de coordenadas, por el cual cada punto tiene un par de coordenadas de números reales . De manera similar, al espacio euclidiano se le dan coordenadas donde cada punto tiene tres coordenadas. El valor de las coordenadas depende de la elección del punto de origen inicial. Se utilizan diversos sistemas de coordenadas, pero los más comunes son los siguientes: ^[16]

Coordenadas cartesianas (en un plano o espacio)

El sistema de coordenadas más común que se utiliza es el sistema de coordenadas cartesiano , donde cada punto tiene una coordenada x que representa su posición horizontal y una coordenada y que representa su posición vertical. Por lo general, se escriben como un par ordenado ( x ,  y ). Este sistema también se puede utilizar para geometría tridimensional, donde cada punto en el espacio euclidiano está representado por un triple ordenado de coordenadas ( x ,  y ,  z ).

Coordenadas polares (en un plano)

En coordenadas polares , cada punto del plano está representado por su distancia r desde el origen y su ángulo θ , con θ normalmente medido en sentido antihorario desde el eje x positivo . Usando esta notación, los puntos normalmente se escriben como un par ordenado ( r , θ ). Se pueden transformar de un lado a otro entre coordenadas cartesianas y polares bidimensionales utilizando estas fórmulas:

$${\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).}$$

cilíndricasesféricas

Coordenadas cilíndricas (en un espacio)

En coordenadas cilíndricas , cada punto del espacio está representado por su altura z , su radio r desde el eje z y el ángulo θ que forma su proyección en el plano xy con respecto al eje horizontal.

Coordenadas esféricas (en un espacio)

En coordenadas esféricas, cada punto en el espacio está representado por su distancia ρ desde el origen, el ángulo θ que forma su proyección en el plano xy con respecto al eje horizontal y el ángulo φ que forma con respecto al eje z . . Los nombres de los ángulos suelen estar invertidos en física. ^[dieciséis]

Ecuaciones y curvas

En geometría analítica, cualquier ecuación que involucre coordenadas especifica un subconjunto del plano, es decir, el conjunto solución de la ecuación, o lugar geométrico . Por ejemplo, la ecuación y  =  x corresponde al conjunto de todos los puntos del plano cuyas coordenadas x e y son iguales. Estos puntos forman una línea y se dice que y  =  x es la ecuación de esta línea. En general, las ecuaciones lineales que involucran xey especifican líneas, las ecuaciones cuadráticas especifican secciones cónicas y las ecuaciones más complicadas describen figuras más complicadas . ^[17]

Generalmente, una sola ecuación corresponde a una curva en el plano. Este no es siempre el caso: la ecuación trivial x  =  x especifica todo el plano, y la ecuación x ²  +  y ²  = 0 especifica solo el punto (0, 0). En tres dimensiones, una sola ecuación suele dar una superficie , y una curva debe especificarse como la intersección de dos superficies (ver más abajo), o como un sistema de ecuaciones paramétricas . ^[18] La ecuación x ²  +  y ²  =  r ² es la ecuación para cualquier círculo centrado en el origen (0, 0) con un radio de r.

lineas y planos

Las rectas en un plano cartesiano , o más generalmente, en coordenadas afines , pueden describirse algebraicamente mediante ecuaciones lineales . En dos dimensiones, la ecuación para líneas no verticales a menudo se da en la forma pendiente-intersección :

$${\displaystyle y=mx+b}$$

• m es la pendiente o gradiente de la línea.
• b es la intersección y de la línea.
• x es la variable independiente de la función y = f ( x ).

De manera análoga a la forma en que las líneas en un espacio bidimensional se describen usando una forma punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural usando un punto en el plano y un vector ortogonal a él (el vector normal ) para indicar su "inclinación".

Específicamente, sea el vector de posición de algún punto y sea un vector distinto de cero. El plano determinado por este punto y vector consta de aquellos puntos , con vector de posición , tales que el vector dibujado desde a es perpendicular a . Recordando que dos vectores son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es cero, se deduce que el plano deseado puede describirse como el conjunto de todos los puntos tales que ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$$

producto escalar

$${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$$

que es la forma normal puntual de la ecuación de un plano. ^{[ cita necesaria ]}ecuación lineal

$${\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$$

abcdabc

$${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$

es un plano que tiene el vector como normal. ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$^{[ cita necesaria ]}forma general^[19]

En tres dimensiones, las líneas no pueden describirse mediante una única ecuación lineal, por lo que frecuentemente se describen mediante ecuaciones paramétricas :

$${\displaystyle x=x_{0}+at}$$

$${\displaystyle y=y_{0}+bt}$$

$${\displaystyle z=z_{0}+ct}$$

• x , y y z son todas funciones de la variable independiente t que abarca los números reales.
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) es cualquier punto de la recta.
• a , b y c están relacionados con la pendiente de la recta, de modo que el vector ( a , b , c ) es paralelo a la recta.

Secciones cónicas

En el sistema de coordenadas cartesiano , la gráfica de una ecuación cuadrática con dos variables es siempre una sección cónica, aunque puede ser degenerada, y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación será de la forma

$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}}$$

Como escalar las seis constantes produce el mismo lugar geométrico de ceros, se pueden considerar las cónicas como puntos en el espacio proyectivo ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

Las secciones cónicas descritas por esta ecuación se pueden clasificar usando el discriminante ^[20]

$${\displaystyle B^{2}-4AC.}$$

• si , la ecuación representa una elipse ; ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
  • si y , la ecuación representa un círculo , que es un caso especial de elipse; ${\displaystyle A=C}$ ${\displaystyle B=0}$
• si , la ecuación representa una parábola ; ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• si , la ecuación representa una hipérbola ; ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$
  • si también tenemos , la ecuación representa una hipérbola rectangular . ${\displaystyle A+C=0}$

Superficies cuádricas

Una superficie cuádrica , o cuádrica , es una superficie bidimensional en un espacio tridimensional definida como el lugar geométrico de los ceros de un polinomio cuadrático . En las coordenadas x ₁ , x ₂ , x ₃ , la cuádrica general está definida por la ecuación algebraica ^[21]

$${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}$$

Las superficies cuádricas incluyen elipsoides (incluida la esfera ), paraboloides , hiperboloides , cilindros , conos y planos .

Distancia y ángulo

La fórmula de la distancia en el plano se deriva del teorema de Pitágoras.

En geometría analítica, las nociones geométricas como la distancia y la medida de los ángulos se definen mediante fórmulas . Estas definiciones están diseñadas para ser consistentes con la geometría euclidiana subyacente . Por ejemplo, usando coordenadas cartesianas en el plano, la distancia entre dos puntos ( x ₁ ,  y ₁ ) y ( x ₂ ,  y ₂ ) se define mediante la fórmula

$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}$$

teorema de Pitágoras

$${\displaystyle \theta =\arctan(m),}$$

mpendiente

En tres dimensiones, la distancia viene dada por la generalización del teorema de Pitágoras:

$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}$$

producto escalarAB^[22]

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,}$$

θánguloAB.

Transformaciones

a) y = f(x) = |x|       b) y = f(x+3)      c) y = f(x)-3      d) y = 1/2 f(x)

Las transformaciones se aplican a una función principal para convertirla en una nueva función con características similares.

La gráfica de se cambia mediante transformaciones estándar de la siguiente manera: ${\displaystyle R(x,y)}$

• Cambiar a mueve el gráfico a las unidades correctas. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-h}$ ${\displaystyle h}$
• Cambiar a mueve el gráfico hacia arriba en unidades. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y-k}$ ${\displaystyle k}$
• Cambiar a estira el gráfico horizontalmente por un factor de . (piense en ello como si estuviera dilatado) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x/b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$
• Cambiar a estira el gráfico verticalmente. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y/a}$
• Cambiar a y cambiar a gira el gráfico en un ángulo . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$ ${\displaystyle A}$

Hay otras transformaciones estándar que no suelen estudiarse en geometría analítica elemental porque las transformaciones cambian la forma de los objetos de formas que normalmente no se consideran. El sesgo es un ejemplo de una transformación que normalmente no se considera. Para obtener más información, consulte el artículo de Wikipedia sobre transformaciones afines .

Por ejemplo, la función principal tiene una asíntota horizontal y vertical, y ocupa el primer y tercer cuadrante, y todas sus formas transformadas tienen una asíntota horizontal y vertical, y ocupa el primero y el tercero o el segundo y el cuarto cuadrante. En general, si , entonces se puede transformar en . En la nueva función transformada, es el factor que estira verticalmente la función si es mayor que 1 o comprime verticalmente la función si es menor que 1, y para valores negativos, la función se refleja en el eje -. El valor comprime la gráfica de la función horizontalmente si es mayor que 1 y estira la función horizontalmente si es menor que 1, y al igual que , refleja la función en el eje - cuando es negativa. Los valores y introducen traslaciones, , vertical y horizontal. Los valores positivos y significan que la función se traduce al extremo positivo de su eje y el significado negativo se traduce hacia el extremo negativo. ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y=af(b(x-k))+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$

Las transformaciones se pueden aplicar a cualquier ecuación geométrica, ya sea que la ecuación represente o no una función. Las transformaciones pueden considerarse como transacciones individuales o en combinación.

Supongamos que es una relación en el plano. Por ejemplo, ${\displaystyle R(x,y)}$ ${\displaystyle xy}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$$

Encontrar intersecciones de objetos geométricos.

Para dos objetos geométricos, P y Q están representados por las relaciones y la intersección es la colección de todos los puntos que están en ambas relaciones. ^[23] ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Por ejemplo, podría ser el círculo con radio 1 y centro : y podría ser el círculo con radio 1 y centro . La intersección de estos dos círculos es el conjunto de puntos que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. ¿El punto hace que ambas ecuaciones sean verdaderas? Usando for , la ecuación for se convierte en o , que es verdadera, también lo es en la relación . Por otro lado, seguir usando para la ecuación for se vuelve o cual es falso. no está dentro, por lo que no está en la intersección. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle 0=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P}$

La intersección de y se puede encontrar resolviendo las ecuaciones simultáneas: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$

$${\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}$$

Los métodos tradicionales para encontrar intersecciones incluyen sustitución y eliminación.

Sustitución: Resuelva la primera ecuación en términos de y luego sustituya la expresión for en la segunda ecuación: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$

$${\displaystyle y^{2}=1-x^{2}.}$$

Luego sustituimos este valor en la otra ecuación y procedemos a resolver : ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}$$

$${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$$

$${\displaystyle -2x=-1}$$

$${\displaystyle x=1/2.}$$

A continuación, colocamos este valor de en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos para : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$

$${\displaystyle y^{2}=3/4}$$

$${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

Entonces nuestra intersección tiene dos puntos:

$${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

Eliminación : Suma (o resta) un múltiplo de una ecuación a la otra ecuación para que una de las variables quede eliminada. Para nuestro ejemplo actual, si restamos la primera ecuación de la segunda obtenemos . El de la primera ecuación se resta del de la segunda ecuación sin dejar ningún término. La variable ha sido eliminada. Luego resolvemos la ecuación restante para , de la misma manera que en el método de sustitución: ${\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$$

$${\displaystyle -2x=-1}$$

$${\displaystyle x=1/2.}$$

Luego colocamos este valor de en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos para : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$

$${\displaystyle y^{2}=3/4}$$

$${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

Entonces nuestra intersección tiene dos puntos:

$${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

Para secciones cónicas, pueden haber hasta 4 puntos en la intersección.

Encontrar intersecciones

Un tipo de intersección ampliamente estudiado es la intersección de un objeto geométrico con los ejes de coordenadas y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

La intersección de un objeto geométrico y el eje se llama intersección del objeto. La intersección de un objeto geométrico y el eje se llama intersección del objeto. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Para la línea , el parámetro especifica el punto donde la línea cruza el eje. Dependiendo del contexto, cualquiera de los puntos o se denomina intersección. ${\displaystyle y=mx+b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (0,b)}$ ${\displaystyle y}$

Eje geométrico

El eje en geometría es la línea perpendicular a cualquier línea, objeto o superficie.

También para esto se puede utilizar el uso del lenguaje común como: línea normal (perpendicular), de lo contrario en ingeniería como línea axial .

En geometría , una normal es un objeto como una línea o un vector que es perpendicular a un objeto determinado. Por ejemplo, en el caso bidimensional, la línea normal a una curva en un punto dado es la línea perpendicular a la línea tangente a la curva en ese punto.

En el caso tridimensional, una superficie normal , o simplemente normal , a una superficie en un punto P es un vector que es perpendicular al plano tangente a esa superficie en P. La palabra "normal" también se utiliza como adjetivo: una recta normal a un plano , la componente normal de una fuerza , el vector normal , etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad .

Planos esféricos y no lineales y sus tangentes.

La tangente es la aproximación lineal de una línea esférica u otra línea curva o torcida de una función.

Rectas tangentes y planos.

En geometría , la recta tangente (o simplemente tangente ) a una curva plana en un punto dado es la recta que "justo toca" la curva en ese punto. Informalmente, es una línea que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva. Más precisamente, se dice que una línea recta es tangente a una curva y = f ( x ) en un punto x = c de la curva si la línea pasa por el punto ( c , f ( c )) de la curva y tiene pendiente f ' ( c ) donde f ' es la derivada de f . Una definición similar se aplica a las curvas espaciales y a las curvas en el espacio euclidiano de n dimensiones .

Al pasar por el punto donde se encuentran la recta tangente y la curva, llamado punto de tangencia , la recta tangente "va en la misma dirección" que la curva y, por lo tanto, es la mejor aproximación en línea recta a la curva en ese punto. punto.

De manera similar, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que "justo toca" la superficie en ese punto. El concepto de tangente es una de las nociones más fundamentales en geometría diferencial y se ha generalizado ampliamente; ver Espacio tangente .

Ver también

• Geometría aplicada
• Producto cruzado
• Rotación de ejes
• Traducción de ejes
• Espacio vectorial

Notas

1. Boyer, Carl B. (1991). "La era de Platón y Aristóteles". Una historia de las matemáticas (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. págs. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. Menaechmus aparentemente derivó estas propiedades de las secciones cónicas y también otras. Dado que este material tiene un gran parecido con el uso de coordenadas, como se ilustra arriba, en ocasiones se ha sostenido que Menecmo tenía geometría analítica. Semejante juicio sólo está justificado en parte, pues ciertamente Menecmo no sabía que cualquier ecuación en dos cantidades desconocidas determina una curva. De hecho, el concepto general de ecuación en cantidades desconocidas era ajeno al pensamiento griego. Fueron las deficiencias en las notaciones algebraicas las que, más que cualquier otra cosa, actuaron en contra del logro griego de una geometría de coordenadas completa.
2. Boyer, Carl B. (1991). "Apolonio de Perga". Una historia de las matemáticas (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. págs. 142. ISBN 0-471-54397-7. El tratado apolíneo Sobre la sección determinada trataba de lo que podría llamarse una geometría analítica de una dimensión. Consideró el siguiente problema general, utilizando el típico análisis algebraico griego en forma geométrica: dados cuatro puntos A, B, C, D en una línea recta, determine un quinto punto P de modo que el rectángulo en AP y CP esté en una proporción dada al rectángulo en BP y DP. También aquí el problema se reduce fácilmente a la solución de una cuadrática; y, como en otros casos, Apolonio trató la cuestión exhaustivamente, incluidos los límites de posibilidad y el número de soluciones.
3. Boyer, Carl B. (1991). "Apolonio de Perga". Una historia de las matemáticas (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. págs. 156. ISBN 0-471-54397-7. El método de Apolonio en las Cónicas es en muchos aspectos tan similar al enfoque moderno que a veces se considera que su trabajo es una geometría analítica que se anticipa a la de Descartes en 1800 años. La aplicación de líneas de referencia en general, y de un diámetro y una tangente en su extremo en particular, no es, por supuesto, esencialmente diferente del uso de un sistema de coordenadas, ya sea rectangular o, más generalmente, oblicuo. Las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. Las relaciones apolíneas entre estas abscisas y las correspondientes ordenadas no son ni más ni menos que formas retóricas de las ecuaciones de las curvas. Sin embargo, el álgebra geométrica griega no preveía magnitudes negativas; además, el sistema de coordenadas se superpuso en todos los casos a posteriori sobre una curva dada para estudiar sus propiedades. No parece haber casos en la geometría antigua en los que se estableciera a priori un marco de referencia de coordenadas con fines de representación gráfica de una ecuación o relación, ya sea expresada simbólica o retóricamente. De la geometría griega podemos decir que las ecuaciones están determinadas por curvas, pero no que las curvas están determinadas por ecuaciones. Coordenadas, variables y ecuaciones eran nociones subsidiarias derivadas de una situación geométrica específica; [...] Que Apolonio, el mayor geómetra de la antigüedad, no lograra desarrollar la geometría analítica, fue probablemente el resultado de una pobreza de curvas más que de pensamiento. Los métodos generales no son necesarios cuando los problemas conciernen siempre a uno de un número limitado de casos particulares.
4. Boyer (1991). «La hegemonía árabe» . Una historia de las matemáticas . págs. 241-242. ISBN 9780471543978. Omar Khayyam (ca. 1050-1123), el "fabricante de tiendas de campaña", escribió un álgebra que iba más allá de la de al-Khwarizmi e incluía ecuaciones de tercer grado. Al igual que sus predecesores árabes, Omar Khayyam proporcionó soluciones aritméticas y geométricas para ecuaciones cuadráticas; Para las ecuaciones cúbicas generales, creía (erróneamente, como demostró más tarde el siglo XVI), las soluciones aritméticas eran imposibles; por tanto, sólo dio soluciones geométricas. El esquema de utilizar cónicas que se cruzan para resolver cúbicas había sido utilizado anteriormente por Menecmo, Arquímedes y Alhazan, pero Omar Khayyam dio el paso loable de generalizar el método para cubrir todas las ecuaciones de tercer grado (que tengan raíces positivas). Para ecuaciones de grado superior a tres, Omar Khayyam evidentemente no imaginó métodos geométricos similares, ya que el espacio no contiene más que tres dimensiones... Una de las contribuciones más fructíferas del eclecticismo árabe fue la tendencia a cerrar la brecha entre lo numérico y lo numérico. álgebra geométrica. El paso decisivo en esta dirección llegó mucho más tarde con Descartes, pero Omar Khayyam se estaba moviendo en esta dirección cuando escribió: "Quien piense que el álgebra es un truco para obtener incógnitas, lo ha pensado en vano. No se debe prestar atención al hecho de que el álgebra y la geometría son diferentes en apariencia. Las álgebras son hechos geométricos que están demostrados ".
5. Cooper, Glen M. (2003). "Reseña: Omar Khayyam, el matemático por R. Rashed, B. Vahabzadeh". La Revista de la Sociedad Oriental Americana . 123 (1): 248–249. doi :10.2307/3217882. JSTOR  3217882.
6. Obras maestras matemáticas: más crónicas de los exploradores, pag. 92
7. Cooper, G. (2003). Revista de la Sociedad Oriental Americana, 123(1), 248-249.
8. Stillwell, John (2004). "Geometría analítica". Las matemáticas y su historia (Segunda ed.). Springer Science + Business Media Inc. pág. 105.ISBN _ 0-387-95336-1. Los dos fundadores de la geometría analítica, Fermat y Descartes, estuvieron fuertemente influenciados por estos desarrollos.
9. Boyer 2004, pag. 74
10. Cooke, Roger (1997). "El Cálculo". La historia de las matemáticas: un curso breve . Wiley-Interscience. págs.326. ISBN 0-471-18082-3. La persona a quien popularmente se le atribuye el descubrimiento de la geometría analítica fue el filósofo René Descartes (1596-1650), uno de los pensadores más influyentes de la era moderna.
11. Boyer 2004, pag. 82
12. Katz 1998, pág. 442
13. Katz 1998, pág. 436
14. Pierre de Fermat, Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, Francia: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge", págs. 91-103.
15. "Eloge de Monsieur de Fermat" (Elogio del Sr. de Fermat), Le Journal des Scavans , 9 de febrero de 1665, págs. De la pág. 70: "Una introducción aux lieux, planes & solides; qui est un traité analytique concernant la solución des problemas de planes & solides, qui avoit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet". (Una introducción a los lugares geométricos, planos y sólidos; que es un tratado analítico sobre la solución de problemas planos y sólidos, que se vio antes de que el Sr. des Cartes publicara algo sobre este tema).
16. Stewart, James (2008). Cálculo: primeros trascendentales , 6.ª ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8 
17. Percey Franklyn Smith, Arthur Sullivan Gale (1905) Introducción a la geometría analítica , Athaeneum Press
18. William H. McCrea, Geometría analítica de tres dimensiones Courier Dover Publications, 27 de enero de 2012
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Referencias

Libros

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• Katz, Victor J. (1998), Una historia de las matemáticas: una introducción (2ª ed.), Lectura: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
• Mikhail Postnikov (1982) Conferencias de geometría Semestre I Geometría analítica a través de Internet Archive
• Struik, DJ (1969), Un libro de consulta en matemáticas, 1200-1800 , Harvard University Press, ISBN 978-0674823556

Artículos

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• Boyer, Carl B. (1965), "Johann Hudde y las coordenadas espaciales", Profesor de matemáticas , 58 (1): 33–36, doi :10.5951/MT.58.1.0033
• Coolidge, JL (1948), "Los inicios de la geometría analítica en tres dimensiones", American Mathematical Monthly , 55 (2): 76–86, doi :10.2307/2305740, JSTOR  2305740
• Pecl, J., Newton y la geometría analítica.

enlaces externos

• Coordina temas de geometría con animaciones interactivas.