Apolonio de Perge ( griego : Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος Apollṓnios ho Pergaîos ; c. 240 a. C. - c. 190 a. C. ) fue un geómetra y astrónomo griego conocido por su trabajo sobre las secciones cónicas . Partiendo de las contribuciones anteriores de Euclides y Arquímedes sobre el tema, las llevó al estado anterior a la invención de la geometría analítica . Sus definiciones de los términos elipse , parábola e hipérbola son las que se utilizan en la actualidad. Junto con sus predecesores Euclides y Arquímedes, Apolonio es considerado generalmente entre los más grandes matemáticos de la antigüedad. [1]
Aparte de la geometría, Apolonio trabajó en muchos otros temas, incluida la astronomía. La mayor parte de este trabajo no ha sobrevivido, salvo los fragmentos a los que hacen referencia otros autores como Pappus de Alejandría . Su hipótesis de las órbitas excéntricas para explicar el movimiento aparentemente aberrante de los planetas , comúnmente creída hasta la Edad Media , fue superada durante el Renacimiento . El cráter Apolonio en la Luna lleva su nombre. [2]
A pesar de sus trascendentales contribuciones al campo de las matemáticas , se conserva poca información biográfica sobre Apolonio. El comentarista griego del siglo VI Eutocio de Ascalón , escribiendo sobre las Cónicas de Apolonio , afirma: [3]
Apolonio, el geómetra,... vino de Perga en Panfilia en tiempos de Ptolomeo III Euergetes , así lo registra Heraclio, el biógrafo de Arquímedes...
A partir de este pasaje se puede datar aproximadamente a Apolonio, [a] pero los años específicos de nacimiento y muerte indicados por los eruditos modernos son solo especulativos. [4] Ptolomeo III Evergetes ("benefactor") fue el tercer dinasta griego de Egipto en la sucesión de los Diadocos , que reinó entre 246 y 222/221 a. C. Los "tiempos" siempre se registran por gobernante o magistrado oficiante, por lo que es probable que Apolonio naciera después de 246. La identidad de Heracleios es incierta.
Perge era una ciudad helenizada de Panfilia , Anatolia , cuyas ruinas aún se mantienen en pie. Fue un centro de la cultura helenística. Eutocio parece asociar Perge con la dinastía ptolemaica de Egipto. Perge, que nunca estuvo bajo Egipto, en el año 246 a. C. pertenecía al Imperio seléucida , un estado diádoco independiente gobernado por la dinastía seléucida. Durante la última mitad del siglo III a. C., Perge cambió de manos varias veces, estando alternativamente bajo los seléucidas y bajo los atálidas de Pérgamo , al norte. Se podría esperar que alguien designado "de Perge" viviera y trabajara allí; por el contrario, si Apolonio fue identificado posteriormente con Perge, no fue sobre la base de su residencia. El material autobiográfico restante implica que vivió, estudió y escribió en Alejandría.
Una carta del matemático y astrónomo griego Hipsícles fue originalmente parte del suplemento tomado del Libro XIV de Euclides, parte de los trece libros de los Elementos de Euclides . [5]
Basílides de Tiro , oh Protarco, cuando llegó a Alejandría y conoció a mi padre, pasó la mayor parte de su estancia con él debido al vínculo que los unía debido a su interés común por las matemáticas. Y en una ocasión, al examinar el tratado escrito por Apolonio sobre la comparación del dodecaedro y el icosaedro inscritos en una misma esfera, es decir, sobre la cuestión de qué proporción guardan entre sí, llegaron a la conclusión de que el tratamiento que Apolonio da al respecto en ese libro no era correcto; en consecuencia, según entendí por mi padre, procedieron a enmendarlo y reescribirlo. Pero yo mismo encontré después otro libro publicado por Apolonio, que contenía una demostración de la materia en cuestión, y me atrajo mucho su investigación del problema. Ahora bien, el libro publicado por Apolonio es accesible a todos, ya que tiene una gran circulación en una forma que parece haber sido el resultado de una cuidadosa elaboración posterior.
Se puede encontrar material autobiográfico en los prefacios que se conservan de los libros de Cónicas. Se trata de cartas que Apolonio dirigió a amigos influyentes pidiéndoles que revisaran el libro adjunto a la carta. Los dos primeros prefacios están dirigidos a Eudemo de Pérgamo.
Es probable que Eudemo fuera o llegara a ser el director del centro de investigación del Museo de Pérgamo , una ciudad conocida por su industria de libros y pergaminos, de la que deriva el nombre de pergamino . La investigación en las instituciones matemáticas griegas, que seguían el modelo del Liceo ateniense , formaba parte del esfuerzo educativo al que se sumaban la biblioteca y el museo. Solo había una escuela de este tipo en el estado, bajo patrocinio real. Los libros eran raros y caros y coleccionarlos era una obligación real.
El prefacio de Apolonio al Libro I le dice a Eudemo que los primeros cuatro libros trataban sobre el desarrollo de los elementos, mientras que los últimos cuatro trataban sobre temas especiales. Apolonio le recuerda a Eudemo que las Cónicas fueron inicialmente solicitadas por Naucrates, un geómetra y huésped en Alejandría, desconocido para la historia. Apolonio le proporcionó a Naucrates el primer borrador de los ocho libros, pero se refiere a ellos como "sin una purga completa", y tenía la intención de verificar y corregir los libros, publicando cada uno a medida que lo completaba.
Eudemo, que había oído este plan de boca del propio Apolonio, que había visitado Pérgamo, insistió en que Apolonio le enviara cada libro antes de su publicación. En esa época, Apolonio era probablemente todavía un joven geómetra que, según Pappus, se quedó en Alejandría con los estudiantes de Euclides (mucho después de su época), tal vez en la última etapa de su educación. Es posible que Eudemo fuera un mentor de la época de Apolonio en Pérgamo.
Hay un vacío entre el primer y el segundo prefacio. Apolonio ha enviado a su hijo, también llamado Apolonio, para que lea el segundo. Habla con más confianza, sugiriendo que Eudemo use el libro en grupos de estudio especiales. Apolonio menciona un encuentro con Filónides de Laodicea , un geómetra a quien presentó a Eudemo en Éfeso , y que se convirtió en alumno de Eudemo. Filónides vivió principalmente en Siria durante la primera mitad del siglo II a. C. No se ha resuelto si el encuentro indica que Apolonio vivía ahora en Éfeso; la comunidad intelectual del Mediterráneo era cosmopolita y los eruditos de esta "edad de oro de las matemáticas" buscaban empleo internacionalmente, se visitaban, leían los trabajos de los demás y hacían sugerencias, recomendaban estudiantes y se comunicaban a través de algún tipo de servicio postal. Las cartas que sobreviven son abundantes.
El prefacio del Libro III no se encuentra, y durante el intervalo murió Eudemo, dice Apolonio en el prefacio del Libro IV. Los prefacios de los Libros IV-VII son más formales, meros resúmenes que omiten información personal. Los cuatro están dirigidos a un misterioso Atalo, una elección hecha, dice Apolonio, "debido a tu sincero deseo de poseer mis obras". Presumiblemente Atalo era importante para que le enviaran los manuscritos de Apolonio . Una teoría es que Atalo es Atalo II Filadelfo (220-138 a. C.), general y defensor de Pérgamo cuyo hermano Eumenes II era rey, y que se convirtió en corregente después de la enfermedad de su hermano en 160 a. C. y accedió al trono en 158 a. C. Ambos hermanos fueron mecenas de las artes, expandiendo la biblioteca hasta alcanzar una magnificencia internacional. Atalo fue contemporáneo de Filónides y el motivo de Apolonio es consonante con la iniciativa de Atalo de coleccionar libros.
En el Prefacio VII, Apolonio describe el Libro VIII como "un apéndice... que me encargaré de enviarte lo más rápidamente posible". No hay constancia de que se enviara, y Apolonio podría haber muerto antes de terminarlo. Pappus de Alejandría , sin embargo, proporcionó lemas para él, por lo que debe haber estado en circulación en alguna forma.
Apolonio fue un geómetra prolífico, que produjo una gran cantidad de obras. Solo sobrevive una, Cónicas . De sus ocho libros, solo los primeros cuatro persisten como textos originales no traducidos de Apolonio. Los libros 5-7 solo se conservan a través de una traducción árabe de Thābit ibn Qurra encargada por los Banū Mūsā ; el original griego se perdió. [6] Se desconoce el estado del Libro 8. Existió un primer borrador, pero no se sabe si alguna vez se produjo el borrador final. Existe una "reconstrucción" de Edmond Halley en latín, pero no hay forma de saber cuánto de él, si es que hay alguno, es verosímil con Apolonio.
El texto griego de Cónicas utiliza la disposición euclidiana de definiciones, figuras y sus partes; es decir, los “datos”, seguidos de proposiciones “a probar”. Los libros I-VII presentan 387 proposiciones. Este tipo de disposición se puede ver en cualquier libro de texto de geometría moderna de la materia tradicional. Como en cualquier curso de matemáticas, el material es muy denso y su consideración, necesariamente lenta. Apolonio tenía un plan para cada libro, que se describe en parte en los Prefacios . Los encabezados, o indicadores del plan, son algo deficientes, ya que Apolonio dependió más del flujo lógico de los temas.
El Libro I presenta 58 proposiciones. Su contenido más destacado son todas las definiciones básicas sobre conos y secciones cónicas. Estas definiciones no son exactamente las mismas que las modernas de las mismas palabras. Etimológicamente las palabras modernas derivan de las antiguas, pero el étimo a menudo difiere en significado de su reflejo .
Una superficie cónica se genera mediante un segmento de línea rotado alrededor de un punto bisectriz de modo que los puntos extremos tracen círculos , cada uno en su propio plano . Un cono , una rama de la superficie cónica doble, es la superficie con el punto ( ápice o vértice ), el círculo ( base ) y el eje, una línea que une el vértice y el centro de la base.
Una sección (del latín sectio , del griego tome ) es un "corte" imaginario de un cono por un plano .
Los geómetras griegos estaban interesados en diseñar figuras seleccionadas de su inventario en diversas aplicaciones de ingeniería y arquitectura, como solían hacer los grandes inventores, como Arquímedes. En aquel entonces existía una demanda de secciones cónicas y existe ahora. El desarrollo de la caracterización matemática había llevado a la geometría en la dirección del álgebra geométrica griega , que presenta visualmente fundamentos algebraicos como la asignación de valores a segmentos de línea como variables. Utilizaron un sistema de coordenadas intermedio entre una cuadrícula de medidas y el sistema de coordenadas cartesianas . Las teorías de la proporción y la aplicación de áreas permitieron el desarrollo de ecuaciones visuales. (Véase más abajo en Métodos de Apolonio).
La "aplicación de áreas" pregunta implícitamente, dada una superficie y un segmento de línea, ¿se aplica esta superficie; es decir, es igual al cuadrado del segmento? Si es así, se ha establecido una aplicabilidad (parábola). Apolonio siguió a Euclides al preguntar si un rectángulo en la abscisa de cualquier punto de la sección se aplica al cuadrado de la ordenada . [7] Si es así, su ecuación verbal es el equivalente de que es una forma moderna de la ecuación de una parábola . El rectángulo tiene lados y . Fue él quien, en consecuencia, denominó a la figura, parábola, "aplicación".
El caso de "no aplicabilidad" se divide a su vez en dos posibilidades. Dada una función, , tal que, en el caso de aplicabilidad, , en el caso de no aplicabilidad, o bien . En el primero, se queda corto en una cantidad denominada elipsis , "déficit". En el segundo, se sobrepasa en una cantidad denominada hipérbole , "exceso".
La aplicabilidad podría lograrse sumando el déficit o restando el exceso. La figura que compensa un déficit se denomina elipse; para un exceso, hipérbola. [c] Los términos de la ecuación moderna dependen de la traslación y rotación de la figura desde el origen, pero la ecuación general para una elipse,
se puede colocar en el formulario
¿Dónde está el déficit, mientras que una ecuación para la hipérbola,
se convierte en
¿Dónde está el exceso? [d]
El libro II contiene 53 proposiciones. Apolonio dice que pretendía cubrir "las propiedades que tienen que ver con los diámetros y los ejes y también las asíntotas y otras cosas... para los límites de posibilidad". Su definición de "diámetro" es diferente de la tradicional, ya que considera necesario remitir al destinatario de la carta a su obra para obtener una definición. Los elementos mencionados son los que especifican la forma y la generación de las figuras. Las tangentes se tratan al final del libro.
El libro III contiene 56 proposiciones. Apolonio reivindica el descubrimiento original de teoremas "útiles para la construcción de lugares geométricos sólidos... el lugar geométrico de tres y cuatro líneas ...". El lugar geométrico de una sección cónica es la sección. El problema del lugar geométrico de tres líneas (tal como se enuncia en el apéndice de Taliafero al libro III) encuentra "el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a tres líneas rectas fijas dadas... son tales que el cuadrado de una de las distancias está siempre en una razón constante con el rectángulo contenido por las otras dos distancias". Esta es la prueba de la aplicación de las áreas que resultan en la parábola. [8] El problema de las cuatro líneas da como resultado la elipse y la hipérbola. La geometría analítica deriva los mismos lugares geométricos a partir de criterios más simples apoyados por el álgebra, en lugar de la geometría, por la que Descartes fue muy elogiado. Él reemplaza a Apolonio en sus métodos.
El libro IV contiene 57 proposiciones. La primera fue enviada a Atalo, no a Eudemo, por lo que representa su pensamiento geométrico más maduro. El tema es bastante especializado: "el mayor número de puntos en los que las secciones de un cono pueden encontrarse entre sí, o encontrarse con una circunferencia de un círculo...". Sin embargo, habla con entusiasmo, calificándolas de "de considerable utilidad" para resolver problemas (Prefacio 4). [e]
El Libro V, conocido sólo a través de la traducción del árabe, contiene 77 proposiciones, la mayor cantidad de cualquier libro. [9] Abarcan la elipse (50 proposiciones), la parábola (22) y la hipérbola (28). [10] Estas no son explícitamente el tema, que en los Prefacios I y V Apolonio afirma que son las líneas máxima y mínima. Estos términos no se explican. A diferencia del Libro I, el Libro V no contiene definiciones ni explicaciones.
La ambigüedad ha servido como un imán para los exegetas de Apolonio, quienes deben interpretar sin conocimiento seguro del significado de los términos principales del libro. Hasta hace poco prevaleció la opinión de Heath: las líneas deben ser tratadas como normales a las secciones. [11] Una normal en este caso es la perpendicular a una curva en un punto tangente a veces llamado pie. Si se traza una sección según el sistema de coordenadas de Apolonio (ver más abajo en Métodos de Apolonio), con el diámetro (traducido por Heath como el eje) en el eje x y el vértice en el origen a la izquierda, la fraseología de las proposiciones indica que los mínimos/máximos se encuentran entre la sección y el eje. Heath llega a su punto de vista al considerar un punto fijo p en la sección que sirve tanto como punto tangente como un extremo de la línea. La distancia mínima entre p y algún punto g en el eje debe ser entonces la normal desde p.
En las matemáticas modernas, las normales a las curvas se conocen por ser la ubicación del centro de curvatura de esa pequeña parte de la curva ubicada alrededor del pie. La distancia desde el pie hasta el centro es el radio de curvatura . Este último es el radio de un círculo, pero para otras curvas que no sean circulares, el pequeño arco puede aproximarse mediante un arco circular. La curvatura de las curvas no circulares; por ejemplo, las secciones cónicas, debe cambiar a lo largo de la sección. Un mapa del centro de curvatura; es decir, su lugar geométrico, a medida que el pie se mueve sobre la sección, se denomina evoluta de la sección. Tal figura, el borde de las posiciones sucesivas de una línea, se denomina hoy en día envolvente . Heath creía que en el Libro V estamos viendo a Apolonio establecer el fundamento lógico de una teoría de normales, evolutas y envolventes. [12]
La interpretación de Heath del Libro V fue aceptada como la interpretación autorizada durante todo el siglo XX, pero el cambio de siglo trajo consigo un cambio de visión. En 2001, los estudiosos de Apolonio Fried & Unguru, concediendo todo el respeto debido a otros capítulos de Heath, se opusieron a la historicidad del análisis de Heath del Libro V, afirmando que "reelabora el original para hacerlo más agradable para un matemático moderno ... este es el tipo de cosas que hace que el trabajo de Heath sea de dudoso valor para el historiador, revelando más de la mente de Heath que la de Apolonio". [13] Algunos de sus argumentos se resumen de la siguiente manera. No hay ninguna mención de máximos/mínimos como normales per se ni en los prefacios ni en los libros propiamente dichos. [f] De la selección de Heath de 50 proposiciones que se dice que cubren las normales, solo 7, Libro V: 27-33, establecen o implican que las líneas máximas/mínimas son perpendiculares a las tangentes. Fried clasifica estas siete proposiciones como aisladas, sin relación con las principales del libro. No implican de ninguna manera que los máximos y mínimos en general sean normales. En su extensa investigación de las otras 43 proposiciones, Fried demuestra que muchas no pueden serlo. [g]
Fried y Unguru contraatacan presentando a Apolonio como una continuación del pasado en lugar de un presagio del futuro. En primer lugar, se hace un estudio filológico completo de todas las referencias a líneas mínimas y máximas, que descubre una fraseología estándar. Hay tres grupos de 20 a 25 proposiciones cada uno. [14] El primer grupo contiene la frase “desde un punto en el eje hasta la sección”, que es exactamente lo opuesto a un hipotético “desde un punto en la sección hasta el eje”. El primero no tiene por qué ser normal a nada, aunque podría serlo. Dado un punto fijo en el eje, de todas las líneas que lo conectan con todos los puntos de la sección, una será la más larga (máxima) y la otra la más corta (mínima). Otras frases son “en una sección”, “dibujado a partir de una sección”, “cortado entre la sección y su eje”, “cortado por el eje”, todas ellas refiriéndose a la misma imagen.
En opinión de Fried y Unguru, el tema del Libro V es exactamente lo que dice Apolonio, líneas máximas y mínimas. No son palabras clave para conceptos futuros, sino que se refieren a conceptos antiguos que se usaban entonces. Los autores citan a Euclides, Elementos, Libro III, que se ocupa de los círculos y de las distancias máximas y mínimas desde los puntos interiores a la circunferencia. [15] Sin admitir ninguna generalidad específica, utilizan términos como “como” o “el análogo de”. Son conocidos por innovar el término “similar a neusis”. Una construcción neusis era un método para encajar un segmento dado entre dos curvas dadas. Dado un punto P y una regla con el segmento marcado en ella, se hace girar la regla alrededor de P cortando las dos curvas hasta que el segmento quede encajado entre ellas. En el Libro V, P es el punto en el eje. Al girar una regla alrededor de él, se descubren las distancias a la sección, a partir de las cuales se puede discernir el mínimo y el máximo. La técnica no se aplica a la situación, por lo que no es neusis. Los autores utilizan el término neusis, viendo una similitud arquetípica con el método antiguo. [13]
El Libro VI, conocido sólo a través de la traducción del árabe, contiene 33 proposiciones, la menor cantidad de cualquier libro. También tiene grandes lagunas o espacios en el texto, debido a daños o corrupción en los textos anteriores.
El tema es relativamente claro y no genera controversia. El prefacio 1 afirma que se trata de “secciones iguales y semejantes de conos”. Apolonio extiende los conceptos de congruencia y semejanza presentados por Euclides para figuras más elementales, como triángulos y cuadriláteros, a las secciones cónicas. El prefacio 6 menciona “secciones y segmentos” que son “iguales y desiguales”, así como “similares y disímiles”, y agrega información sobre su construcción.
El Libro VI presenta un retorno a las definiciones básicas al comienzo del libro. La “ igualdad ” está determinada por una aplicación de áreas. Si una figura; es decir, una sección o un segmento, se “aplica” a otra ( si applicari possit altera super alteram de Halley ), son “iguales” ( aequales de Halley ) si coinciden y ninguna línea de una cruza ninguna línea de la otra. Esto es obviamente un estándar de congruencia siguiendo a Euclides, Libro I, Nociones comunes, 4: “y las cosas que coinciden ( epharmazanta ) entre sí son iguales ( isa )”. La coincidencia y la igualdad se superponen, pero no son lo mismo: la aplicación de áreas utilizadas para definir las secciones depende de la igualdad cuantitativa de áreas pero pueden pertenecer a diferentes figuras.
Entre las instancias que son iguales (homos), que son entre sí, y las que son diferentes , o desiguales , hay figuras que son “similares” (hom-oios), o similares . No son ni completamente iguales ni diferentes, sino que comparten aspectos que son iguales y no comparten aspectos que son diferentes. Intuitivamente, los geómetras tenían la escala en mente; por ejemplo, un mapa es similar a una región topográfica. Por lo tanto, las figuras podrían tener versiones más grandes o más pequeñas de sí mismas.
Los aspectos que son iguales en figuras semejantes dependen de la figura. El libro 6 de los Elementos de Euclides presenta triángulos semejantes como aquellos que tienen los mismos ángulos correspondientes. Un triángulo puede tener, por tanto, miniaturas tan pequeñas como se desee, o versiones gigantes, y seguir siendo “el mismo” triángulo que el original.
En las definiciones de Apolonio al comienzo del Libro VI, los conos rectos semejantes tienen triángulos axiales semejantes. Las secciones y segmentos de secciones semejantes se encuentran, en primer lugar, en conos semejantes. Además, por cada abscisa de uno debe existir una abscisa en el otro a la escala deseada. Finalmente, la abscisa y la ordenada de uno deben coincidir con coordenadas que tengan la misma razón entre la ordenada y la abscisa que la otra. El efecto total es como si la sección o segmento se moviera hacia arriba y hacia abajo en el cono para lograr una escala diferente. [h]
El Libro VII, también una traducción del árabe, contiene 51 Proposiciones. Éstas son las últimas que Heath considera en su edición de 1896. En el Prefacio I, Apolonio no las menciona, lo que implica que, en el momento del primer borrador, es posible que no existieran en una forma suficientemente coherente para describirlas. Apolonio utiliza un lenguaje oscuro, que son “peri dioristikon theorematon”, que Halley tradujo como “de theorematis ad determinationem pertinentibus”, y Heath como “teoremas que implican determinaciones de límites”. Este es el lenguaje de la definición, pero no se ofrecen definiciones. Si la referencia podría ser a un tipo específico de definición es una consideración, pero hasta la fecha no se ha propuesto nada creíble. [i] El tema del Libro VII, completado hacia el final de la vida y carrera de Apolonio, se afirma en el Prefacio VII como diámetros y “las figuras descritas en ellos”, que deben incluir diámetros conjugados , ya que se basa en gran medida en ellos. No se menciona de qué manera podría aplicarse el término “límites” o “determinaciones”.
Los diámetros y sus conjugados se definen en el Libro I (Definiciones 4-6). No todos los diámetros tienen un conjugado. La topografía de un diámetro (del griego diametros) requiere una figura curva regular . Las áreas de forma irregular, abordadas en los tiempos modernos, no están en el plan de juego antiguo. Apolonio tiene en mente, por supuesto, las secciones cónicas, que describe en un lenguaje a menudo enrevesado: "una curva en el mismo plano" es un círculo, una elipse o una parábola, mientras que "dos curvas en el mismo plano" es una hipérbola. Una cuerda es una línea recta cuyos dos puntos finales están en la figura; es decir, corta la figura en dos lugares. Si se impone una cuadrícula de cuerdas paralelas en la figura, entonces el diámetro se define como la línea que divide en dos a todas las cuerdas, llegando a la curva misma en un punto llamado vértice. No hay ningún requisito para una figura cerrada; por ejemplo, una parábola tiene un diámetro.
Una parábola tiene simetría en una dimensión. Si la imaginamos doblada sobre su único diámetro, las dos mitades son congruentes, o encajan una sobre la otra. Lo mismo puede decirse de una rama de una hipérbola. Sin embargo, los diámetros conjugados (del griego suzugeis diametroi, donde suzugeis significa “unidos”) son simétricos en dos dimensiones. Las figuras a las que se aplican requieren también un centro areal (del griego kentron), hoy llamado baricentro , que sirva como centro de simetría en dos direcciones. Estas figuras son el círculo, la elipse y la hipérbola de dos ramas. Solo hay un baricentro, que no debe confundirse con los focos . Un diámetro es una cuerda que pasa por el baricentro, que siempre lo biseca.
Para el círculo y la elipse, superpongamos sobre la figura una cuadrícula de cuerdas paralelas de modo que la más larga sea un diámetro y las demás sean sucesivamente más cortas hasta que la última no sea una cuerda, sino un punto tangente. La tangente debe ser paralela al diámetro. Un diámetro conjugado biseca las cuerdas, situándose entre el baricentro y el punto tangente. Además, ambos diámetros son conjugados entre sí, llamándose par conjugado. Es obvio que cualquier par conjugado de un círculo son perpendiculares entre sí, pero en una elipse, sólo lo son los ejes mayor y menor, destruyendo la perpendicularidad en todos los demás casos la elongación.
Las conjugadas se definen para las dos ramas de una hipérbola resultantes del corte de un cono doble por un solo plano. Se llaman ramas conjugadas. Tienen el mismo diámetro. Su baricentro divide en dos el segmento entre los vértices. Hay espacio para una línea más de tipo diámetro: supongamos que una cuadrícula de líneas paralelas al diámetro corta ambas ramas de la hipérbola. Estas líneas son de tipo cuerda excepto que no terminan en la misma curva continua. Se puede trazar un diámetro conjugado desde el baricentro para dividir en dos las líneas de tipo cuerda.
Estos conceptos, principalmente del Libro I, nos permiten iniciarnos en las 51 proposiciones del Libro VII, que definen en detalle las relaciones entre secciones, diámetros y diámetros conjugados. Como sucede con algunos de los otros temas especializados de Apolonio, su utilidad actual en comparación con la geometría analítica está por verse, aunque él mismo afirma en el Prefacio VII que son útiles e innovadores, es decir, se atribuye el mérito por ellos.
Las primeras ediciones impresas comenzaron, en su mayor parte, en el siglo XVI. En aquella época, en Europa se esperaba que los libros académicos estuvieran en neolatín . Como pocos manuscritos matemáticos estaban escritos en latín, los editores de las primeras obras impresas las traducían del griego o del árabe. A menudo, el griego y el latín se yuxtaponían, y el texto griego representaba el original o una restauración del editor. Los comentarios críticos de la época se hacían normalmente en latín (los comentarios anteriores se habían escrito en griego antiguo o medieval o en árabe). Recién en los siglos XVIII y XIX empezaron a aparecer ediciones en idiomas modernos. A continuación se ofrece una lista representativa de las primeras ediciones impresas.
La dificultad de las Cónicas creó un nicho intelectual para los comentaristas posteriores, cada uno de los cuales presentó a Apolonio de la manera más lúcida y relevante para su propia época. Utilizaron una variedad de métodos: anotaciones, material introductorio extenso, diferentes formatos, dibujos adicionales, reorganización superficial mediante la adición de cápita, etc. Hay variaciones sutiles en la interpretación.
El material sobre las cónicas se escribió en inglés de forma limitada, porque los matemáticos europeos de los siglos XVI al XVIII, incluidos los matemáticos ingleses como Edmund Halley e Isaac Newton, preferían el neolatín. En siglos posteriores, se restableció la geometría utilizando coordenadas ( geometría analítica ) y los métodos sintéticos cayeron en desuso, por lo que la influencia directa de las cónicas en la investigación matemática disminuyó.
Las presentaciones escritas íntegramente en inglés nativo comienzan a finales del siglo XIX.
Particularmente influyente es la traducción de Thomas Heath del Tratado sobre secciones cónicas . Su extenso comentario introductorio incluye elementos como un léxico de términos geométricos apolíneos que da el griego, los significados y el uso. [17] Comentando que "el volumen aparentemente portentoso del tratado ha disuadido a muchos de intentar familiarizarse con él", [18] promete agregar títulos, cambiar la organización superficialmente y aclarar el texto con notación moderna. Su trabajo, por lo tanto, hace referencia a dos sistemas de organización, el suyo y el de Apolonio, entre paréntesis.
Heath estuvo activo a finales del siglo XIX y principios del XX, falleciendo en 1940, pero mientras tanto se desarrolló otro punto de vista. St. John's College (Annapolis/Santa Fe) , que había sido una escuela militar desde la época colonial, anterior a la Academia Naval de los Estados Unidos en Annapolis, Maryland , a la que está adyacente, en 1936 perdió su acreditación y estuvo al borde de la quiebra. En su desesperación, la junta convocó a Stringfellow Barr y Scott Buchanan de la Universidad de Chicago , donde habían estado desarrollando un nuevo programa teórico para la instrucción de los clásicos. Aprovechando la oportunidad, en 1937 instituyeron el "nuevo programa" en St. John's, más tarde llamado el programa de Grandes Libros , un plan de estudios fijo que enseñaría las obras de contribuyentes clave seleccionados a la cultura de la civilización occidental. En St. John's, Apollonius llegó a ser enseñado como él mismo, no como un complemento de la geometría analítica .
El "tutor" de Apolonio fue R. Catesby Taliaferro , un nuevo doctor en 1937 de la Universidad de Virginia . Fue tutor hasta 1942 y luego durante un año en 1948, proporcionando las traducciones al inglés por sí mismo, traduciendo el Almagesto de Ptolomeo y las Cónicas de Apolonio . Estas traducciones pasaron a formar parte de la serie Grandes libros del mundo occidental de la Enciclopedia Británica . Solo se incluyen los libros I a III, con un apéndice para temas especiales (una traducción del Libro IV de las Cónicas por Michael N. Fried se produjo en 2002). A diferencia de Heath, Taliaferro no intentó reorganizar Apolonio, ni siquiera superficialmente, ni reescribirlo. Su traducción al inglés moderno sigue bastante de cerca el griego. Utiliza la notación geométrica moderna hasta cierto punto.
Al mismo tiempo que Taliaferro trabajaba, Ivor Thomas , catedrático de Oxford de la época de la Segunda Guerra Mundial, se interesaba intensamente por las matemáticas griegas. Planeó un compendio de selecciones, que se materializó durante su servicio militar como oficial del Regimiento Real de Norfolk . Después de la guerra, encontró un hogar en la Biblioteca Clásica de Loeb , donde ocupa dos volúmenes, todos traducidos por Thomas, con el griego en un lado de la página y el inglés en el otro, como es habitual en la serie de Loeb. El trabajo de Thomas ha servido como manual para la edad de oro de las matemáticas griegas. Para Apolonio, solo incluye principalmente aquellas partes del Libro I que definen las secciones.
El resto de las obras de Apolonio se encuentran fragmentadas o se han perdido. Muchas de las obras perdidas están descritas o mencionadas por comentaristas. Además, hay ideas atribuidas a Apolonio por otros autores sin documentación. Creíbles o no, son rumores. Algunos autores identifican a Apolonio como el autor de ciertas ideas, por lo que llevan su nombre. Otros intentan expresar a Apolonio en notación o fraseología modernas con grados indeterminados de fidelidad.
Edmond Halley reconstruyó De Rationis Sectione y De Spatii Sectione . Más allá de estas obras, salvo un puñado de fragmentos, se acaba la documentación que de algún modo podría interpretarse como descendiente de Apolonio.
Además de Cónicas , Pappus menciona otros tratados de Apolonio:
Cada uno de ellos se dividió en dos libros y, junto con los Datos , los Porismos y los Lugares de superficie de Euclides y las Cónicas de Apolonio, según Pappus, se incluyeron en el cuerpo del análisis antiguo. [8] A continuación se presentan descripciones de las seis obras mencionadas anteriormente.
De Rationis Sectione intentó resolver un problema simple: dadas dos rectas y un punto en cada una, trazar a través de un tercer punto dado una recta que corte las dos rectas fijas de manera que las partes interceptadas entre los puntos dados en ellas y los puntos de intersección con esta tercera recta tengan una razón dada. [8]
De Spatii Sectione analizó un problema similar que requería que el rectángulo contenido por las dos intersecciones fuera igual a un rectángulo dado. [8]
A finales del siglo XVII, Edward Bernard descubrió una versión de De Rationis Sectione en la Biblioteca Bodleian . Aunque comenzó una traducción, fue Halley quien la terminó y la incluyó en un volumen de 1706 con su restauración de De Spatii Sectione .
De Sectione Determinata trata los problemas de una manera que puede llamarse una geometría analítica de una dimensión; con la cuestión de encontrar puntos en una línea que estuvieran en proporción con los otros. [20] Los problemas específicos son: Dados dos, tres o cuatro puntos en una línea recta, encontrar otro punto en ella tal que sus distancias a los puntos dados satisfagan la condición de que el cuadrado en uno o el rectángulo contenido por dos tenga una proporción dada ya sea (1) con el cuadrado en el restante o el rectángulo contenido por los dos restantes o (2) con el rectángulo contenido por el restante y otra línea recta dada. Varios han tratado de restaurar el texto para descubrir la solución de Apolonio, entre ellos Snellius ( Willebrord Snell , Leiden , 1698); Alexander Anderson de Aberdeen , en el suplemento a su Apollonius Redivivus (París, 1612); y Robert Simson en su Opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776), con mucho el mejor intento. [8]
De Tactionibus abordó el siguiente problema general: dadas tres cosas (puntos, líneas rectas o círculos) en posición, describe un círculo que pase por los puntos dados y toque las líneas rectas o círculos dados. El caso más difícil e históricamente interesante surge cuando las tres cosas dadas son círculos. En el siglo XVI, Vieta presentó este problema (a veces conocido como el problema apolíneo) a Adrianus Romanus , quien lo resolvió con una hipérbola . Vieta propuso entonces una solución más simple, que finalmente lo llevó a restaurar todo el tratado de Apolonio en la pequeña obra Apollonius Gallus (París, 1600). La historia del problema se explora en fascinante detalle en el prefacio de la breve obra de JW Camerer Apollonii Pergaei quae supersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus, &c (Gothae, 1795, 8vo). [8]
El objeto de De Inclinationibus era demostrar cómo una línea recta de una longitud dada, que tiende hacia un punto dado, podía insertarse entre dos líneas dadas (rectas o circulares). Aunque Marin Getaldić y Hugo d'Omerique ( Análisis geométrico , Cádiz, 1698) intentaron restaurar esta teoría, la mejor es la de Samuel Horsley (1770). [8]
De Locis Planis es una colección de proposiciones relativas a lugares que son líneas rectas o círculos. Dado que Pappus proporciona detalles bastante completos de sus proposiciones, este texto también ha sido objeto de esfuerzos por restaurarlo, no solo por parte de P. Fermat ( Oeuvres , i., 1891, pp. 3-51) y F. Schooten (Leiden, 1656), sino también, con mayor éxito de todos, por R. Simson (Glasgow, 1749). [8]
Los escritores antiguos hacen referencia a otras obras de Apolonio que ya no existen:
La equivalencia de dos descripciones de los movimientos planetarios, una mediante excéntricas y otra mediante deferentes y epiciclos , se atribuye a Apolonio. Ptolomeo describe esta equivalencia en el Almagesto .
Según Heath, [21] los "Métodos de Apolonio" no le pertenecían personalmente; cualquier influencia que tuviera sobre los teóricos posteriores fue la influencia de la geometría, no de su propia innovación técnica. Heath dice:
Como paso previo a la consideración en detalle de los métodos empleados en las Cónicas, se puede afirmar en general que siguen firmemente los principios aceptados de investigación geométrica que encontraron su expresión definitiva en los Elementos de Euclides.
Al referirse a los geómetras de la edad de oro, los académicos modernos utilizan el término "método" para referirse a la forma visual y reconstructiva en que el geómetra produce un resultado equivalente al que produce el álgebra actual. Como ejemplo sencillo, el método algebraico para calcular el área de un cuadrado consiste en elevar al cuadrado la longitud de su lado; el método geométrico análogo consiste en construir un cuadrado visual. Los métodos geométricos de la edad de oro podían producir la mayoría de los resultados del álgebra elemental.
Heath continúa usando el término álgebra geométrica para los métodos de toda la edad de oro. [k] El término había sido definido por Henry Burchard Fine en 1890 o antes, quien lo aplicó a La Géométrie de René Descartes , la primera obra completa de geometría analítica . [22] Estableciendo como condición previa que “dos álgebras son formalmente idénticas cuyas operaciones fundamentales son formalmente las mismas”, Fine dice que la obra de Descartes “no es ... mera álgebra numérica, sino lo que, a falta de un nombre mejor, puede llamarse el álgebra de segmentos de línea. Su simbolismo es el mismo que el del álgebra numérica; ....”
Por ejemplo, en Apolonio, un segmento de línea AB (la línea entre el punto A y el punto B) es también la longitud numérica del segmento. Puede tener cualquier longitud. Por lo tanto, AB se convierte en lo mismo que una variable algebraica , como x (la incógnita), a la que se le puede asignar cualquier valor; por ejemplo, x = 3.
En Apolonio, las variables se definen mediante enunciados verbales como “sea AB la distancia desde cualquier punto de la sección hasta el diámetro”, una práctica que continúa en el álgebra actual. Todo estudiante de álgebra básica debe aprender a convertir los “problemas verbales” en variables y ecuaciones algebraicas, a las que se aplican las reglas del álgebra para resolver x . Apolonio no tenía tales reglas. Sus soluciones son geométricas.
Las relaciones que no se podían resolver con imágenes estaban fuera de su alcance; sin embargo, su repertorio de soluciones gráficas provenía de un conjunto de soluciones geométricas complejas que hoy en día no se conocen (ni se requieren). Una excepción bien conocida es el indispensable Teorema de Pitágoras , representado incluso ahora por un triángulo rectángulo con cuadrados en sus lados que ilustra una expresión como a 2 + b 2 = c 2 . Los geómetras griegos llamaban a esos términos “el cuadrado sobre AB”, etc. De manera similar, el área de un rectángulo formado por AB y CD era “el rectángulo sobre AB y CD”.
Estos conceptos dieron a los geómetras griegos acceso algebraico a las funciones lineales y cuadráticas , que son las secciones cónicas. Contienen potencias de 1 o 2 respectivamente. Apolonio no tenía mucho uso para los cubos (presentes en la geometría de sólidos ), a pesar de que un cono es un sólido. Su interés estaba en las secciones cónicas, que son figuras planas. Las potencias de 4 y más estaban más allá de la visualización, requiriendo un grado de abstracción no disponible en geometría, pero al alcance de la mano en álgebra.
Toda medición ordinaria de longitud en unidades públicas, como pulgadas, utilizando dispositivos públicos estándar, como una regla, implica el reconocimiento público de una cuadrícula cartesiana ; es decir, una superficie dividida en cuadrados unitarios, como una pulgada cuadrada, y un espacio dividido en cubos unitarios, como una pulgada cúbica. Las antiguas unidades de medida griegas habían proporcionado una cuadrícula de este tipo a los matemáticos griegos desde la Edad del Bronce. Antes de Apolonio, Menecmo y Arquímedes ya habían comenzado a ubicar sus figuras en una ventana implícita de la cuadrícula común haciendo referencia a distancias concebidas para ser medidas desde una línea vertical izquierda que marca una medida baja y una línea horizontal inferior que marca una medida baja, siendo las direcciones rectilíneas o perpendiculares entre sí. [23] Estos bordes de la ventana se convierten, en el sistema de coordenadas cartesianas , en los ejes. Uno especifica las distancias rectilíneas de cualquier punto desde los ejes como las coordenadas . Los antiguos griegos no tenían esa convención. Simplemente se referían a las distancias.
Apolonio tiene una ventana estándar en la que coloca sus figuras. La medición vertical se realiza a partir de una línea horizontal que él llama “diámetro”. La palabra es la misma en griego que en español, pero el griego es algo más amplio en su comprensión. [24] Si la figura de la sección cónica está cortada por una cuadrícula de líneas paralelas, el diámetro divide en dos todos los segmentos de línea incluidos entre las ramas de la figura. Debe pasar por el vértice (koruphe, “corona”). Un diámetro comprende, por tanto, figuras abiertas como una parábola y cerradas, como un círculo. No hay ninguna especificación de que el diámetro deba ser perpendicular a las líneas paralelas, pero Apolonio utiliza sólo las rectilíneas.
La distancia rectilínea desde un punto de la sección hasta el diámetro se denomina en griego tetagmenos, que etimológicamente significa simplemente “extendido”. Como solo se extiende “hacia abajo” (kata-) o “hacia arriba” (ana-), los traductores la interpretan como ordenada . En ese caso, el diámetro se convierte en el eje x y el vértice en el origen. El eje y se convierte entonces en una tangente a la curva en el vértice. La abscisa se define entonces como el segmento del diámetro entre la ordenada y el vértice.
Utilizando su versión de un sistema de coordenadas, Apolonio logra desarrollar en forma pictórica los equivalentes geométricos de las ecuaciones para las secciones cónicas, lo que plantea la cuestión de si su sistema de coordenadas puede considerarse cartesiano. Existen algunas diferencias. El sistema cartesiano debe considerarse universal, ya que cubre todas las figuras en todo el espacio aplicado antes de que se realice cualquier cálculo. Tiene cuatro cuadrantes divididos por los dos ejes cruzados. Tres de los cuadrantes incluyen coordenadas negativas, es decir, direcciones opuestas a los ejes de referencia del cero.
Apolonio no tiene números negativos, no tiene explícitamente un número para el cero y no desarrolla el sistema de coordenadas independientemente de las secciones cónicas. Trabaja esencialmente sólo en el cuadrante 1, todas las coordenadas positivas. Por ello, Carl Boyer, un moderno historiador de las matemáticas, dice: [25]
Sin embargo, el álgebra geométrica griega no preveía magnitudes negativas; además, el sistema de coordenadas se superponía en todos los casos a posteriori sobre una curva dada para estudiar sus propiedades.... Apolonio, el mayor geómetra de la antigüedad, no logró desarrollar la geometría analítica....
Sin embargo, según Boyer, el tratamiento que Apolonio da a las curvas es en algunos aspectos similar al tratamiento moderno, y su obra parece anticipar la geometría analítica . [25] Apolonio ocupa una especie de nicho intermedio entre el sistema de cuadrícula de medición convencional y el sistema de coordenadas cartesiano completamente desarrollado de la geometría analítica. Al leer a Apolonio, hay que tener cuidado de no asumir significados modernos para sus términos.
Apolonio utiliza la "Teoría de las proporciones" expresada en los Elementos de Euclides , Libros 5 y 6. Ideada por Eudoxo de Cnido, la teoría es intermedia entre los métodos puramente gráficos y la teoría de números moderna. Falta un sistema numérico decimal estándar, como también un tratamiento estándar de las fracciones. Las proposiciones, sin embargo, expresan en palabras reglas para manipular fracciones en aritmética. Heath propone que se coloquen en lugar de la multiplicación y la división. [26]
Con el término “magnitud”, Eudoxo pretendía ir más allá de los números y dar un sentido general de tamaño, un significado que todavía conserva. En lo que respecta a las figuras de Euclides, la mayoría de las veces se refiere a números, que era el enfoque pitagórico. Pitágoras creía que el universo podía caracterizarse por cantidades, creencia que se ha convertido en el dogma científico actual. El Libro V de Euclides comienza insistiendo en que una magnitud (megethos, “tamaño”) debe ser divisible de manera uniforme en unidades (meros, “parte”). Una magnitud es, por tanto, un múltiplo de unidades. No tienen por qué ser unidades de medida estándar, como metros o pies. Una unidad puede ser cualquier segmento de línea designado.
A continuación, se presenta la que quizás sea la definición fundamental más útil jamás concebida en la ciencia: la razón (del griego logos , que significa aproximadamente “explicación”) es una declaración de magnitud relativa. Dadas dos magnitudes, por ejemplo, de los segmentos AB y CD, la razón de AB a CD, donde CD se considera la unidad, es la cantidad de CD en AB; por ejemplo, 3 partes de 4, o 60 partes por millón, donde ppm todavía utiliza la terminología de “partes”. La razón es la base de la fracción moderna, que también todavía significa “parte” o “fragmento”, de la misma raíz latina que fractura. La razón es la base de la predicción matemática en la estructura lógica llamada “proporción” (del griego analogos). La proporción establece que si dos segmentos, AB y CD, tienen la misma razón que otros dos, EF y GH, entonces AB y CD son proporcionales a EF y GH, o, como se diría en Euclides, AB es a CD como EF es a GH.
El álgebra reduce este concepto general a la expresión AB/CD = EF/GH. Dados tres términos cualesquiera, se puede calcular el cuarto como incógnita. Reordenando la ecuación anterior, se obtiene AB = (CD/GH)•EF, en la que, expresada como y = kx, la CD/GH se conoce como la “constante de proporcionalidad”. Los griegos tenían pocas dificultades para tomar múltiplos (del griego pollaplasiein), probablemente mediante la adición sucesiva.
Apolonio utiliza proporciones casi exclusivamente de segmentos de línea y áreas, que se designan mediante cuadrados y rectángulos. Los traductores se han comprometido a utilizar la notación de dos puntos introducida por Leibniz en Acta Eruditorum , 1684. [27] He aquí un ejemplo de Cónicas , Libro I, sobre la Proposición 11:
