elipsoide

Superficie cuádrica que parece una esfera deformada.

Ejemplos de elipsoides con ecuación.x2^​/un ²+y ²/segundo ²+z ²/c ²= 1 :

• Esfera , a = b = c = 4 , arriba ;
• Esferoide , a = b = 5 , c = 3 , abajo a la izquierda ;
• Elipsoide triaxial , a = 4,5 , b = 6 ; c = 3 , abajo a la derecha

Un elipsoide es una superficie que se puede obtener a partir de una esfera deformándola mediante escalamientos direccionales , o más generalmente, de una transformación afín .

Un elipsoide es una superficie cuádrica ; es decir, una superficie que puede definirse como el conjunto cero de un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuádricas, un elipsoide se caracteriza por cualquiera de las dos propiedades siguientes. Cada sección transversal plana es una elipse , está vacía o se reduce a un solo punto (esto explica el nombre, que significa "parecido a una elipse"). Está acotado , lo que significa que puede estar encerrado en una esfera suficientemente grande.

Un elipsoide tiene tres ejes de simetría perpendiculares por pares que se cruzan en un centro de simetría , llamado centro del elipsoide. Los segmentos de recta que están delimitados en los ejes de simetría por el elipsoide se denominan ejes principales , o simplemente ejes del elipsoide. Si los tres ejes tienen diferentes longitudes, la figura es un elipsoide triaxial (raramente elipsoide escaleno ), y los ejes están definidos de forma única.

Si dos de los ejes tienen la misma longitud, entonces el elipsoide es un elipsoide de revolución , también llamado esferoide . En este caso, el elipsoide es invariante bajo una rotación alrededor del tercer eje y, por tanto, hay infinitas formas de elegir los dos ejes perpendiculares de la misma longitud. Si el tercer eje es más corto, el elipsoide es un esferoide achatado ; si es más largo, es un esferoide alargado . Si los tres ejes tienen la misma longitud, el elipsoide es una esfera.

Ecuación estándar

El elipsoide general, también conocido como elipsoide triaxial, es una superficie cuadrática que se define en coordenadas cartesianas como:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}$

donde , y son la longitud de los semiejes. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Los puntos y se encuentran en la superficie. Los segmentos de recta desde el origen hasta estos puntos se llaman semiejes principales del elipsoide, porque a , b , c tienen la mitad de la longitud de los ejes principales. Corresponden al semieje mayor y al semieje menor de una elipse . ${\displaystyle (a,0,0)}$ ${\displaystyle (0,b,0)}$ ${\displaystyle (0,0,c)}$

En el sistema de coordenadas esféricas para el cual , el elipsoide general se define como: ${\displaystyle (x,y,z)=(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )}$

${\displaystyle {r^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi \over a^{2}}+{r^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi \over b^{2}}+{r^{2}\cos ^{2}\theta \over c^{2}}=1,}$

donde es el ángulo polar y es el ángulo azimutal. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

Cuando , el elipsoide es una esfera. ${\displaystyle a=b=c}$

Cuando , el elipsoide es un esferoide o elipsoide de revolución. En particular, si , es un esferoide achatado ; si , es un esferoide alargado . ${\displaystyle a=b\neq c}$ ${\displaystyle a=b>c}$ ${\displaystyle a=b<c}$

Parametrización

El elipsoide se puede parametrizar de varias formas, las cuales son más sencillas de expresar cuando los ejes del elipsoide coinciden con los ejes de coordenadas. Una elección común es

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin(\theta )\cos(\varphi ),\\y&=b\sin(\theta )\sin(\varphi ),\\z&=c\cos(\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

dónde

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi .}$

Estos parámetros pueden interpretarse como coordenadas esféricas , donde θ es el ángulo polar y φ es el ángulo de acimut del punto ( x , y , z ) del elipsoide. ^[1]

Midiendo desde el ecuador en lugar de desde un polo,

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(\theta )\cos(\lambda ),\\y&=b\cos(\theta )\sin(\lambda ),\\z&=c\sin(\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

dónde

${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi ,}$

θ es la latitud reducida , latitud paramétrica o anomalía excéntrica y λ es el acimut o longitud.

Medir ángulos directamente a la superficie del elipsoide, no a la esfera circunscrita,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=R{\begin{bmatrix}\cos(\gamma )\cos(\lambda )\\\cos(\gamma )\sin(\lambda )\\\sin(\gamma )\end{bmatrix}}\,\!}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}R={}&{\frac {abc}{\sqrt {c^{2}\left(b^{2}\cos ^{2}\lambda +a^{2}\sin ^{2}\lambda \right)\cos ^{2}\gamma +a^{2}b^{2}\sin ^{2}\gamma }}},\\[3pt]&-{\tfrac {\pi }{2}}\leq \gamma \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi .\end{aligned}}}$

γ sería la latitud geocéntrica de la Tierra y λ es la longitud. Estas son verdaderas coordenadas esféricas con el origen en el centro del elipsoide. ^{[ cita necesaria ]}

En geodesia , la latitud geodésica se utiliza más comúnmente, como el ángulo entre el plano vertical y el ecuatorial, definido para un elipsoide biaxial. Para un elipsoide triaxial más general, consulte latitud elipsoidal .

Volumen

El volumen delimitado por el elipsoide es

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi abc.}$

En términos de los diámetros principales A , B , C (donde A = 2 a , B = 2 b , C = 2 c ), el volumen es

${\displaystyle V={\tfrac {\pi }{6}}ABC}$.

Esta ecuación se reduce a la del volumen de una esfera cuando los tres radios elípticos son iguales, y a la de un esferoide achatado o alargado cuando dos de ellos son iguales.

El volumen de un elipsoide es2/3el volumen de un cilindro elíptico circunscrito , yπ/6el volumen de la caja circunscrita. Los volúmenes de las casillas inscritas y circunscritas son respectivamente:

${\displaystyle V_{\text{inscribed}}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc,\qquad V_{\text{circumscribed}}=8abc.}$

Área de superficie

El área de superficie de un elipsoide general (triaxial) es ^{[2] [3]}

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi )}}\left(E(\varphi ,k)\,\sin ^{2}(\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\right),}$

dónde

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}$

y donde F ( φ , k ) y E ( φ , k ) son integrales elípticas incompletas de primer y segundo tipo respectivamente. ^[4] El área de superficie de este elipsoide general también se puede expresar usando las formas simétricas R _F y R _D Carlson de las integrales elípticas simplemente sustituyendo la fórmula anterior por las definiciones respectivas:

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+2\pi ab\left[R_{F}\left({\frac {c^{2}}{a^{2}}},{\frac {c^{2}}{b^{2}}},1\right)-{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\right)\left(1-{\frac {c^{2}}{b^{2}}}\right)R_{D}\left({\frac {c^{2}}{a^{2}}},{\frac {c^{2}}{b^{2}}},1\right)\right].}$

A diferencia de la expresión con F ( φ , k ) y E ( φ , k ) , la variante basada en las integrales simétricas de Carlson arroja resultados válidos para una esfera y solo el eje c debe ser el más pequeño, el orden entre los dos ejes mayores, a y b pueden ser arbitrarios.

El área de superficie de un elipsoide de revolución (o esferoide) se puede expresar en términos de funciones elementales :

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c^{2}}{ea^{2}}}\operatorname {artanh} e\right),\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}{\text{ and }}(c<a),}$

o

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {artanh} e\right)}$

o

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\ +{\frac {\pi c^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}}$

y

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\text{ and }}(c>a),}$

que, como se desprende de las identidades trigonométricas básicas, son expresiones equivalentes (es decir, la fórmula para S _achatado se puede utilizar para calcular el área de superficie de un elipsoide alargado y viceversa). En ambos casos, e puede identificarse nuevamente como la excentricidad de la elipse formada por la sección transversal a través del eje de simetría. (Ver elipse ). Las derivaciones de estos resultados se pueden encontrar en fuentes estándar, por ejemplo Mathworld . ^[5]

Fórmula aproximada

${\displaystyle S\approx 4\pi {\sqrt[{p}]{\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}}.\,\!}$

Aquí p ≈ 1,6075 produce un error relativo de como máximo 1,061%; ^[6] un valor de p =8/5= 1,6 es óptimo para elipsoides casi esféricos, con un error relativo de como máximo 1,178%.

En el límite "plano" de c mucho más pequeño que a y b , el área es aproximadamente 2π ab , equivalente a p = log ₂ 3 ≈ 1,5849625007 .

Secciones planas

Sección plana de un elipsoide

La intersección de un plano y una esfera es un círculo (o se reduce a un solo punto, o está vacío). Cualquier elipsoide es la imagen de la esfera unitaria bajo alguna transformación afín, y cualquier plano es la imagen de algún otro plano bajo la misma transformación. Entonces, debido a que las transformaciones afines asignan círculos a elipses, la intersección de un plano con un elipsoide es una elipse o un solo punto, o está vacía. ^[7] Obviamente, los esferoides contienen círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, para los elipsoides triaxiales (ver sección circular ).

Determinar la elipse de una sección plana.

Sección plana de un elipsoide (ver ejemplo)

Dado: Elipsoidex2^​/un ²+y ²/segundo ²+z ²/c ²= 1 y el plano con ecuación n _x x + n _y y + n _z z = d , que tienen una elipse en común.

Se buscan: Tres vectores f ₀ (centro) y f ₁ , f ₂ (vectores conjugados), tales que la elipse pueda representarse mediante la ecuación paramétrica

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos t+\mathbf {f} _{2}\sin t}$

(ver elipse ).

Sección plana de la esfera unitaria (ver ejemplo)

Solución: La escala u =X/a, v =y/b, w =z/Ctransforma el elipsoide en la esfera unitaria u ² + v ² + w ² = 1 y el plano dado en el plano con ecuación

${\displaystyle \ n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d.}$

Sea m _u u + m _v v + m _w w = δ la forma normal de Hesse del nuevo plano y

${\displaystyle \;\mathbf {m} ={\begin{bmatrix}m_{u}\\m_{v}\\m_{w}\end{bmatrix}}\;}$

su vector normal unitario. Por eso

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\delta \mathbf {m} \;}$

es el centro del círculo de intersección y

${\displaystyle \;\rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}\;}$

su radio (ver diagrama).

Donde m _w = ±1 (es decir, el plano es horizontal), sea

${\displaystyle \ \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}\rho \\0\\0\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\\rho \\0\end{bmatrix}}.}$

Donde m _w ≠ ±1 , sea

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\rho }{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}}\,{\begin{bmatrix}m_{v}\\-m_{u}\\0\end{bmatrix}}\,,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {m} \times \mathbf {e} _{1}\ .}$

En cualquier caso, los vectores e ₁ , e ₂ son ortogonales, paralelos al plano de intersección y tienen longitud ρ (radio del círculo). Por tanto, el círculo de intersección puede describirse mediante la ecuación paramétrica

${\displaystyle \;\mathbf {u} =\mathbf {e} _{0}+\mathbf {e} _{1}\cos t+\mathbf {e} _{2}\sin t\;.}$

La escala inversa (ver arriba) transforma la esfera unitaria nuevamente en el elipsoide y los vectores e ₀ , e ₁ , e ₂ se asignan a los vectores f ₀ , f ₁ , f ₂ , que se buscaban para la representación paramétrica de la elipse de intersección. .

En elipse se describe cómo encontrar los vértices y semiejes de la elipse .

Ejemplo: Los diagramas muestran un elipsoide con los semiejes a = 4, b = 5, c = 3 que es cortado por el plano x + y + z = 5 .

Construcción de alfileres y cuerdas

Construcción de una elipse con alfileres y cuerdas:
| S ₁ S ₂ | , longitud de la cuerda (rojo)

Construcción con alfileres y cuerdas de un elipsoide, azul: cónicas focales

Determinación del semieje del elipsoide.

La construcción de un elipsoide con pasadores y cuerdas es una transferencia de la idea de construir una elipse usando dos pasadores y una cuerda (ver diagrama).

La construcción de pasadores y cuerdas de un elipsoide de revolución viene dada por la construcción de pasadores y cuerdas de la elipse rotada.

La construcción de puntos de un elipsoide triaxial es más complicada. Las primeras ideas se deben al físico escocés JC Maxwell (1868). ^[8] Las principales investigaciones y la extensión a las cuádricas fueron realizadas por el matemático alemán O. Staude en 1882, 1886 y 1898. ^{[9] [10] [11]} La descripción de la construcción de alfileres y cuerdas de elipsoides e hiperboloides es contenido en el libro Geometría y la imaginación escrito por D. Hilbert & S. Vossen, ^[12] también.

Pasos de la construcción

1. Elija una elipse E y una hipérbola H , que son un par de cónicas focales :
   $${\displaystyle {\begin{aligned}E(\varphi )&=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\\H(\psi )&=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi ),\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}}$$
   con los vértices y focos de la elipse
   $${\displaystyle S_{1}=(a,0,0),\quad F_{1}=(c,0,0),\quad F_{2}=(-c,0,0),\quad S_{2}=(-a,0,0)}$$
   y una cuerda (en el diagrama rojo) de longitud l .
2. Fije un extremo de la cuerda al vértice S ₁ y el otro al foco F ₂ . La cuerda se mantiene tensa en un punto P con coordenadas y y z positivas , de modo que la cuerda corre desde S ₁ hasta P detrás de la parte superior de la hipérbola (ver diagrama) y puede deslizarse libremente sobre la hipérbola. La parte de la cuerda de P a F ₂ corre y se desliza delante de la elipse. La cuerda pasa por ese punto de la hipérbola, para el cual la distancia | S ₁ P | sobre cualquier punto de hipérbola es mínimo. La afirmación análoga sobre la segunda parte de la cuerda y la elipse también tiene que ser cierta.
3. Entonces: P es un punto del elipsoide con ecuación
   $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {x^{2}}{r_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r_{z}^{2}}}=1\\&r_{x}={\frac {1}{2}}(l-a+c),\quad r_{y}={\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}},\quad r_{z}={\sqrt {r_{x}^{2}-a^{2}}}.\end{aligned}}}$$
4. Los puntos restantes del elipsoide se pueden construir mediante cambios adecuados de la cuerda en las cónicas focales.

Semiejes

Las ecuaciones para los semiejes del elipsoide generado se pueden derivar mediante elecciones especiales para el punto P :

${\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\quad Z=(0,0,r_{z}).}$

La parte inferior del diagrama muestra que F ₁ y F ₂ también son los focos de la elipse en el plano xy . Por lo tanto, es confocal a la elipse dada y la longitud de la cuerda es l = 2 r _x + ( a − c ) . Resolviendo para r _x se obtiene r _x =1/2( l - a + c ) ; además r²
_años= r^2x
_​− c ² .

En el diagrama superior vemos que S ₁ y S ₂ son los focos de la sección elipse del elipsoide en el plano xz y que r²
_z= r^2x
_​− un ² .

Conversar

Si, por el contrario, un elipsoide triaxial está dado por su ecuación, entonces a partir de las ecuaciones del paso 3 se pueden derivar los parámetros a , b , l para una construcción de pasadores y cuerdas.

Elipsoides confocales

Si E es un elipsoide confocal a E con los cuadrados de sus semiejes

${\displaystyle {\overline {r}}_{x}^{2}=r_{x}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

entonces de las ecuaciones de E

${\displaystyle r_{x}^{2}-r_{y}^{2}=c^{2},\quad r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2},\quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

se encuentra que las cónicas focales correspondientes utilizadas para la construcción de alfileres y cuerdas tienen los mismos semiejes a , b , c que el elipsoide E. Por lo tanto (de manera análoga a los focos de una elipse) se consideran las cónicas focales de un elipsoide triaxial como los focos (infinitos) y las llaman curvas focales del elipsoide. ^[13]

La afirmación inversa también es cierta: si se elige una segunda cadena de longitud l y se define

${\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}$

entonces las ecuaciones

${\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

son válidos, lo que significa que los dos elipsoides son confocales.

Caso límite, elipsoide de revolución.

En el caso de a = c (un esferoide ), se obtiene S ₁ = F ₁ y S ₂ = F ₂ , lo que significa que la elipse focal degenera en un segmento de línea y la hipérbola focal colapsa en dos segmentos de línea infinitos en el eje x . . El elipsoide es rotacionalmente simétrico alrededor del eje x y

${\displaystyle r_{x}={\frac {l}{2}},\quad r_{y}=r_{z}={\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}$.

Propiedades de la hipérbola focal

Arriba: Elipsoide de 3 ejes con su hipérbola focal.
Abajo: proyección paralela y central del elipsoide tal que parece una esfera, es decir, su forma aparente es un círculo.

curva verdadera

Si uno ve un elipsoide desde un punto externo V de su hipérbola focal, parece ser una esfera, es decir, su forma aparente es un círculo. De manera equivalente, las tangentes del elipsoide que contiene el punto V son las líneas de un cono circular, cuyo eje de rotación es la línea tangente de la hipérbola en V. ^{[14] [15]} Si se permite que el centro V desaparezca en el infinito, se obtiene una proyección paralela ortogonal con la asíntota correspondiente de la hipérbola focal como dirección. La verdadera curva de forma (puntos tangentes) en el elipsoide no es un círculo.

La parte inferior del diagrama muestra a la izquierda una proyección paralela de un elipsoide (con semiejes 60, 40, 30) a lo largo de una asíntota y a la derecha una proyección central con centro V y punto principal H en la tangente de la hipérbola. en el punto V. ( H es el pie de la perpendicular desde V al plano de la imagen). Para ambas proyecciones, la forma aparente es un círculo. En el caso paralelo la imagen del origen O es el centro del círculo; en el caso central el punto principal H es el centro.

Puntos umbilicales

La hipérbola focal corta al elipsoide en sus cuatro puntos umbilicales . ^[dieciséis]

Propiedad de la elipse focal

La elipse focal junto con su parte interior se puede considerar como la superficie límite (un elipsoide infinitamente delgado) del lápiz de elipsoides confocales determinado por a , b para r _z → 0 . Para el caso límite se obtiene

${\displaystyle r_{x}=a,\quad r_{y}=b,\quad l=3a-c.}$

Elipsoides en dimensiones superiores y posición general.

Ecuación estándar

Un hiperelipsoide , o elipsoide de dimensión en un espacio euclidiano de dimensión , es una hipersuperficie cuádrica definida por un polinomio de grado dos que tiene una parte homogénea de grado dos que es una forma cuadrática definida positiva . ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

También se puede definir un hiperelipsoide como la imagen de una esfera bajo una transformación afín invertible . El teorema espectral se puede utilizar nuevamente para obtener una ecuación estándar de la forma

${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}}=1.}$

El volumen de un hiperelipsoide de n dimensiones se puede obtener reemplazando R ⁿ por el producto de los semiejes a ₁ a ₂ ... a _n en la fórmula para el volumen de una hiperesfera :

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}\cdot \left({\frac {2e\pi }{n}}\right)^{n/2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

(donde Γ es la función gamma ).

como cuádrico

Si v es un punto y A es una matriz definida positiva , real, simétrica, n por n , y v es un vector en R ⁿ , entonces el conjunto de puntos x que satisfacen la ecuación

${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

es un elipsoide n -dimensional centrado en v . La expresión también se llama norma elipsoidal de x - v . Para cada elipsoide, existen A y v únicos que satisfacen la ecuación anterior. ^{[17] : 67} ${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )}$

Los vectores propios de A son los ejes principales del elipsoide, y los valores propios de A son los recíprocos de los cuadrados de los semiejes (en tres dimensiones son a ⁻² , b ⁻² y c ⁻² ). ^[18] En particular:

• El diámetro del elipsoide es el doble del semieje más largo, que es el doble de la raíz cuadrada del valor propio más grande de A.
• El ancho del elipsoide es el doble del semieje más corto, que es el doble de la raíz cuadrada del valor propio más pequeño de A.

Una transformación lineal invertible aplicada a una esfera produce un elipsoide, que puede adoptar la forma estándar anterior mediante una rotación adecuada , una consecuencia de la descomposición polar (también, ver teorema espectral ). Si la transformación lineal se representa mediante una matriz simétrica de 3 × 3 , entonces los vectores propios de la matriz son ortogonales (debido al teorema espectral ) y representan las direcciones de los ejes del elipsoide; las longitudes de los semiejes se calculan a partir de los valores propios. La descomposición en valores singulares y la descomposición polar son descomposiciones matriciales estrechamente relacionadas con estas observaciones geométricas.

Para cada matriz definida positiva A, existe una matriz definida positiva única denominada A ^1/2 , tal que A = A ^1/2 *A ^1/2 (esta A ^1/2 puede verse como la "raíz cuadrada" de A ). El elipsoide definido por también se puede presentar como ^{[17] : 67} ${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

${\displaystyle A^{1/2}\cdot S(0,1)+\mathbf {v} }$

donde S(0,1) es la esfera unitaria alrededor del origen.

Representación paramétrica

elipsoide como imagen afín de la esfera unitaria

La clave para una representación paramétrica de un elipsoide en posición general es la definición alternativa:

Un elipsoide es una imagen afín de la esfera unitaria.

Una transformación afín se puede representar mediante una traducción con un vector f ₀ y una matriz A regular de 3 × 3 :

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} _{0}+{\boldsymbol {A}}\mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+x\mathbf {f} _{1}+y\mathbf {f} _{2}+z\mathbf {f} _{3}}$

donde f ₁ , f ₂ , f ₃ son los vectores columna de la matriz A .

Se puede obtener una representación paramétrica de un elipsoide en posición general mediante la representación paramétrica de una esfera unitaria (ver arriba) y una transformación afín:

${\displaystyle \mathbf {x} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{2}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{3}\sin \theta ,\qquad -{\tfrac {\pi }{2}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}},\quad 0\leq \varphi <2\pi }$.

Si los vectores f ₁ , f ₂ , f ₃ forman un sistema ortogonal, los seis puntos con vectores f ₀ ± f _1,2,3 son los vértices del elipsoide y | f ₁ |, | f ₂ |, | f ₃ | son los ejes semiprincipales.

Un vector normal a la superficie en el punto x ( θ , φ ) es

${\displaystyle \mathbf {n} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{2}\times \mathbf {f} _{3}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{3}\times \mathbf {f} _{1}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{1}\times \mathbf {f} _{2}\sin \theta .}$

Para cualquier elipsoide existe una representación implícita F ( x , y , z ) = 0 . Si, por simplicidad, el centro del elipsoide es el origen, f ₀ = 0 , la siguiente ecuación describe el elipsoide anterior: ^[19]

${\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {x} \right)^{2}-\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}=0}$

Aplicaciones

La forma elipsoidal encuentra muchas aplicaciones prácticas:

Geodesia

• Elipsoide terrestre , figura matemática que se aproxima a la forma de la Tierra .
• Elipsoide de referencia , figura matemática que se aproxima a la forma de los cuerpos planetarios en general.

Mecánica

• Elipsoide de Poinsot , un método geométrico para visualizar el movimiento sin torsión de un cuerpo rígido giratorio .
• Elipsoide de tensiones de Lamé , una alternativa al círculo de Mohr para la representación gráfica del estado de tensiones en un punto.
• Elipsoide de manipulabilidad , utilizado para describir la libertad de movimiento de un robot.
• Elipsoide de Jacobi , un elipsoide triaxial formado por un fluido en rotación

Cristalografía

• Elipsoide índice , diagrama de un elipsoide que representa la orientación y magnitud relativa de los índices de refracción en un cristal .
• Elipsoide térmico , elipsoides utilizados en cristalografía para indicar las magnitudes y direcciones de la vibración térmica de los átomos en estructuras cristalinas .

Ciencias de la Computación

• Método elipsoide , un algoritmo de optimización convexo de importancia teórica

Encendiendo

• Proyector reflector elipsoidal
• Foco reflector elipsoidal

Medicamento

• Las mediciones obtenidas a partir de imágenes por resonancia magnética de la próstata se pueden utilizar para determinar el volumen de la glándula usando la aproximación L × W × H × 0,52 (donde 0,52 es una aproximación paraπ/6) ^[20]

Propiedades dinámicas

La masa de un elipsoide de densidad uniforme ρ es

${\displaystyle m=V\rho ={\tfrac {4}{3}}\pi abc\rho .}$

Los momentos de inercia de un elipsoide de densidad uniforme son

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {xx} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right),&I_{\mathrm {yy} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(c^{2}+a^{2}\right),&I_{\mathrm {zz} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right),\\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz} }=I_{\mathrm {zx} }=0.\end{aligned}}}$

Para a = b = c estos momentos de inercia se reducen a los de una esfera de densidad uniforme.

Concepción artística de Haumea , un planeta enano elipsoide de Jacobi , con sus dos lunas

Los elipsoides y cuboides giran de manera estable a lo largo de su eje mayor o menor, pero no a lo largo de su eje mediano. Esto se puede ver experimentalmente lanzando un borrador con un poco de giro. Además, las consideraciones sobre el momento de inercia significan que la rotación a lo largo del eje mayor se perturba más fácilmente que la rotación a lo largo del eje menor. ^[21]

Un efecto práctico de esto es que los cuerpos astronómicos escalenos como Haumea generalmente giran a lo largo de sus ejes menores (al igual que la Tierra, que es simplemente achatada ); Además, debido al bloqueo de las mareas , las lunas en órbita sincrónica , como Mimas , orbitan con su eje mayor alineado radialmente con su planeta.

Un cuerpo giratorio de fluido autogravitante homogéneo asumirá la forma de un esferoide de Maclaurin (esferoide achatado) o de un elipsoide de Jacobi (elipsoide escaleno) cuando esté en equilibrio hidrostático y para velocidades de rotación moderadas. En rotaciones más rápidas, se pueden esperar formas piriformes u oviformes no elipsoidales , pero no son estables.

Dinámica de fluidos

El elipsoide es la forma más general para la cual ha sido posible calcular el flujo progresivo de fluido alrededor de la forma sólida. Los cálculos incluyen la fuerza necesaria para trasladarse a través de un fluido y rotar dentro de él. Las aplicaciones incluyen determinar el tamaño y la forma de moléculas grandes, la velocidad de hundimiento de partículas pequeñas y la capacidad de natación de los microorganismos . ^[22]

En probabilidad y estadística.

Las distribuciones elípticas , que generalizan la distribución normal multivariada y se utilizan en finanzas , pueden definirse en términos de sus funciones de densidad . Cuando existen, las funciones de densidad f tienen la estructura:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g\left((\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}\right)}$

donde k es un factor de escala, x es un vector de fila aleatorio de n dimensiones con un vector mediano μ (que también es el vector medio si este último existe), Σ es una matriz definida positiva que es proporcional a la matriz de covarianza si esta última existe , y g es una función que mapea desde los reales no negativos a los reales no negativos dando un área finita bajo la curva. ^[23] La distribución normal multivariada es el caso especial en el que g ( z ) = exp(−z/2) para la forma cuadrática z .

Por tanto, la función de densidad es una transformación de escalar a escalar de una expresión cuádrica. Además, la ecuación para cualquier superficie de isodensidad establece que la expresión cuádrica es igual a alguna constante específica de ese valor de densidad, y la superficie de isodensidad es un elipsoide.

Ver también

• Cúpula elipsoidal
• Coordenadas elipsoidales
• Distribución elíptica , en estadística.
• El aplanamiento , también llamado elipticidad y achatamiento , es una medida de la compresión de un círculo o esfera a lo largo de un diámetro para formar una elipse o un elipsoide de revolución (esferoide), respectivamente.
• Focaloid , una capa delimitada por dos elipsoides confocales y concéntricos.
• Geodésicas sobre un elipsoide
• Datum geodésico , la Tierra gravitacional modelada por un elipsoide mejor ajustado
• Homoeoide , una capa delimitada por dos elipsoides concéntricos similares
• Elipsoide de John , el elipsoide más pequeño que contiene un conjunto convexo dado.
• Lista de superficies
• superelipsoide

Notas

1. Kreyszig (1972, págs. 455–456)
2. FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert y CW Clark, editores, 2010, Manual de funciones matemáticas del NIST ( Cambridge University Press ), disponible en línea en "DLMF: 19.33 Triaxial Ellipsoids". Archivado desde el original el 2 de diciembre de 2012 . Consultado el 8 de enero de 2012 .(ver siguiente referencia).
3. NIST (Instituto Nacional de Estándares y Tecnología) en http://www.nist.gov Archivado el 17 de junio de 2015 en Wayback Machine.
4. "DLMF: 19.2 Definiciones".
5. W., Weisstein, Eric. "Esferoide prolado". mathworld.wolfram.com . Archivado desde el original el 3 de agosto de 2017 . Consultado el 25 de marzo de 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Respuestas finales Archivado el 30 de septiembre de 2011 en Wayback Machine por Gerard P. Michon (13 de mayo de 2004). Véanse las fórmulas de Thomsen y los comentarios de Cantrell.
7. Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Geometría analítica de sólidos , Dover, p. 117, ISBN 978-0-486-81026-3
8. W. Böhm: Die FadenKonstruktion der Flächen zweiter Ordnung , Mathemat. Nachrichten 13, 1955, pág. 151
9. Staude, O.: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides . Matemáticas. Ana. 20, 147–184 (1882)
10. Staude, O.: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grados. Matemáticas. Ana. 27, 253–271 (1886).
11. Staude, O .: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Ana. 50, 398 - 428 (1898).
12. D. Hilbert & S Cohn-Vossen: Geometría e imaginación , Chelsea Nueva York, 1952, ISBN 0-8284-1087-9 , p. 20 . 
13. O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes , Teubner, Leipzig 1861, p. 287
14. D. Hilbert y S Cohn-Vossen: geometría e imaginación , p. 24
15. O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes , p. 301
16. W. Blaschke: Analytische Geometrie , p. 125
17. Grötschel, Martín ; Lovász, László ; Schrijver, Alexander (1993), Algoritmos geométricos y optimización combinatoria, Algoritmos y combinatoria, vol. 2 (2ª ed.), Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-78240-4, ISBN 978-3-642-78242-8, señor  1261419
18. "Copia archivada" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 26 de junio de 2013 . Consultado el 12 de octubre de 2013 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)págs. 17-18.
19. Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Archivado el 10 de noviembre de 2013 en Wayback Machine Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), pág. 88.
20. Bezinque, Adán; et al. (2018). "Determinación del volumen de la próstata: una comparación de métodos contemporáneos". Radiología Académica . 25 (12): 1582-1587. doi :10.1016/j.acra.2018.03.014. PMID  29609953. S2CID  4621745.
21. Goldstein, HG (1980). Mecánica Clásica , (2.ª edición) Capítulo 5.
22. Dusenbery, David B. (2009). Vivir a microescala , Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts ISBN 978-0-674-03116-6 . 
23. Frahm, G., Junker, M. y Szimayer, A. (2003). Cópulas elípticas: aplicabilidad y limitaciones. Cartas de estadística y probabilidad, 63(3), 275–286.

Referencias

• Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas de ingeniería avanzada (3.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8

enlaces externos

• "Elipsoide" de Jeff Bryant, Proyecto de demostraciones Wolfram , 2007.
• Superficie elipsoide y cuadrática, MathWorld .