Forma simétrica de Carlson

Conjunto de integrales elípticas

En matemáticas , las formas simétricas de Carlson de las integrales elípticas son un pequeño conjunto canónico de integrales elípticas al que se pueden reducir todas las demás. Son una alternativa moderna a las formas de Legendre . Las formas de Legendre se pueden expresar en términos de las formas de Carlson y viceversa.

Las integrales elípticas de Carlson son: ^[1] $${\displaystyle R_{F}(x,y,z)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}$$ $${\displaystyle R_{J}(x,y,z,p)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+p){\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$$ $${\displaystyle R_{G}(x,y,z)={\tfrac {1}{4}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}{\biggl (}{\frac {x}{t+x}}+{\frac {y}{t+y}}+{\frac {z}{t+z}}{\biggr )}t\,dt}$$ $${\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+y){\sqrt {(t+x)}}}}}$$ $${\displaystyle R_{D}(x,y,z)=R_{J}(x,y,z,z)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+z)\,{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$$

Dado que y son casos especiales de y , todas las integrales elípticas pueden, en última instancia, evaluarse en términos de simplemente , y . ${\displaystyle R_{C}}$ ${\displaystyle R_{D}}$ ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle R_{G}}$

El término simétrico se refiere al hecho de que, a diferencia de las formas de Legendre, estas funciones no se modifican con el intercambio de ciertos subconjuntos de sus argumentos. El valor de es el mismo para cualquier permutación de sus argumentos, y el valor de es el mismo para cualquier permutación de sus primeros tres argumentos. ${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$ ${\displaystyle R_{J}(x,y,z,p)}$

Las integrales elípticas de Carlson reciben su nombre en honor a Bille C. Carlson (1924-2013).

Relación con las formas de Legendre

Integrales elípticas incompletas

Las integrales elípticas incompletas se pueden calcular fácilmente utilizando las formas simétricas de Carlson:

${\displaystyle F(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)}$

${\displaystyle E(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}\sin ^{3}\phi R_{D}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)}$

${\displaystyle \Pi (\phi ,n,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)+{\tfrac {1}{3}}n\sin ^{3}\phi R_{J}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1,1-n\sin ^{2}\phi \right)}$

(Nota: lo anterior solo es válido para y ) ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1}$

Integrales elípticas completas

Las integrales elípticas completas se pueden calcular sustituyendo φ =  1 ⁄ 2 π:

${\displaystyle K(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)}$

${\displaystyle E(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}R_{D}\left(0,1-k^{2},1\right)}$

${\displaystyle \Pi (n,k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-k^{2},1,1-n\right)}$

Casos especiales

Cuando dos o tres argumentos de son iguales, entonces una sustitución de hace que el integrando sea racional. La integral puede entonces expresarse en términos de funciones trascendentales elementales . ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle {\sqrt {t+x}}=u}$

${\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{{\sqrt {t+x}}(t+y)}}=\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{u^{2}-x+y}}={\begin{cases}{\frac {\arccos {\sqrt {{x}/{y}}}}{\sqrt {y-x}}},&x<y\\{\frac {1}{\sqrt {y}}},&x=y\\{\frac {\operatorname {arcosh} {\sqrt {{x}/{y}}}}{\sqrt {x-y}}},&x>y\\\end{cases}}}$

De manera similar, cuando al menos dos de los primeros tres argumentos de son iguales, ${\displaystyle R_{J}}$

${\displaystyle R_{J}(x,y,y,p)=3\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{(u^{2}-x+y)(u^{2}-x+p)}}={\begin{cases}{\frac {3}{p-y}}(R_{C}(x,y)-R_{C}(x,p)),&y\neq p\\{\frac {3}{2(y-x)}}\left(R_{C}(x,y)-{\frac {1}{y}}{\sqrt {x}}\right),&y=p\neq x\\{\frac {1}{y^{{3}/{2}}}},&y=p=x\\\end{cases}}}$

Propiedades

Homogeneidad

Sustituyendo en las definiciones integrales cualquier constante , se obtiene que ${\displaystyle t=\kappa u}$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle R_{F}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z\right)=\kappa ^{-1/2}R_{F}(x,y,z)}$

${\displaystyle R_{J}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p\right)=\kappa ^{-3/2}R_{J}(x,y,z,p)}$

Teorema de duplicación

${\displaystyle R_{F}(x,y,z)=2R_{F}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_{F}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}}\right),}$

dónde . ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=2R_{J}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda ,p+\lambda )+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\\&={\frac {1}{4}}R_{J}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}},{\frac {p+\lambda }{4}}\right)+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\end{aligned}}}$^[2]

donde y ${\displaystyle d=({\sqrt {p}}+{\sqrt {x}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {y}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {z}})}$ ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}}$

Expansión de la serie

Para obtener una expansión en serie de Taylor para o resulta conveniente expandir sobre el valor medio de los diversos argumentos. Por lo tanto, para , dejando que el valor medio de los argumentos sea , y utilizando homogeneidad, defina , y por ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle A=(x+y+z)/3}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&=R_{F}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z))\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}R_{F}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z)\end{aligned}}}$

es decir, etc. Las diferencias , y se definen con este signo (de modo que se restan ), para estar de acuerdo con los trabajos de Carlson. Puesto que es simétrica bajo la permutación de , y , también es simétrica en las cantidades , y . De ello se deduce que tanto el integrando de como su integral se pueden expresar como funciones de los polinomios simétricos elementales en , y que son ${\displaystyle \Delta x=1-x/A}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$ ${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$ ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+\Delta z\Delta x}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta x\Delta y\Delta z}$

Expresando el integrando en términos de estos polinomios, realizando una expansión de Taylor multidimensional e integrando término por término...

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{3}-(t+1)^{2}E_{1}+(t+1)E_{2}-E_{3}}}}dt\\&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {7}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}}{8(t+1)^{\frac {11}{2}}}}-{\frac {3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}\left(1-{\frac {1}{10}}E_{2}+{\frac {1}{14}}E_{3}+{\frac {1}{24}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{44}}E_{2}E_{3}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

La ventaja de expandirse alrededor del valor medio de los argumentos ahora es evidente: se reduce idénticamente a cero y, por lo tanto, elimina todos los términos que involucran - que de otro modo serían los más numerosos. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

Una serie ascendente para se puede encontrar de una manera similar. Existe una ligera dificultad porque no es completamente simétrica; su dependencia de su cuarto argumento, , es diferente de su dependencia de , y . Esto se supera al tratar como una función completamente simétrica de cinco argumentos, dos de los cuales tienen el mismo valor . Por lo tanto, se toma el valor medio de los argumentos como ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle A={\frac {x+y+z+2p}{5}}}$

y las diferencias , y definidas por ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$ ${\displaystyle \Delta p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=R_{J}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z),A(1-\Delta p))\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}R_{J}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z,1-\Delta p)\end{aligned}}}$

Los polinomios simétricos elementales en , , y (de nuevo) están en su forma completa ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle \Delta p}$

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z+2\Delta p=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+2\Delta z\Delta p+\Delta p^{2}+2\Delta p\Delta x+\Delta x\Delta z+2\Delta y\Delta p}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta p+\Delta x\Delta y\Delta z+2\Delta y\Delta z\Delta p+\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{4}=\Delta y\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{5}=\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p^{2}}$

Sin embargo, es posible simplificar las fórmulas para , y utilizando el hecho de que . Expresando el integrando en términos de estos polinomios, realizando una expansión de Taylor multidimensional e integrando término por término como antes... ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{3}}$ ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{1}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{5}-(t+1)^{4}E_{1}+(t+1)^{3}E_{2}-(t+1)^{2}E_{3}+(t+1)E_{4}-E_{5}}}}dt\\&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {5}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {11}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}-4E_{4}}{8(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+{\frac {2E_{5}-3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {15}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}\left(1-{\frac {3}{14}}E_{2}+{\frac {1}{6}}E_{3}+{\frac {9}{88}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{22}}E_{4}-{\frac {9}{52}}E_{2}E_{3}+{\frac {3}{26}}E_{5}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

Al igual que con , al expandirse sobre el valor medio de los argumentos, se eliminan más de la mitad de los términos (aquellos que involucran ). ${\displaystyle R_{J}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

Argumentos negativos

En general, los argumentos x, y, z de las integrales de Carlson pueden no ser reales y negativos, ya que esto colocaría un punto de ramificación en el camino de integración, haciendo que la integral sea ambigua. Sin embargo, si el segundo argumento de , o el cuarto argumento, p, de es negativo, entonces esto da como resultado un polo simple en el camino de integración. En estos casos, el valor principal de Cauchy (parte finita) de las integrales puede ser de interés; estos son ${\displaystyle R_{C}}$ ${\displaystyle R_{J}}$

${\displaystyle \mathrm {p.v.} \;R_{C}(x,-y)={\sqrt {\frac {x}{x+y}}}\,R_{C}(x+y,y),}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {p.v.} \;R_{J}(x,y,z,-p)&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {y}}R_{C}(xz,-pq)}{y+p}}\\&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {\frac {xyz}{xz+pq}}}R_{C}(xz+pq,pq)}{y+p}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle q=y+{\frac {(z-y)(y-x)}{y+p}}.}$

que debe ser mayor que cero para que se pueda evaluar. Esto se puede arreglar permutando x, y y z de modo que el valor de y esté entre el de x y z. ${\displaystyle R_{J}(x,y,z,q)}$

Evaluación numérica

El teorema de duplicación se puede utilizar para una evaluación rápida y robusta de la forma simétrica de Carlson de las integrales elípticas y, por lo tanto, también para la evaluación de la forma de Legendre de las integrales elípticas. Calculemos : primero, definamos , y . Luego iteremos la serie ${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$ ${\displaystyle x_{0}=x}$ ${\displaystyle y_{0}=y}$ ${\displaystyle z_{0}=z}$

${\displaystyle \lambda _{n}={\sqrt {x_{n}}}{\sqrt {y_{n}}}+{\sqrt {y_{n}}}{\sqrt {z_{n}}}+{\sqrt {z_{n}}}{\sqrt {x_{n}}},}$

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+\lambda _{n}}{4}},y_{n+1}={\frac {y_{n}+\lambda _{n}}{4}},z_{n+1}={\frac {z_{n}+\lambda _{n}}{4}}}$

hasta que se alcance la precisión deseada: si , y no son negativos, todas las series convergerán rápidamente a un valor dado, digamos, . Por lo tanto, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle R_{F}\left(x,y,z\right)=R_{F}\left(\mu ,\mu ,\mu \right)=\mu ^{-1/2}.}$

La evaluación es muy similar debido a la relación ${\displaystyle R_{C}(x,y)}$

${\displaystyle R_{C}\left(x,y\right)=R_{F}\left(x,y,y\right).}$

Referencias y enlaces externos

1. FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert y CW Clark, editores, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions ( Cambridge University Press ), Sección 19.16, «Integrales simétricas» . Consultado el 16 de abril de 2024 ..
2. Carlson, Bille C. (1994). "Cálculo numérico de integrales elípticas reales o complejas". Algoritmos numéricos . 10 : 13–26. arXiv : math/9409227v1 . doi :10.1007/BF02198293.

• BC Carlson, John L. Gustafson 'Aproximaciones asintóticas para integrales elípticas simétricas' 1993 arXiv
• BC Carlson 'Cálculo numérico de integrales elípticas reales o complejas' 1994 arXiv
• BC Carlson, 'Integrales elípticas: integrales simétricas' en el capítulo 19 de la Biblioteca digital de funciones matemáticas. Fecha de publicación: 7 de mayo de 2010. Instituto Nacional de Normas y Tecnología.
• 'Perfil: Bille C. Carlson' en Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.12. Integrales elípticas y funciones elípticas jacobianas", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-85-0-312-0 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 11-08-2011 , consultado el 10-08-2011
• Código Fortran de SLATEC para evaluar RF, RJ, RC, RD,