Espacio tangente

Asignación de campos vectoriales a variedades

En matemáticas , el espacio tangente de una variedad es una generalización de las líneas tangentes a las curvas en el espacio bidimensional y de los planos tangentes a las superficies en el espacio tridimensional en dimensiones superiores. En el contexto de la física, el espacio tangente a una variedad en un punto puede considerarse como el espacio de velocidades posibles para una partícula que se mueve en la variedad.

Descripción informal

Representación gráfica del espacio tangente de un único punto de una esfera . Un vector en este espacio tangente representa una velocidad posible (de algo que se mueve en la esfera) en . Después de moverse en esa dirección hasta un punto cercano, la velocidad estaría dada por un vector en el espacio tangente de ese punto, un espacio tangente diferente que no se muestra. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

En geometría diferencial , se puede asociar a cada punto de una variedad diferenciable un espacio tangente —un espacio vectorial real que intuitivamente contiene las posibles direcciones en las que se puede pasar tangencialmente por . Los elementos del espacio tangente en se denominan vectores tangentes en . Esta es una generalización de la noción de un vector , basado en un punto inicial dado, en un espacio euclidiano . La dimensión del espacio tangente en cada punto de una variedad conexa es la misma que la de la propia variedad . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Por ejemplo, si la variedad dada es una - esfera , entonces uno puede imaginar el espacio tangente en un punto como el plano que toca la esfera en ese punto y es perpendicular al radio de la esfera a través del punto. De manera más general, si una variedad dada se piensa como una subvariedad incrustada del espacio euclidiano , entonces uno puede imaginar un espacio tangente de esta manera literal. Este fue el enfoque tradicional para definir el transporte paralelo . Muchos autores en geometría diferencial y relatividad general lo utilizan. ^{[1] [2]} Más estrictamente, esto define un espacio tangente afín, que es distinto del espacio de vectores tangentes descrito por la terminología moderna. ${\displaystyle 2}$

En geometría algebraica , por el contrario, existe una definición intrínseca del espacio tangente en un punto de una variedad algebraica que da un espacio vectorial con dimensión al menos igual a la de sí mismo. Los puntos en los que la dimensión del espacio tangente es exactamente la de se denominan puntos no singulares ; los demás se denominan puntos singulares . Por ejemplo, una curva que se cruza consigo misma no tiene una línea tangente única en ese punto. Los puntos singulares de son aquellos en los que falla la "prueba de ser una variedad". Véase Espacio tangente de Zariski . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Una vez que se han introducido los espacios tangentes de una variedad, se pueden definir campos vectoriales , que son abstracciones del campo de velocidad de las partículas que se mueven en el espacio. Un campo vectorial une a cada punto de la variedad un vector del espacio tangente en ese punto, de manera uniforme. Un campo vectorial de este tipo sirve para definir una ecuación diferencial ordinaria generalizada en una variedad: Una solución a una ecuación diferencial de este tipo es una curva diferenciable en la variedad cuya derivada en cualquier punto es igual al vector tangente unido a ese punto por el campo vectorial.

Todos los espacios tangentes de una variedad pueden "pegarse entre sí" para formar una nueva variedad diferenciable con el doble de dimensión de la variedad original, llamada fibrado tangente de la variedad.

Definiciones formales

La descripción informal anterior se basa en la capacidad de una variedad de integrarse en un espacio vectorial ambiental de modo que los vectores tangentes puedan "sobresalir" de la variedad hacia el espacio ambiental. Sin embargo, es más conveniente definir la noción de un espacio tangente basándose únicamente en la variedad misma. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Existen varias formas equivalentes de definir los espacios tangentes de una variedad. Si bien la definición a través de la velocidad de las curvas es intuitivamente la más simple, también es la más complicada de manejar. A continuación se describen enfoques más elegantes y abstractos.

Definición a través de curvas tangentes

En la imagen de la variedad embebida, un vector tangente en un punto se considera como la velocidad de una curva que pasa por el punto . Por lo tanto, podemos definir un vector tangente como una clase de equivalencia de curvas que pasan por mientras son tangentes entre sí en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Supóngase que es una variedad diferenciable (con suavidad ) y que . Elija un diagrama de coordenadas , donde es un subconjunto abierto de que contiene . Supóngase además que se dan dos curvas con tales que ambas son diferenciables en el sentido ordinario (llamamos a estas curvas diferenciables inicializadas en ). Entonces se dice que y son equivalentes en si y solo si las derivadas de y en coinciden. Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las curvas diferenciables inicializadas en , y las clases de equivalencia de tales curvas se conocen como vectores tangentes de en . La clase de equivalencia de cualquier curva de este tipo se denota por . El espacio tangente de en , denotado por , se define entonces como el conjunto de todos los vectores tangentes en ; no depende de la elección del diagrama de coordenadas . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M}$ ${\displaystyle {\gamma _{1}}(0)=x={\gamma _{2}}(0)}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1},\varphi \circ \gamma _{2}:(-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

El espacio tangente y un vector tangente , a lo largo de una curva que pasa por . ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$

Para definir las operaciones del espacio vectorial en , utilizamos un gráfico y definimos una función mediante donde . La función resulta ser biyectiva y puede utilizarse para transferir las operaciones del espacio vectorial en sobre , convirtiendo así el último conjunto en un espacio vectorial real de dimensión . Nuevamente, es necesario comprobar que esta construcción no depende del gráfico particular y de la curva que se esté utilizando, y de hecho no depende de ello. ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[(\varphi \circ \gamma )(t)]\right|_{t=0},}$ ${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$

Definición por derivaciones

Supongamos ahora que es una variedad. Se dice que una función de valor real pertenece a si y solo si para cada gráfico de coordenadas , la función es infinitamente diferenciable. Nótese que es un álgebra asociativa real con respecto al producto puntual y la suma de funciones y la multiplicación escalar. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

Una derivación en se define como una función lineal que satisface la identidad de Leibniz, que se basa en la regla del producto del cálculo. ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle D:{C^{\infty }}(M)\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \forall f,g\in {C^{\infty }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),}$$

(Para cada función idénticamente constante se sigue que ). ${\displaystyle f={\text{const}},}$ ${\displaystyle D(f)=0}$

Denote el conjunto de todas las derivaciones en Configuración ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x.}$

• ${\displaystyle (D_{1}+D_{2})(f):={D}_{1}(f)+{D}_{2}(f)}$y
• ${\displaystyle (\lambda \cdot D)(f):=\lambda \cdot D(f)}$

se convierte en un espacio vectorial. ${\displaystyle T_{x}M}$

Generalizaciones

Las generalizaciones de esta definición son posibles, por ejemplo, a variedades complejas y variedades algebraicas . Sin embargo, en lugar de examinar las derivaciones a partir del álgebra completa de funciones, se debe trabajar en el nivel de gérmenes de funciones. La razón de esto es que la estructura haz puede no ser adecuada para tales estructuras. Por ejemplo, sea una variedad algebraica con estructura haz . Entonces, el espacio tangente de Zariski en un punto es la colección de todas las -derivaciones , donde es el cuerpo fundamental y es el tallo de en . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X,p}\to \mathbb {k} }$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle p}$

Equivalencia de las definiciones

Para y una curva diferenciable tal que definen (donde la derivada se toma en el sentido ordinario porque es una función de a ). Se puede determinar que es una derivación en el punto y que las curvas equivalentes dan como resultado la misma derivación. Por lo tanto, para una clase de equivalencia podemos definir donde la curva ha sido elegida arbitrariamente. La función es un isomorfismo del espacio vectorial entre el espacio de las clases de equivalencia y el de las derivaciones en el punto ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$ ${\displaystyle {D_{\gamma }}(f):=(f\circ \gamma )'(0)}$ ${\displaystyle f\circ \gamma }$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D_{\gamma }(f)}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \gamma '(0),}$ ${\displaystyle {D_{\gamma '(0)}}(f):=(f\circ \gamma )'(0),}$ ${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \gamma '(0)\mapsto D_{\gamma '(0)}}$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle x.}$

Definición a través de espacios cotangentes

Nuevamente, comenzamos con una variedad y un punto . Consideremos el ideal de que consiste en todas las funciones suaves que se desvanecen en , es decir, . Entonces y son ambos espacios vectoriales reales, y se puede demostrar que el espacio cociente es isomorfo al espacio cotangente mediante el uso del teorema de Taylor . El espacio tangente puede entonces definirse como el espacio dual de . ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I^{2}}$ ${\displaystyle I/I^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle I/I^{2}}$

Si bien esta definición es la más abstracta, también es la que se puede transferir más fácilmente a otros entornos, por ejemplo, a las variedades consideradas en geometría algebraica .

Si es una derivación en , entonces para cada , lo que significa que da lugar a una función lineal . Por el contrario, si es una función lineal, entonces define una derivación en . Esto produce una equivalencia entre espacios tangentes definidos mediante derivaciones y espacios tangentes definidos mediante espacios cotangentes. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D(f)=0}$ ${\displaystyle f\in I^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle I/I^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r:I/I^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(f):=r\left((f-f(x))+I^{2}\right)}$ ${\displaystyle x}$

Propiedades

Si es un subconjunto abierto de , entonces es una variedad de manera natural (tome los gráficos de coordenadas como mapas identidad en subconjuntos abiertos de ), y los espacios tangentes se identifican todos naturalmente con . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Vectores tangentes como derivadas direccionales

Otra forma de pensar en los vectores tangentes es como derivadas direccionales . Dado un vector en , se define la derivada direccional correspondiente en un punto mediante ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(\mathbb {R} ^{n}):\qquad (D_{v}f)(x):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[f(x+tv)]\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).}$

Naturalmente, esta función es una derivación en . Además, cada derivación en un punto en tiene esta forma. Por lo tanto, existe una correspondencia biunívoca entre los vectores (considerados como vectores tangentes en un punto) y las derivaciones en un punto. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Como los vectores tangentes a una variedad general en un punto se pueden definir como derivaciones en ese punto, es natural pensar en ellos como derivadas direccionales. Específicamente, si es un vector tangente a en un punto (considerado como una derivación), entonces defina la derivada direccional en la dirección por ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{v}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=v(f).}$

Si pensamos en como la velocidad inicial de una curva diferenciable inicializada en , es decir, , entonces en cambio, definimos por ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v=\gamma '(0)}$ ${\displaystyle D_{v}}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=(f\circ \gamma )'(0).}$

Base del espacio tangente en un punto

Para una variedad , si se da un gráfico con , entonces se puede definir una base ordenada de por ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi =(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\textstyle \left\{\left.{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\right|_{p},\dots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right|_{p}\right\}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}}(f):=\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}f\circ \varphi ^{-1}{\Big )}\right){\Big (}\varphi (p){\Big )}.}$

Entonces para cada vector tangente , se tiene ${\displaystyle v\in T_{p}M}$

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}.}$

Por lo tanto, esta fórmula se expresa como una combinación lineal de los vectores tangentes base definidos por el gráfico de coordenadas . ^[4] ${\displaystyle v}$ ${\textstyle \left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

La derivada de un mapa

Toda función suave (o diferenciable) entre variedades suaves (o diferenciables) induce funciones lineales naturales entre sus espacios tangentes correspondientes: ${\displaystyle \varphi :M\to N}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.}$

Si el espacio tangente se define mediante curvas diferenciables, entonces este mapa se define por

${\displaystyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

Si, en cambio, el espacio tangente se define mediante derivaciones, entonces esta función se define mediante

${\displaystyle [\mathrm {d} {\varphi }_{x}(D)](f):=D(f\circ \varphi ).}$

La función lineal se denomina de diversas formas: derivada , derivada total , diferencial o empuje hacia adelante de en . Con frecuencia se expresa utilizando una variedad de otras notaciones: ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle D\varphi _{x},\qquad (\varphi _{*})_{x},\qquad \varphi '(x).}$

En cierto sentido, la derivada es la mejor aproximación lineal a cerca de . Nótese que cuando , entonces el mapa coincide con la noción usual de diferencial de la función . En coordenadas locales la derivada de está dada por el jacobiano . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Un resultado importante respecto al mapa de derivadas es el siguiente:

Teorema  :  Si es un difeomorfismo local en en , entonces es un isomorfismo lineal . Por el contrario, si es continuamente diferenciable y es un isomorfismo, entonces existe un entorno abierto de tal que se mapea difeomórficamente sobre su imagen. ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$

Esta es una generalización del teorema de la función inversa a mapas entre variedades.

Véase también

• Base inducida por coordenadas
• Espacio cotangente
• Geometría diferencial de curvas
• Mapa exponencial
• Espacio vectorial

Notas

1. do Carmo, Manfredo P. (1976). Geometría diferencial de curvas y superficies . Prentice-Hall.:
2. Dirac, Paul AM (1996) [1975]. Teoría general de la relatividad . Princeton University Press. ISBN 0-691-01146-X.
3. Chris J. Isham (1 de enero de 2002). Geometría diferencial moderna para físicos. Allied Publishers. págs. 70-72. ISBN 978-81-7764-316-9.
4. Lerman, Eugene. "Introducción a la geometría diferencial" (PDF) . pág. 12.

Referencias

• Lee, Jeffrey M. (2009), Variedades y geometría diferencial , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 107, Providence: American Mathematical Society.
• Michor, Peter W. (2008), Temas de geometría diferencial , Estudios de posgrado en matemáticas, vol. 93, Providence: American Mathematical Society.
• Spivak, Michael (1965), Cálculo en variedades: un enfoque moderno de los teoremas clásicos del cálculo avanzado, WA Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.

Enlaces externos

• Planos tangentes en MathWorld