Espacio tangente de Zariski

Espacios tangentes en geometría algebraica

En geometría algebraica , el espacio tangente de Zariski es una construcción que define un espacio tangente en un punto P de una variedad algebraica V (y de forma más general). No utiliza cálculo diferencial , basándose directamente en el álgebra abstracta , y en los casos más concretos tan solo en la teoría de un sistema de ecuaciones lineales .

Motivación

Por ejemplo, supongamos que C es una curva plana definida por una ecuación polinómica

F ( X,Y ) = 0

y tomamos P como el origen (0,0). Borrar términos de orden superior a 1 produciría una ecuación "linealizada" que se lee

L ( X,Y ) = 0

en el que todos los términos X ^a Y ^b han sido descartados si a + b > 1 .

Tenemos dos casos: L puede ser 0, o puede ser la ecuación de una recta. En el primer caso el espacio tangente (de Zariski) a C en (0,0) es todo el plano, considerado como un espacio afín bidimensional . En el segundo caso, el espacio tangente es esa recta, considerada como espacio afín. (La cuestión del origen surge cuando tomamos P como un punto general en C ; es mejor decir 'espacio afín' y luego notar que P es un origen natural, en lugar de insistir directamente en que es un espacio vectorial .)

Es fácil ver que sobre el cuerpo real podemos obtener L en términos de las primeras derivadas parciales de F . Cuando ambas son 0 en P , tenemos un punto singular ( punto doble , cúspide o algo más complicado). La definición general es que los puntos singulares de C son los casos en los que el espacio tangente tiene dimensión 2.

Definición

El espacio cotangente de un anillo local R , con ideal máximo se define como ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$

donde ² viene dado por el producto de ideales . Es un espacio vectorial sobre el cuerpo de residuos k:= R/ . Su dual (como espacio vectorial k ) se denomina espacio tangente de R. ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Esta definición es una generalización del ejemplo anterior a dimensiones superiores: supongamos que se da una variedad algebraica afín V y un punto v de V. Moralmente, modificar ² corresponde a eliminar los términos no lineales de las ecuaciones que definen V dentro de algún espacio afín, dando así un sistema de ecuaciones lineales que definen el espacio tangente. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

El espacio tangente y el espacio cotangente de un esquema X en un punto P es el espacio (co)tangente de . Debido a la functorialidad de Spec , la función cociente natural induce un homomorfismo para X = Spec( R ), P un punto en Y = Spec( R/I ). Esto se utiliza para incrustar en . ^[2] Dado que los morfismos de los cuerpos son inyectivos, la sobreyección de los cuerpos de residuos inducida por g es un isomorfismo. Entonces, un morfismo k de los espacios cotangentes es inducido por g , dado por ${\displaystyle T_{P}(X)}$ ${\displaystyle T_{P}^{*}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,P}}$ ${\displaystyle f:R\rightarrow R/I}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}}$ ${\displaystyle T_{P}(Y)}$ ${\displaystyle T_{f^{-1}P}(X)}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)}$

${\displaystyle \cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).}$

Como se trata de una sobreyección, la transposición es una inyección. ${\displaystyle k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)}$

(A menudo se definen los espacios tangente y cotangente de una variedad de manera análoga.)

Funciones analíticas

Si V es una subvariedad de un espacio vectorial n -dimensional, definido por un ideal I , entonces R = F _n / I , donde F _n es el anillo de funciones suaves/analíticas/holomórficas en este espacio vectorial. El espacio tangente de Zariski en x es

m _n / ( yo + m _n ² ) ,

donde m _n es el ideal máximo que consiste en aquellas funciones en F _n que se desvanecen en x .

En el ejemplo planar anterior, I = ( F ( X,Y )), y I+m ² = ( L ( X,Y )) +m ² .

Propiedades

Si R es un anillo local noetheriano , la dimensión del espacio tangente es al menos la dimensión de R :

${\displaystyle \dim {{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geq \dim {R}}}$

R se llama regular si se cumple la igualdad. En un lenguaje más geométrico, cuando R es el anillo local de una variedad V en un punto v , también se dice que v es un punto regular. De lo contrario, se llama punto singular .

El espacio tangente tiene una interpretación en términos de K [ t ] / ( t ² ), los números duales para K ; en el lenguaje de los esquemas , los morfismos de Spec K [ t ] / ( t ² ) a un esquema X sobre K corresponden a una elección de un punto racional x ∈ X(k) y un elemento del espacio tangente en x . ^[3] Por lo tanto, también se habla de vectores tangentes . Véase también: espacio tangente a un funtor .

En general, la dimensión del espacio tangente de Zariski puede ser extremadamente grande. Por ejemplo, sea el anillo de funciones de valor real continuamente diferenciables en . Definamos como el anillo de gérmenes de tales funciones en el origen. Entonces R es un anillo local, y su ideal máximo m consiste en todos los gérmenes que se anulan en el origen. Las funciones para definen vectores linealmente independientes en el espacio cotangente de Zariski , por lo que la dimensión de es al menos , la cardinalidad del continuo. La dimensión del espacio tangente de Zariski es, por lo tanto, al menos . Por otra parte, el anillo de gérmenes de funciones suaves en un punto en una n -variedad tiene un espacio cotangente de Zariski n -dimensional. ^[a] ${\displaystyle C^{1}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle R=C_{0}^{1}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle x^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in (1,2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})^{*}}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$

Véase también

• Cono tangente
• Jet (matemáticas)

Notas

1. https://mathoverflow.net/questions/44705/cardinalities-larger-than-the-continuum-in-areas-besides-set-theory/44733#44733 ^{[ se necesita una mejor fuente ]}

Citas

1. Eisenbud y Harris 1998, I.2.2, pág. 26.
2. James McKernan , Suavidad y el espacio tangente de Zariski , 18.726 Primavera de 2011, Conferencia 5
3. Hartshorne 1977, Ejercicio II 2.8.

Fuentes

• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998). La geometría de los esquemas. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98637-5– vía Internet Archive .
• Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 52. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 978-0-387-90244-9.Sr. 0463157  .
• Zariski, Oscar (1947). "El concepto de un punto simple de una variedad algebraica abstracta". Transactions of the American Mathematical Society . 62 : 1–52. doi : 10.1090/S0002-9947-1947-0021694-1 . MR  0021694. Zbl  0031.26101.

Enlaces externos

• Espacio tangente de Zariski. VI Danilov (creador), Enciclopedia de Matemáticas.