Espacio tangente a un funtor

Concepto en la teoría de categorías

En geometría algebraica, el espacio tangente a un funtor generaliza la construcción clásica de un espacio tangente como el espacio tangente de Zariski . La construcción se basa en la siguiente observación. ^[1] Sea X un esquema sobre un cuerpo k .

Dar un punto de X es lo mismo que dar un punto k - racional p de X (es decir, el campo de residuos de p es k ) junto con un elemento de ; es decir, un vector tangente en p . ${\displaystyle k[\epsilon ]/(\epsilon )^{2}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {m}}_{X,p}/{\mathfrak {m}}_{X,p}^{2})^{*}}$

(Para ver esto, utilice el hecho de que cualquier homomorfismo local debe ser de la forma ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{p}\to k[\epsilon ]/(\epsilon )^{2}}$

${\displaystyle \delta _{p}^{v}:u\mapsto u(p)+\epsilon v(u),\quad v\in {\mathcal {O}}_{p}^{*}.}$)

Sea F un funtor de la categoría de k -álgebras a la categoría de conjuntos. Entonces, para cualquier k -punto , la fibra de sobre p se llama espacio tangente a F en p . ^[2] Si el funtor F conserva productos fibrosos (por ejemplo, si es un esquema), al espacio tangente se le puede dar la estructura de un espacio vectorial sobre k . Si F es un esquema X sobre k (es decir, ), entonces cada v como el anterior puede identificarse con una derivación en p y esto da la identificación de con el espacio de derivaciones en p y recuperamos la construcción habitual. ${\displaystyle p\in F(k)}$ ${\displaystyle \pi :F(k[\epsilon ]/(\epsilon )^{2})\to F(k)}$ ${\displaystyle F=\operatorname {Hom} _{\operatorname {Spec} k}(\operatorname {Spec} -,X)}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(p)}$

La construcción puede considerarse como la definición de un análogo del fibrado tangente de la siguiente manera. ^[3] Sea . Entonces, para cualquier morfismo de esquemas sobre k , se ve ; esto muestra que la función que f induce es precisamente la diferencial de f bajo la identificación anterior. ${\displaystyle T_{X}=X(k[\epsilon ]/(\epsilon )^{2})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{\#}(\delta _{p}^{v})=\delta _{f(p)}^{df_{p}(v)}}$ ${\displaystyle T_{X}\to T_{Y}}$

Referencias

1. Hartshorne 1977, Ejercicio II 2.8
2. Eisenbud y Harris 1998, VI.1.3
3. Borel 1991, AG 16.2

• Borel, Armand (1991) [1969], Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 126 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, Sr.  1102012
• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998). La geometría de los esquemas. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98637-5.Zbl 0960.14002  .
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157