Punto singular de una curva

Punto en una curva no dado por una incrustación suave de un parámetro

En geometría , un punto singular en una curva es aquel en el que la curva no está dada por una incrustación suave de un parámetro . La definición precisa de un punto singular depende del tipo de curva que se esté estudiando.

Curvas algebraicas en el plano

Las curvas algebraicas en el plano pueden definirse como el conjunto de puntos ( x , y ) que satisfacen una ecuación de la forma donde f es una función polinómica ⁠ ⁠ Si f se desarrolla como Si el origen (0, 0) está en la curva, entonces a ₀ = 0 . Si b ₁ ≠ 0 entonces el teorema de la función implícita garantiza que hay una función suave h de modo que la curva tiene la forma y = h ( x ) cerca del origen. De manera similar, si b ₀ ≠ 0 entonces hay una función suave k de modo que la curva tiene la forma x = k ( y ) cerca del origen. En cualquier caso, hay una función suave desde ⁠ ⁠ hasta el plano que define la curva en la vecindad del origen. Nótese que en el origen entonces la curva no es singular o regular en el origen si al menos una de las derivadas parciales de f no es cero. Los puntos singulares son aquellos puntos en la curva donde ambas derivadas parciales se desvanecen, ${\displaystyle f(x,y)=0,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$ $${\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},}$$ $${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}$$

Puntos regulares

Suponga que la curva pasa por el origen y escriba Entonces f se puede escribir Si no es 0 entonces f = 0 tiene una solución de multiplicidad 1 en x = 0 y el origen es un punto de contacto simple con la línea Si entonces f = 0 tiene una solución de multiplicidad 2 o mayor y la línea o es tangente a la curva. En este caso, si no es 0 entonces la curva tiene un punto de doble contacto con Si el coeficiente de x ² , es 0 pero el coeficiente de x ³ no lo es entonces el origen es un punto de inflexión de la curva. Si los coeficientes de x ² y x ³ son ambos 0 entonces el origen se llama punto de ondulación de la curva. Este análisis se puede aplicar a cualquier punto de la curva trasladando los ejes de coordenadas de modo que el origen esté en el punto dado. ^[1] ${\displaystyle y=mx.}$ $${\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\cdots .}$$ ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}}$ ${\displaystyle y=mx.}$ ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}=0}$ ${\displaystyle y=mx,}$ ${\displaystyle b_{0}x+b_{1}y=0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}}$ ${\displaystyle y=mx.}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2},}$

Puntos dobles

Tres limaçons que ilustran los tipos de doble punto. Cuando se convierte a coordenadas cartesianas , la curva de la izquierda adquiere un acnodo en el origen, que es un punto aislado en el plano. La curva central, la cardioide , tiene una cúspide en el origen. La curva de la derecha tiene un crunodo en el origen y la curva se cruza a sí misma para formar un bucle. ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-x)^{2}=(1.5)^{2}(x^{2}+y^{2}),}$

Si b ₀ y b ₁ son ambos 0 en la expansión anterior, pero al menos uno de c ₀ , c ₁ , c ₂ no es 0, entonces el origen se llama punto doble de la curva. Nuevamente, poniendo f se puede escribir Los puntos dobles se pueden clasificar según las soluciones de ${\displaystyle y=mx,}$ $${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .}$$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Crunodos

Si tiene dos soluciones reales para m , es decir si entonces el origen se llama nodo cruzado . La curva en este caso se cruza a sí misma en el origen y tiene dos tangentes distintas correspondientes a las dos soluciones de La función f tiene un punto de silla en el origen en este caso. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Acnodes

Si no tiene soluciones reales para m , es decir si entonces el origen se llama acnodo . En el plano real el origen es un punto aislado en la curva; sin embargo cuando se considera como una curva compleja el origen no está aislado y tiene dos tangentes imaginarias correspondientes a las dos soluciones complejas de La función f tiene un extremo local en el origen en este caso. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Cúspides

Si tiene una única solución de multiplicidad 2 para m , es decir si entonces el origen se llama cúspide . La curva en este caso cambia de dirección en el origen creando un punto agudo. La curva tiene una única tangente en el origen que puede considerarse como dos tangentes coincidentes. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,}$

Clasificación adicional

El término nodo se utiliza para indicar un nodo cruzado o un nodo acnódico, es decir, un punto doble que no es una cúspide. El número de nodos y el número de cúspides de una curva son dos de las invariantes utilizadas en las fórmulas de Plücker .

Si una de las soluciones de es también una solución de entonces la rama correspondiente de la curva tiene un punto de inflexión en el origen. En este caso el origen se llama flecnodo . Si ambas tangentes tienen esta propiedad, entonces es un factor de entonces el origen se llama biflecnodo . ^[2] ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}}$ ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},}$

Puntos múltiples

Una curva con un punto triple en el origen: x ( t ) = sin(2 t ) + cos( t ) , y ( t ) = sin( t ) + cos(2 t )

En general, si todos los términos de grado menor que k son 0, y al menos un término de grado k no es 0 en f , entonces se dice que la curva tiene un punto múltiplo de orden k o un punto k-ple . La curva tendrá, en general, k tangentes en el origen aunque algunas de estas tangentes pueden ser imaginarias. ^[3]

Curvas paramétricas

Una curva parametrizada en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ se define como la imagen de una función ⁠ ⁠ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},}$ Los puntos singulares son aquellos puntos donde ${\displaystyle g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).}$ $${\displaystyle {\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.}$$

Una cúspide en la parábola semicúbica ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$

Muchas curvas se pueden definir de ambas formas, pero las dos definiciones pueden no coincidir. Por ejemplo, la cúspide se puede definir en una curva algebraica o en una curva parametrizada. Ambas definiciones dan un punto singular en el origen. Sin embargo, un nodo como el de en el origen es una singularidad de la curva considerada como una curva algebraica, pero si la parametrizamos como entonces ⁠ ⁠ nunca se desvanece y, por lo tanto, el nodo no es una singularidad de la curva parametrizada como se definió anteriormente. ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$ ${\displaystyle g(t)=(t^{2},t^{3}).}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),}$ ${\displaystyle g'(t)}$

Hay que tener cuidado al elegir una parametrización. Por ejemplo, la línea recta y = 0 se puede parametrizar mediante la cual tiene una singularidad en el origen. Cuando se parametriza mediante la cual no es singular. Por lo tanto, técnicamente es más correcto hablar de puntos singulares de una aplicación suave en este caso en lugar de un punto singular de una curva. ${\displaystyle g(t)=(t^{3},0),}$ ${\displaystyle g(t)=(t,0),}$

Las definiciones anteriores se pueden ampliar para cubrir curvas implícitas que se definen como el conjunto cero de una ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ función suave , y no es necesario considerar solo variedades algebraicas. Las definiciones se pueden ampliar para cubrir curvas en dimensiones superiores.

Un teorema de Hassler Whitney ^{[4] [5]} establece

Teorema  :  Cualquier conjunto cerrado en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ocurre como el conjunto solución de ⁠ ⁠ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ para alguna función suave ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} .}$

Cualquier curva parametrizada también puede definirse como una curva implícita, y la clasificación de puntos singulares de curvas puede estudiarse como una clasificación de puntos singulares de variedad algebraica .

Tipos de puntos singulares

Algunas de las posibles singularidades son:

• Un punto aislado: un acnódulo ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0,}$
• Dos líneas que se cruzan: un crunode ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0,}$
• Una cúspide : también llamada espinoda ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$
• Un tacnodo : ${\displaystyle x^{4}-y^{2}=0}$
• Una cúspide ramphoidea : ${\displaystyle x^{5}-y^{2}=0.}$

Véase también

• Punto singular de una variedad algebraica
• Teoría de la singularidad
• Teoría de Morse

Referencias

1. Hilton Capítulo II §1
2. Hilton Capítulo II §2
3. Hilton Capítulo II §3
4. Th. Bröcker, Gérmenes diferenciables y catástrofes , London Mathematical Society. Notas de la conferencia 17. Cambridge, (1975)
5. Bruce y Giblin, Curvas y singularidades , (1984, 1992) ISBN  0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (libro de bolsillo) 

• Hilton, Harold (1920). "Capítulo II: Puntos singulares". Curvas algebraicas planas. Oxford.