En matemáticas , una fórmula de Plücker , llamada así por Julius Plücker , es una de una familia de fórmulas, de un tipo desarrollado por primera vez por Plücker en la década de 1830, que relaciona ciertos invariantes numéricos de curvas algebraicas con invariantes correspondientes de sus curvas duales . El invariante llamado género , común tanto a la curva como a su dual, está conectado a los otros invariantes por fórmulas similares. Estas fórmulas, y el hecho de que cada uno de los invariantes debe ser un número entero positivo, imponen limitaciones bastante estrictas a sus posibles valores.
Una curva en este contexto se define por una ecuación algebraica no degenerada en el plano proyectivo complejo . Las líneas en este plano corresponden a puntos en el plano proyectivo dual y las líneas tangentes a una curva algebraica dada C corresponden a puntos en una curva algebraica C * llamada curva dual . En la correspondencia entre el plano proyectivo y su dual, los puntos en C corresponden a líneas tangentes C * , por lo que el dual de C * puede identificarse con C.
Los dos primeros invariantes cubiertos por las fórmulas de Plücker son el grado d de la curva C y el grado d * , clásicamente llamado la clase de C. Geométricamente, d es el número de veces que una línea dada interseca a C con multiplicidades contadas correctamente. (Esto incluye puntos complejos y puntos en el infinito ya que las curvas se toman como subconjuntos del plano proyectivo complejo). De manera similar, d * es el número de tangentes a C que son líneas a través de un punto dado en el plano; así, por ejemplo, una sección cónica tiene grado y clase ambos 2. Si C no tiene singularidades , la primera ecuación de Plücker establece que
pero esto debe corregirse para curvas singulares.
De los puntos dobles de C , sea δ el número de los que son ordinarios, es decir, que tienen tangentes distintas (también llamados nodos ) o son puntos aislados , y sea κ el número de los que son cúspides , es decir, que tienen una sola tangente (espinodas). Si C tiene singularidades de orden superior, estas se cuentan como puntos dobles múltiples según un análisis de la naturaleza de la singularidad. Por ejemplo, un punto triple ordinario se cuenta como 3 puntos dobles. Nuevamente, los puntos complejos y los puntos en el infinito se incluyen en estos recuentos. La forma corregida de la primera ecuación de Plücker es
De manera similar, sea δ * el número de puntos dobles ordinarios y κ * el número de cúspides de C * . Entonces, la segunda ecuación de Plücker establece
La interpretación geométrica de un punto doble ordinario de C * es una línea que es tangente a la curva en dos puntos ( doble tangente ) y la interpretación geométrica de una cúspide de C * es un punto de inflexión (tangente estacionaria).
Consideremos, por ejemplo, el caso de una cúbica suave:
La fórmula anterior muestra que tiene
inflexiones. Si la cúbica se degenera y obtiene un punto doble, entonces 6 puntos convergen al punto singular y solo quedan 3 inflexiones a lo largo de la curva singular. Si la cúbica se degenera y obtiene una cúspide, entonces solo queda una inflexión.
Tenga en cuenta que las dos primeras ecuaciones de Plücker tienen versiones duales:
Las cuatro ecuaciones dadas hasta ahora son, de hecho, dependientes, por lo que se pueden utilizar tres cualesquiera para derivar la restante. A partir de ellas, dadas tres cualesquiera de las seis invariantes, d , d * , δ, δ * , κ, κ * , se pueden calcular las tres restantes.
Finalmente, el género de C , conocido clásicamente como deficiencia de C , se puede definir como
Esto es igual a la cantidad dual
y es un entero positivo.
En total hay cuatro ecuaciones independientes con siete incógnitas, y con ellas se pueden utilizar tres de estos invariantes para calcular las cuatro restantes.
Un caso especial importante es cuando la curva C no es singular, o equivalentemente δ y κ son 0, por lo que las invariantes restantes se pueden calcular en términos de d solamente. En este caso, los resultados son:
Así, por ejemplo, una curva plana cuártica no singular es de género 3 y tiene 28 bitangentes y 24 puntos de inflexión.
Las curvas se clasifican en tipos según sus invariantes de Plücker. Las ecuaciones de Plücker, junto con la restricción de que todos los invariantes de Plücker deben ser números naturales, limitan en gran medida el número de tipos posibles para curvas de un grado determinado. Las curvas que son proyectivamente equivalentes tienen el mismo tipo, aunque las curvas del mismo tipo no son, en general, proyectivamente equivalentes. Las curvas de grado 2, las secciones cónicas, tienen un único tipo dado por d = d * =2, δ=δ * =κ=κ * = g =0.
Para curvas de grado 3 existen tres tipos posibles, dados por: [1]
Las curvas de tipo (ii) y (iii) son cúbicas racionales y se denominan nodales y cúspides respectivamente. Las curvas de tipo (i) son cúbicas no singulares ( curvas elípticas ).
Para curvas de grado 4 hay 10 tipos posibles, dados por: [2]
