En matemáticas , una fórmula de Plücker , llamada así en honor a Julius Plücker , pertenece a una familia de fórmulas, de un tipo desarrollado por primera vez por Plücker en la década de 1830, que relacionan ciertos invariantes numéricos de curvas algebraicas con los invariantes correspondientes de sus curvas duales . La invariante llamada género , común tanto a la curva como a su dual, está conectada a las demás invariantes mediante fórmulas similares. Estas fórmulas, y el hecho de que cada una de las invariantes debe ser un número entero positivo, imponen limitaciones bastante estrictas a sus posibles valores.
Una curva en este contexto está definida por una ecuación algebraica no degenerada en el plano proyectivo complejo . Las líneas en este plano corresponden a puntos en el plano proyectivo dual y las líneas tangentes a una curva algebraica dada C corresponden a puntos en una curva algebraica C * llamada curva dual . En la correspondencia entre el plano proyectivo y su dual, los puntos sobre C corresponden a rectas tangentes C * , por lo que el dual de C * puede identificarse con C.
Los dos primeros invariantes cubiertos por las fórmulas de Plücker son el grado d de la curva C y el grado d * , clásicamente llamado clase de C. Geométricamente, d es el número de veces que una línea dada intersecta a C con las multiplicidades contadas adecuadamente. (Esto incluye puntos complejos y puntos en el infinito, ya que las curvas se consideran subconjuntos del plano proyectivo complejo). De manera similar, d * es el número de tangentes a C que son líneas que pasan por un punto dado del plano; entonces, por ejemplo, una sección cónica tiene grado y clase 2. Si C no tiene singularidades , la primera ecuación de Plücker establece que
pero esto debe corregirse para curvas singulares.
De los puntos dobles de C , sea δ el número que son ordinarios, es decir, que tienen tangentes distintas (estos también se llaman nodos ) o son puntos aislados , y sea κ el número que son cúspides , es decir, que tienen una sola tangente (espinodos). ). Si C tiene singularidades de orden superior, éstas se cuentan como múltiples puntos dobles según un análisis de la naturaleza de la singularidad. Por ejemplo, un punto triple ordinario se cuenta como 3 puntos dobles. Nuevamente, en estos conteos se incluyen puntos complejos y puntos en el infinito. La forma corregida de la primera ecuación de Plücker es
De manera similar, sea δ * el número de puntos dobles ordinarios y κ * el número de cúspides de C * . Entonces la segunda ecuación de Plücker establece
La interpretación geométrica de un punto doble ordinario de C * es una recta que es tangente a la curva en dos puntos ( doble tangente ) y la interpretación geométrica de una cúspide de C * es un punto de inflexión (tangente estacionaria).
Consideremos, por ejemplo, el caso de una cúbica suave:
La fórmula anterior muestra que tiene
inflexiones. Si la cúbica degenera y obtiene un punto doble, entonces 6 puntos convergen al punto singular y solo quedan 3 inflexiones a lo largo de la curva singular. Si la cúbica degenera y obtiene una cúspide, entonces sólo queda una inflexión.
Tenga en cuenta que las dos primeras ecuaciones de Plücker tienen versiones duales:
Las cuatro ecuaciones dadas hasta ahora son, de hecho, dependientes, por lo que se pueden usar tres cualesquiera para derivar la restante. A partir de ellos, dados tres de los seis invariantes, d , d * , δ, δ * , κ, κ * , se pueden calcular los tres restantes.
Finalmente, el género de C , conocido clásicamente como deficiencia de C , se puede definir como
Esto es igual a la cantidad dual.
y es un número entero positivo.
En total, hay cuatro ecuaciones independientes con 7 incógnitas, y con ellas se pueden usar tres de estas invariantes para calcular las cuatro restantes.
Un caso especial importante es cuando la curva C no es singular, o de manera equivalente, δ y κ son 0, por lo que los invariantes restantes se pueden calcular en términos de d únicamente. En este caso los resultados son:
Así, por ejemplo, una curva plana cuártica no singular es de género 3 y tiene 28 bitangentes y 24 puntos de inflexión.
Las curvas se clasifican en tipos según sus invariantes de Plücker. Las ecuaciones de Plücker, junto con la restricción de que todas las invariantes de Plücker deben ser números naturales, limitan en gran medida el número de tipos posibles de curvas de un grado determinado. Las curvas que son proyectivamente equivalentes tienen el mismo tipo, aunque las curvas del mismo tipo no son, en general, proyectivamente equivalentes. Las curvas de grado 2, de sección cónica, tienen un solo tipo dado por d = d * =2, δ=δ * =κ=κ * = g =0.
Para curvas de grado 3 existen tres tipos posibles, dados por: [1]
Las curvas de tipos (ii) y (iii) son cúbicas racionales y se denominan nodales y cuspidales respectivamente. Las curvas de tipo (i) son las cúbicas no singulares ( curvas elípticas ).
Para curvas de grado 4 existen 10 tipos posibles, dados por: [2]
