Doble curva

Curva en el plano proyectivo dual formada por todas las líneas tangentes a una curva dada

Curvas duales entre sí; ver propiedades más abajo.

En geometría proyectiva , una curva dual de una curva plana dada C es una curva en el plano proyectivo dual que consiste en el conjunto de líneas tangentes a C. Existe una función de una curva a su dual, enviando cada punto del punto dual a su línea tangente. Si C es algebraica , entonces también lo es su dual y el grado del dual se conoce como la clase de la curva original. La ecuación del dual de C , dada en coordenadas de línea , se conoce como la ecuación tangencial de C. La dualidad es una involución : el dual del dual de C es la curva original C.

La construcción de la curva dual es la base geométrica de la transformación de Legendre en el contexto de la mecánica hamiltoniana . ^[1]

Ecuaciones

Sea f ( x , y , z ) = 0 la ecuación de una curva en coordenadas homogéneas en el plano proyectivo . Sea Xx + Yy + Zz = 0 la ecuación de una recta, designándose ( X , Y , Z ) sus coordenadas en un plano proyectivo dual. La condición de que la recta sea tangente a la curva se puede expresar en la forma F ( X , Y , Z ) = 0 que es la ecuación tangencial de la curva.

En un punto ( p , q , r ) de la curva, la tangente está dada por

${\displaystyle x{\frac {\partial f}{\partial x}}(p,q,r)+y{\frac {\partial f}{\partial y}}(p,q,r)+z{\frac {\partial f}{\partial z}}(p,q,r)=0.}$

Entonces Xx + Yy + Zz = 0 es una tangente a la curva si

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}}(p,q,r),\\Y&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}(p,q,r),\\Z&=\lambda {\frac {\partial f}{\partial z}}(p,q,r).\end{aligned}}}$

Eliminando p , q , r y λ de estas ecuaciones, junto con Xp + Yq + Zr = 0 , se obtiene la ecuación en X , Y y Z de la curva dual.

A la izquierda: la elipse ( ⁠incógnita/2⁠ )²
+ ( ⁠y/3⁠ )²
= 1 con rectas tangentes xX + yY = 1 para cualquier X , Y , tal que (2 X ) ² + (3 Y ) ² = 1 .
A la derecha: la elipse dual (2 X ) ² + (3 Y ) ² = 1 . Cada tangente a la primera elipse corresponde a un punto de la segunda (marcado con el mismo color).

Cónico

Por ejemplo, sea C la cónica ax ² + by ² + cz ² = 0. El dual se encuentra eliminando p , q , r y λ de las ecuaciones .

${\displaystyle {\begin{array}{c}X=2\lambda ap,\ \ Y=2\lambda bq,\ \ Z=2\lambda cr,\\Xp+Yq+Zr=0.\end{array}}}$

Las primeras tres ecuaciones se resuelven fácilmente para p , q , r y sustituyendo en la última ecuación se obtiene

${\displaystyle {\frac {X^{2}}{2\lambda a}}+{\frac {Y^{2}}{2\lambda b}}+{\frac {Z^{2}}{2\lambda c}}=0.}$

Despejando 2 λ de los denominadores, la ecuación del dual es

${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a}}+{\frac {Y^{2}}{b}}+{\frac {Z^{2}}{c}}=0.}$

Curva algebraica general

Consideremos una curva definida paramétricamente en coordenadas proyectivas . Su línea tangente proyectiva es un plano lineal abarcado por el punto de tangencia y el vector tangente, con coeficientes de ecuación lineal dados por el producto vectorial : ${\displaystyle (x,y)=(x(t),y(t)),}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(x(t),y(t),1)}$

${\displaystyle (X,Y,Z)=(x,y,1)\times (x',y',0)=(-y',x',xy'-yx'),}$

que en coordenadas afines es: ${\displaystyle (X,Y,1)}$

${\displaystyle X={\frac {-y'}{xy'-yx'}},\quad Y={\frac {x'}{xy'-yx'}}.}$

El dual de un punto de inflexión dará una cúspide y dos puntos que comparten la misma línea tangente darán un punto de autointersección en el dual.

Dual del dual

A partir de la descripción proyectiva, se puede calcular el dual del dual:

${\displaystyle (x(x'y''-y'x''),\,y(x'y''-y'x''),\,x'y''-y'x'')=(x,\,y,\,1)(x'y''-y'x''),}$

que es proyectivamente equivalente a la curva original . ${\displaystyle (x(t),y(t),1)}$

Propiedades de la curva dual

Las propiedades de la curva original corresponden a las propiedades duales de la curva dual. En la imagen de introducción, la curva roja tiene tres singularidades: un nodo en el centro y dos cúspides en la parte inferior derecha e izquierda. La curva negra no tiene singularidades, pero tiene cuatro puntos diferenciados: los dos puntos superiores corresponden al nodo (punto doble), ya que ambos tienen la misma línea tangente, por lo tanto, se asignan al mismo punto en la curva dual, mientras que los dos puntos de inflexión corresponden a las cúspides, ya que las líneas tangentes primero van en una dirección y luego en la otra (la pendiente aumenta y luego disminuye).

Por el contrario, en una curva suave y convexa, el ángulo de la línea tangente cambia monótonamente y la curva dual resultante también es suave y convexa.

Además, ambas curvas anteriores tienen una simetría reflexiva: la dualidad proyectiva conserva las simetrías de un espacio proyectivo, por lo que las curvas duales tienen el mismo grupo de simetría. En este caso, ambas simetrías se realizan como una reflexión izquierda-derecha; esto es un artefacto de cómo se han identificado el espacio y el espacio dual; en general, se trata de simetrías de espacios diferentes.

Grado

Si X es una curva algebraica plana, entonces el grado del dual es el número de puntos en la intersección con una línea en el plano dual. Como una línea en el plano dual corresponde a un punto en el plano, el grado del dual es el número de tangentes a X que se pueden trazar a través de un punto dado. Los puntos donde estas tangentes tocan la curva son los puntos de intersección entre la curva y la curva polar con respecto al punto dado. Si el grado de la curva es d, entonces el grado de la polar es d − 1 y, por lo tanto, el número de tangentes que se pueden trazar a través del punto dado es como máximo d ( d − 1) .

El dual de una línea (una curva de grado 1) es una excepción a esto y se toma como un punto en el espacio dual (es decir, la línea original). El dual de un solo punto se toma como el conjunto de líneas que pasan por el punto; esto forma una línea en el espacio dual que corresponde al punto original.

Si X es suave (sin puntos singulares ), entonces el dual de X tiene un grado máximo d ( d − 1) . Esto implica que el dual de una cónica también es una cónica. Geométricamente, la función de una cónica a su dual es biunívoca (ya que ninguna línea es tangente a dos puntos de una cónica, ya que eso requiere grado 4), y la línea tangente varía suavemente (como la curva es convexa, por lo que la pendiente de la línea tangente cambia monótonamente: las cúspides en el dual requieren un punto de inflexión en la curva original, que requiere grado 3).

En el caso de curvas con puntos singulares, estos puntos también se encontrarán en la intersección de la curva y su polar, lo que reduce el número de posibles líneas tangentes. Las fórmulas de Plücker dan el grado del dual en términos de d y el número y los tipos de puntos singulares de X.

Recíproco polar

El dual puede visualizarse como un lugar geométrico en el plano en forma de recíproco polar . Esto se define con referencia a una cónica fija Q como el lugar geométrico de los polos de las líneas tangentes de la curva C . ^[2] La cónica Q casi siempre se toma como un círculo, por lo que el recíproco polar es el inverso del pedal de C .

Generalizaciones

Dimensiones superiores

De manera similar, generalizando a dimensiones superiores, dada una hipersuperficie , el espacio tangente en cada punto da una familia de hiperplanos , y por lo tanto define una hipersuperficie dual en el espacio dual. Para cualquier subvariedad cerrada X en un espacio proyectivo, el conjunto de todos los hiperplanos tangentes a algún punto de X es una subvariedad cerrada del dual del espacio proyectivo, llamada variedad dual de X .

Ejemplos

• Si X es una hipersuperficie definida por un polinomio homogéneo F ( x ₀ , ..., x _n ) , entonces la variedad dual de X es la imagen de X por el mapa de gradiente

${\displaystyle x=(x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto \left({\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}(x),\ldots ,{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}}(x)\right)}$

que aterriza en el espacio proyectivo dual.

• La variedad dual de un punto ( a ₀  : ... : a _n ) es el hiperplano

${\displaystyle a_{0}x_{0}+\ldots +a_{n}x_{n}=0.}$

Polígono dual

La construcción de curva dual funciona incluso si la curva es lineal por partes o diferenciable por partes , pero el mapa resultante es degenerado (si hay componentes lineales) o está mal definido (si hay puntos singulares).

En el caso de un polígono, todos los puntos de cada arista comparten la misma línea tangente y, por lo tanto, se asignan al mismo vértice del dual, mientras que la línea tangente de un vértice está mal definida y se puede interpretar como todas las líneas que pasan por él con un ángulo entre las dos aristas. Esto concuerda tanto con la dualidad proyectiva (las líneas se asignan a puntos y los puntos a líneas) como con el límite de curvas suaves sin componente lineal: a medida que una curva se aplana hacia una arista, sus líneas tangentes se asignan a puntos cada vez más cercanos; a medida que una curva se agudiza hacia un vértice, sus líneas tangentes se separan cada vez más.

De manera más general, cualquier poliedro o cono convexo tiene un dual poliédrico , y cualquier conjunto convexo X con hipersuperficie límite H tiene un conjugado convexo X* cuyo límite es la variedad dual H* .

Véase también

• Transformada de Hough
• Mapa de Gauss

Notas

1. Véase (Arnold 1988)
2. Edwards, J. (1892). Cálculo diferencial. Londres: MacMillan. págs. 176.

Referencias

• Arnold, Vladimir Igorevich (1988), Métodos geométricos en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias , Springer, ISBN 3-540-96649-8
• Hilton, Harold (1920), "Capítulo IV: Ecuación tangencial y reciprocidad polar", Curvas algebraicas planas, Oxford
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4
• Walker, RJ (1950), Curvas algebraicas , Princeton
• Brieskorn, E.; Knorrer, H. (1986), Curvas algebraicas planas , Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-1769-0