Curva polar

La curva elíptica E  : 4 Y ² Z =  X ³  −  XZ ² en azul, y su curva polar ( E ): 4 Y ²  = 2,7 X ²  − 2 XZ  − 0,9Z ² para el punto Q  = (0,9, 0) en rojo. Las líneas negras muestran las tangentes a E en los puntos de intersección de E y su primera polar con respecto a Q que se encuentra en Q .

En geometría algebraica , la primera polar , o simplemente polar de una curva plana algebraica C de grado n con respecto a un punto Q es una curva algebraica de grado n −1 que contiene cada punto de C cuya línea tangente pasa por Q. Se utiliza para investigar la relación entre la curva y su dual , por ejemplo en la derivación de las fórmulas de Plücker .

Definición

Sea C definida en coordenadas homogéneas por f ( x, y, z ) = 0 donde f es un polinomio homogéneo de grado n , y sean las coordenadas homogéneas de Q ( a ,  b ,  c ). Defina el operador

${\displaystyle \Delta _{Q}=a{\partial \over \partial x}+b{\partial \over \partial y}+c{\partial \over \partial z}.}$

Entonces Δ _Q f es un polinomio homogéneo de grado n −1 y Δ _Q f ( x, y, z ) = 0 define una curva de grado n −1 llamada primera polar de C con respecto a Q .

Si P =( p ,  q ,  r ) es un punto no singular en la curva C entonces la ecuación de la tangente en P es

${\displaystyle x{\partial f \over \partial x}(p,q,r)+y{\partial f \over \partial y}(p,q,r)+z{\partial f \over \partial z}(p,q,r)=0.}$

En particular, P está en la intersección de C y su primera polar con respecto a Q si y solo si Q está en la tangente a C en P. Para un punto doble de C , las derivadas parciales de f son todas 0, por lo que la primera polar también contiene estos puntos.

Clase de una curva

La clase de C puede definirse como el número de tangentes que pueden trazarse a C desde un punto que no está en C (contando multiplicidades e incluyendo tangentes imaginarias). Cada una de estas tangentes toca a C en uno de los puntos de intersección de C y la primera polar, y por el teorema de Bézout hay como máximo n ( n −1) de ellas. Esto pone un límite superior de n ( n −1) en la clase de una curva de grado n . La clase puede calcularse exactamente contando el número y tipo de puntos singulares en C (véase la fórmula de Plücker ).

Polares superiores

La p-ésima polar de una C para un número natural p se define como Δ _Q ^p f ( x, y, z ) = 0. Esta es una curva de grado n − p . Cuando p es n −1 la p -ésima polar es una línea llamada línea polar de C con respecto a Q . De manera similar, cuando p es n −2 la curva se llama cónica polar de C .

Utilizando series de Taylor en varias variables y explotando la homogeneidad, f (λ a + μ p , λ b + μ q , λ c + μ r ) se puede expandir de dos maneras como

${\displaystyle \mu ^{n}f(p,q,r)+\lambda \mu ^{n-1}\Delta _{Q}f(p,q,r)+{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\mu ^{n-2}\Delta _{Q}^{2}f(p,q,r)+\dots }$

y

${\displaystyle \lambda ^{n}f(a,b,c)+\mu \lambda ^{n-1}\Delta _{P}f(a,b,c)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\lambda ^{n-2}\Delta _{P}^{2}f(a,b,c)+\dots .}$

Comparando los coeficientes de λ ^p μ ^{n − p} se muestra que

${\displaystyle {\frac {1}{p!}}\Delta _{Q}^{p}f(p,q,r)={\frac {1}{(n-p)!}}\Delta _{P}^{n-p}f(a,b,c).}$

En particular, el p -ésimo polar de C con respecto a Q es el lugar geométrico de los puntos P de modo que el ( n − p )-ésimo polar de C con respecto a P pasa por Q . ^[1]

Polacos

Si la línea polar de C con respecto a un punto Q es una línea L , entonces se dice que Q es un polo de L . Una línea dada tiene ( n −1) ² polos (contando multiplicidades, etc.) donde n es el grado de C . Para ver esto, tome dos puntos P y Q en L . El lugar geométrico de los puntos cuyas líneas polares pasan por P es el primer polar de P y esta es una curva de grado n − 1 . De manera similar, el lugar geométrico de los puntos cuyas líneas polares pasan por Q es el primer polar de Q y esta también es una curva de grado n − 1 . La línea polar de un punto es L si y solo si contiene tanto a P como a Q , por lo que los polos de L son exactamente los puntos de intersección de los dos primeros polares. Por el teorema de Bézout, estas curvas tienen ( n −1) ² puntos de intersección y estos son los polos de L . ^[2]

El Hessiano

Para un punto dado Q = ( a ,  b ,  c ), la cónica polar es el lugar geométrico de los puntos P, de modo que Q está en la segunda polar de P. En otras palabras, la ecuación de la cónica polar es

${\displaystyle \Delta _{(x,y,z)}^{2}f(a,b,c)=x^{2}{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}(a,b,c)+2xy{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}(a,b,c)+\dots =0.}$

La cónica es degenerada si y sólo si el determinante del hessiano de f ,

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{bmatrix}},}$

se desvanece. Por lo tanto, la ecuación | H ( f )|=0 define una curva, el lugar geométrico de los puntos cuyas cónicas polares son degeneradas, de grado 3( n − 2 ) llamada curva hessiana de C .

Véase también

• Hipersuperficie polar
• Polo y polar

Referencias

1. Sigue a Salmon, págs. 49-50, pero esencialmente el mismo argumento con diferente notación se da en Basset, págs. 16-17.
2. Basset pág. 20, Salmón pág. 51

• Basset, Alfred Barnard (1901). Tratado elemental sobre curvas cúbicas y cuárticas. Deighton Bell & Co., págs. 16 y siguientes.
• Salmon, George (1879). Curvas en planos superiores. Hodges, Foster y Figgis. pp. 49 y siguientes.
• Sección 1.2 de Fulton, Introducción a la teoría de intersecciones en geometría algebraica , CBMS, AMS, 1984.
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Polar", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Hessiana (curva algebraica)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press