Función por partes

Función definida por múltiples subfunciones

Gráfico de la función lineal por partes ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.}$

En matemáticas , una función definida por partes (también llamada función definida por partes , función híbrida o función definida por casos ) es una función cuyo dominio está dividido en varios intervalos ("subdominios") en los que la función puede definirse de manera diferente. ^{[1] [2] [3]} La definición por partes es en realidad una forma de especificar la función, en lugar de una característica de la función resultante en sí.

Notación e interpretación

Gráfica de la función valor absoluto, ${\displaystyle y=|x|}$

Las funciones por partes se pueden definir utilizando la notación funcional común , donde el cuerpo de la función es una matriz de funciones y subdominios asociados. Un punto y coma o una coma pueden seguir a las columnas de subfunción o subdominio. ^[4] El o rara vez se omite al comienzo de la columna derecha. ^[4] ${\displaystyle {\text{if}}}$ ${\displaystyle {\text{for}}}$

Los subdominios juntos deben cubrir todo el dominio ; a menudo también se requiere que sean disjuntos por pares, es decir, que formen una partición del dominio. ^[5] Para que la función general se llame "por partes", generalmente se requiere que los subdominios sean intervalos (algunos pueden ser intervalos degenerados, es decir, puntos únicos o intervalos ilimitados). Para intervalos acotados, se requiere que el número de subdominios sea finito; para intervalos ilimitados, a menudo solo se requiere que sea localmente finito. Por ejemplo, considere la definición por partes de la función de valor absoluto : ^[2]

$${\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}}$$

Para todos los valores menores que cero, se utiliza la primera subfunción ( ), que niega el signo del valor de entrada, haciendo que los números negativos sean positivos. Para todos los valores mayores o iguales que cero, se utiliza la segunda subfunción ( ) , que evalúa de forma trivial el valor de entrada en sí. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

La siguiente tabla documenta la función de valor absoluto en ciertos valores de : ${\displaystyle x}$

Para evaluar una función definida por partes en un valor de entrada dado, se debe elegir el subdominio apropiado para seleccionar la subfunción correcta y producir el valor de salida correcto.

Ejemplos

• Función lineal por partes , una función compuesta de segmentos de línea.
• Ley de potencia rota , una función compuesta de subfunciones de ley de potencia
• Spline , una función compuesta de subfunciones polinómicas, que posee un alto grado de suavidad en los lugares donde se conectan las piezas polinómicas.
  • B-spline
• PDF
• ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
  y algunas otras funciones Bump comunes . Estas son infinitamente diferenciables, pero la analiticidad se cumple solo por partes.

Continuidad y diferenciabilidad de funciones definidas por partes

Gráfico de la función cuadrática por partes . Su única discontinuidad está en . ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.}$ ${\displaystyle x_{0}=0.707}$

Una función definida por partes es continua en un intervalo dado en su dominio si se cumplen las siguientes condiciones:

• sus subfunciones son continuas en los intervalos correspondientes (subdominios),
• no hay discontinuidad en un punto final de ningún subdominio dentro de ese intervalo.

La función ilustrada, por ejemplo, es continua por partes en todos sus subdominios, pero no es continua en todo el dominio, ya que contiene una discontinuidad de salto en . El círculo relleno indica que en esta posición se utiliza el valor de la subfunción derecha. ${\displaystyle x_{0}}$

Para que una función definida por partes sea diferenciable en un intervalo dado en su dominio, además de las condiciones de continuidad mencionadas anteriormente, se deben cumplir las siguientes condiciones:

• sus subfunciones son diferenciables en los intervalos abiertos correspondientes ,
• Las derivadas unilaterales existen en los puntos finales de todos los intervalos,
• En los puntos donde se tocan dos subintervalos, coinciden las derivadas unilaterales correspondientes de los dos subintervalos vecinos.

Algunas fuentes sólo examinan la definición de la función, ^{[6] [ se necesita una mejor fuente ]} mientras que otras reconocen la propiedad si y solo si la función admite una partición en una definición por partes que cumple las condiciones. ^{[7] [8]}

Aplicaciones

En el análisis matemático aplicado, se ha descubierto que las funciones "regulares por partes" son coherentes con muchos modelos del sistema visual humano , donde las imágenes se perciben en una primera etapa como si estuvieran formadas por regiones suaves separadas por bordes (como en una caricatura ); ^[9] una función similar a una caricatura es una función C 2 , suave excepto por la existencia de curvas de discontinuidad. ^[10] En particular, se han utilizado shearlets como un sistema de representación para proporcionar aproximaciones dispersas de esta clase de modelo en 2D y 3D.

Las funciones definidas por partes también se utilizan comúnmente para la interpolación, como en la interpolación del vecino más cercano .

Véase también

• Continuación lineal por partes
• Todas las páginas con títulos que comienzan con Piecewise
• Propiedad por partes : una generalización del concepto

Referencias

1. "Funciones por partes". www.mathsisfun.com . Consultado el 24 de agosto de 2020 .
2. Weisstein, Eric W. "Función por partes". mathworld.wolfram.com . Consultado el 24 de agosto de 2020 .
3. "Funciones por partes". brilliant.org . Consultado el 29 de septiembre de 2020 .
4. Weisstein, Eric W. "Función por partes". mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de julio de 2024 .
5. Un requisito más débil y factible es que todas las definiciones concuerden en los subdominios que se cruzan.
6. "Diferenciabilidad de funciones definidas por partes – AP Central | College Board". apcentral.collegeboard.org . Consultado el 26 de agosto de 2024 .
7. SM Nikolsky (1977). Un curso de análisis matemático, vol. 1, pág. 178.
8. Sofronidis, Nikolaos Efstathiou (2005). "El conjunto de funciones diferenciables por partes continuas". Real Analysis Exchange . 31 (1): 13–22. doi :10.14321/realanalexch.31.1.0013. ISSN  0147-1937.
9. Kutyniok, Gitta ; Labate, Demetrio (2012). "Introducción a las pieles de zorzal" (PDF) . Pieles de zorzal . Birkhäuser : 1–38.Aquí: p.8
10. Kutyniok, Gitta; Lim, Wang-Q (2011). "Las shearlets con soporte compacto son óptimamente dispersas". Journal of Approximation Theory . 163 (11): 1564–1589. arXiv : 1002.2661 . doi :10.1016/j.jat.2011.06.005.